10：PH分布基本理论

there is a probability σ j of going to
phase j+1, service is
caonmdplaetepdrowbiatbhilitthyat1−σpjhatshea.t
Thus, to represent an arbitrary
distribution G, we need only consider
25
7、离散型PH概率分布
定义
9考虑一个在状态空间{1,2,L, m, m + 1} 上的离
散时间离散状态马尔可夫链，其中{1,2,L, m}
为转移状态，m +1 为吸收状态，其状态间转
移概率矩阵为 P = ⎜⎜⎝⎛T0
T0 1
⎟⎟⎠⎞
9其率中(i, Tjij
表示转移状态i至转移状态j的转移 = 1,2,Lm) ，Ti0表示转移状态i至吸
where σ j ∈ (0,1) for j = 1,2,L, k − 1 and σ k = 0 . Clearly, arbitrary discrete distribution
may be represented in this manner. Since discrete distribution may be used to approximate continuous distributions, any distributions may be approximated in this manner.
1、爱尔兰分布 2、超指数分布 3、Cox分布 4、PH分布的稠密性
28
1、广义爱尔兰分布
K阶广义爱尔兰分布
29
1、广义爱尔兰分布
∑ F (t) = 1 − K (µ jt) j e−µ jt j=1 j!
⎡−µ1 µ1
⎢ ⎢
−µ2 µ2
0 ⎤ ⎡0⎤
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
α
=
(11,40,2 0,L430)T
其中
9 Tij 表示状态i至状态j的转移 率 (i, j = 1,2,Lm) ，Ti0表示状态i转移至 吸收状态m+1转移率 (i = 1,2,Lm)
Q = ⎜⎜⎝⎛T0
T0 0
⎟⎟⎠⎞
15
1、连续型PH概率分布
说明
9为了保证该马尔可夫过程不可约和正 常规，NEUT已经证明必须有 Te + T 0 = 0 以及 Tii < 0,Tij ≥ 0(i ≠ j),Ti0 ≥ 0 。
37
rate As k
k/a →∞
and and l
El →
has ∞,
converges in distribution to S.
Note that is in fact a special case of
service with k + l exponential service
phase, where on completion of phase j
第10讲
PH概率分布基本理论
1
本章内容
一、负指数分布的扩展 二、相位型（PH）分布 三、典型相位分布的PH标示 四、相位型分布的运算特性 五、PH和马尔可夫更新过程
2
一、负指数分布的扩展
1、负指数分布概述 2、负指数分布族 3、负指数分布主要特点 4、随机模型的难点 5、负指数分布的扩展 6、负指数分布的扩展－Er分布 7、负指数分布的扩展－Hk分布
' (x) =
j
vi (x)Tij
i=1
用矩阵形式表示，则有：
V '(x) = V (x)T
其中，V (x) = (v1 (x), v2 (x),L, vm (x))
20
2、连续型PH定理证明
又因为 V (0) = π ，
则解方程式 V '(x) = V (x)T
得： V (x) = α exp(Tx)
9而且[NEUT]还证明了，若矩阵T为可逆 矩阵（nonsingular）,则状态 {1,2,Lm} 为转移状态，即该马尔可夫过程不会 永远停留在 {1,2,Lm} 状态空间内，或 者说在有限时间内一定会被吸收态m+1 所吸收。
16
1、连续型PH概率分布
定理
9假设一个有限状态马尔可夫过程以概 率 α i 从转移