10：PH分布基本理论

n
22
4、PH分布的重要意义
实域分析
9PH分布建立在有限状态马尔可夫基础上，只 需 要 实 域 分 析 ， 而 Cox 分 布 是 建 立 在 Rational LST的概念上，需要依据复数分析 方法进行频域分析。
矩阵几何
9PH分布应用矩阵表示方法导入了一个通用的 数学表达式。使得模型分析变得非常具有一 般性，而Cox分布的数学表达式相当复杂， 不易进行数学分析。
x→∞
其中λ是矩阵T固有值中绝对值最大 的固有值。
24
4
6、PH分布的特征标示
特征标示(α,T)
9PH概率分布完全可以由(α,T)的组合 来描述。也即只要给定了(α,T)的组 合，PH概率分布就唯一地确定了，因 此称(α,T)为PH分布的特征矩阵标示
统一矩阵描述
9不同的概率分布对应于不同的特征矩 阵标示，但其概率分布的矩阵描述是 完全一样的。
∑ F ( t ) = 1 − k ( µ j t ) j e − µ jt
j =1
j!
K阶广义爱尔兰分布 负指数随机变量的算术和
11
k
∑ F ( t ) = α j (1 − e − µ jt ) j =1
K阶超指数分布 负指数随机变量的概率和
12
2
二、相位型(PH)概率分布
1、连续型PH概率分布 2、连续型PH定理证明 3、PH分布的物理意义 4、PH分布的重要意义 5、PH分布的概率特性 6、PH分布的特征标示 7、离散型PH概率分布
P{X
>
s+t
|
X
> t} = 1− F (s + t) 1− F (t)
=
e−λ ( s+t ) e−λt
=
e−λs
注释:
9 无论部件已经使用了多长时间，其剩余寿命仍 如X一样服从参数λ的指数分布，无后效性的 本质是“完全随机性”，即部件的失效完全随机 地发生，不受使用时间和折旧行为的影响。 5
3
1、负指数分布概述
负指数分布
F(x) = 1− e−λx, f (x) = λe−λx, x ≥ 0
数学期望和LST
∫ E( X ) = 1 , f% (s) = ∞ e−sx f (x)dx = λ , Re s ≥ 0
λ
0
s+λ
4
1、负指数分布概述
无记忆性
9设随机变量X表示一个部件的使用寿命， 对t>0和s>0
所以：
m
F(x)= p[Y(x)=m+1]=1−∑p[Y(x)= j]=1−v(x)e=1−αexpT(x)e j=1 21
3、PH分布的物理意义
∞
∑ (Tx)n 注意到 exp(Tx) = n=0 n! 以及T n的物理
意义（表示该马尔可夫过程的n步转 移率矩阵），且每一步状态转移均 只在当前状态停留负指数分布的时 间，故若该过程在（0,x）内经过n 步状态转移而在时刻x达到吸收态， 则每一步转移所停留的时间为平均 值 x 的负指数分布。
rate As k
k/a →∞
and and l
El →
has ∞,
converges in distribution to S.
Note that is in fact a special case of
service with k + l exponential service
phase, where on completion of phase j
2、负指数分布族
负指数分布族
F (x) = 1−αe−λx , x ≥ 0, 其中：0 ≤ α ≤ 1
特例：α＝0，退化为固定分布； α＝1，标准负指数分布；
6
1
2、负指数分布族
概率密度函数
9在x=0，具有质量1－α 9在x>0，是典型的混合型分布。
数学期望和LST E( X ) = α , f% (s) = 1−α + αλ
其中
9 Tij 表示状态i至状态j的转移 率 (i, j = 1,2,Lm) ，Ti0表示状态i转移至 吸收状态m+1转移率 (i = 1,2,Lm)
Q = ⎜⎜⎝⎛T0
T0 0
⎟⎟⎠⎞
15
1、连续型PH概率分布
说明
9为了保证该马尔可夫过程不可约和正 常规，NEUT已经证明必须有 Te + T 0 = 0 以及 Tii < 0,Tij ≥ 0(i ≠ j),Ti0 ≥ 0 。
13
1、连续型PH概率分布
定义过程
9首先，考虑一个在状态空间 {1,2,Lm,m +1} 上定义的一个时间连续、状态离散马 尔可夫过程，并假设状态 {1,2,Lm} 为 转移状态，m+1为吸收状态，且定义该 马尔可夫的状态无穷小生成矩阵为
Q = ⎜⎜⎝⎛T0
T0 0
⎟⎟⎠⎞
14
1、连续型PH概率分布
' (x) =
j
vi (x)Tij
i=1
用矩阵形式表示，则有：
V '(x) = V (x)T
其中，V (x) = (v1 (x), v2 (x),L, vm (x))
20
2、连续型PH定理证明
又因为 V (0) = π ，
则解方程式 V '(x) = V (x)T
得： V (x) = α exp(Tx)
λ
s+λ
分布可以改写成
F (x) = (1−α )U0 (x) +α (1− e−λx ), x ≥ 0
7
3、指数分布主要特点
主要优点
9负指数分布的无记忆性给排队系统的 分析带来了极大的便利；
主要缺点
9一方面，离开指数分布，随机模型的 定量分析中就面临实质性的困难；
9另一方面，假定所研究的随机变量服 从负指数分布，在多数情况下将与客 观事实大相径庭。
=
⎢ ⎢
k
⎢
OO
⎥T0= ⎢ M ⎥
− µk−1
µk−1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0
−µk ⎥⎦ ⎢⎣µk3⎥⎦0
5
2、超指数分布
α = (α1,α2 ,L,αk )
31
2、超指− e−µ jt ) j =1
⎡− µ1
0 ⎤ ⎡µ1 ⎤
⎢ T =⎢
− µ2
⎥ ⎥T 0
第10讲
PH概率分布基本理论
1
本章内容
一、负指数分布的扩展 二、相位型（PH）分布 三、典型相位分布的PH标示 四、相位型分布的运算特性 五、PH和马尔可夫更新过程
2
一、负指数分布的扩展
1、负指数分布概述 2、负指数分布族 3、负指数分布主要特点 4、随机模型的难点 5、负指数分布的扩展 6、负指数分布的扩展－Er分布 7、负指数分布的扩展－Hk分布
数值计算
9PH分布的数学表达式易于进行数值分析计算。23
5、PH分布的概率特性
概率密度函数： f (x) = α exp(Tx)T 0 LST： f * (s) = α (sI − T )−1T 0 K阶矩：µk = (−1)k k!αT −(k+1)T 0 = (−1)k k!αT −k e 相位分布的渐进特性：lim F(x) = 1−e−λx
33
34
4、PH分布的稠密性
另一种表示
P{N = 1} = σ , P{N = 0} = 1− σ
其中
S = a + (b − a)N
构造一个新的随机变量
(1 − σ )Ek + σEk * El
35
PH Distribution as a General PDF
Where phase
Ek has phase rate l /(b − a) .
8
4、随机模型的难点
难点概述
9条件概率引起的高度复杂性，例如要 计算正在接受服务顾客的剩余服务时 间，需要对服务从何时开始的信息有 全面的了解。
9难点1：关于历史过程地详细信息在许 多应用中很难确切知道；
9难点2：即使有了这些信息，条件分布 地表达式通常也极为复杂。
9
5、负指数分布的扩展
努力目标
收状态m+1转移率 (i = 1,2,Lm)
26
7、离散型PH概率分布
注释
9若此马尔可夫链以概率 α i 从状态i开
始状态之间的转移，则该马尔可夫链
进入吸收状态之前的转移次数定义为
离散型PH分布，即：
p0 = α m+1
pk = αT k −1T 0 ,
(k ≥ 1)
27
三、典型相位分布的PH标示
25
7、离散型PH概率分布
定义
9考虑一个在状态空间{1,2,L, m, m + 1} 上的离
散时间离散状态马尔可夫链，其中{1,2,L, m}
为转移状态，m +1 为吸收状态，其状态间转
移概率矩阵为 P = ⎜⎜⎝⎛T0
T0 1
⎟⎟⎠⎞
9其率中(i, Tjij
表示转移状态i至转移状态j的转移 = 1,2,Lm) ，Ti0表示转移状态i至吸
37
there is a probability σ j of going to
phase j+1, service is
caonmdplaetepdrowbiatbhilitthyat1−σpjhatshea.t
Thus, to represent an arbitrary
distribution G, we need only consider
F (x)＝1 − α exp(Tx)e
9其中α = (α1,α2,L,αm ) 以及αe = 1
17
1、连续型PH概率分布
18
3
2、连续型PH定理证明
定义：
9Y(x)为该马尔可夫过程在时刻x的状态， 并令 vj (x) = P[Y(x) = j] ( j =1,2,L,m,m。+1)
9对于 j = 1,2,L, m 来讲 v j (0) = α j ，且
=
⎢ ⎢
µ
2
⎥ ⎥
⎢
O
⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎣
0
−
µ
k
⎥ ⎦
⎢ ⎣
µ
k
⎥ ⎦
32
3、Cox分布
4、PH分布的稠密性
定理
9PH分布类在所有概率分布函数中是稠 密的。[WOLF 89]
证明
9假设想逼近随机变量的分布S
P{S = a} = 1 − σ ⎫ σ ∈ (0,1)
p{S = b} = σ
⎬ ⎭
0<a<b<∞
9而且[NEUT]还证明了，若矩阵T为可逆 矩阵（nonsingular）,则状态 {1,2,Lm} 为转移状态，即该马尔可夫过程不会 永远停留在 {1,2,Lm} 状态空间内，或 者说在有限时间内一定会被吸收态m+1 所吸收。
16
1、连续型PH概率分布
定理
9假设一个有限状态马尔可夫过程以概 率 α i 从转移状态i开始状态之间的转移， 则该马尔可夫过程进入吸收状态的时 间 分 布 定 义 为 PH 型 ( phase-type) 概 率 分布。其概率分布函数为：
P[Y (x + ∆x) = j]
m
= ∑ P[Y (x + ∆x) = j | Y (x) = i]P[Y (x) = i] i =1 19
2、连续型PH定理证明
即
m
∑ vj
(x
+∆x)
−vj
(x)
=
Tij∆xvi (x)
i=1,i≠ j
+(1+Tjj∆x)vj
(x)
−vj
(x)
∆x
∆x
m
V ∑ 因此有：
where σ j ∈ (0,1) for j = 1,2,L, k − 1 and σ k = 0 . Clearly, arbitrary discrete distribution
may be represented in this manner. Since discrete distribution may be used to approximate continuous distributions, any distributions may be approximated in this manner.
phase-type distributions, which is
defined to be, for some integer k ≥ 1 , 36
6
PH Distribution as a General PDF
k −1
∏ σ 1 exp(µ1 ) + (1 − σ 2 )σ 1 exp(µ1 ) * exp(µ2 ) + L + σ j [exp(µ1 ) *L* exp(µk )] j =1
1、爱尔兰分布 2、超指数分布 3、Cox分布 4、PH分布的稠密性
28
1、广义爱尔兰分布
K阶广义爱尔兰分布
29
1、广义爱尔兰分布
∑ F (t) = 1 − K (µ jt) j e−µ jt j=1 j!
⎡−µ1 µ1
⎢ ⎢
−µ2 µ2
0 ⎤ ⎡0⎤
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
α
=
(11,40,2 0,L430)T
9寻求保持指数分布易于进行解析处理的优点， 又能包罗更广的新分布类。
主要成果
9Erlang分布、广义Erlang分布； 9负指数分布族，超指数分布； 9Cox1955关于有理变换分布类；
结果评论：
9Cox分类过于宽泛，失去了解析处理方便的 优点。
10
6、负指数分布的扩展– Er分布
7、负指数分布的扩展－超指数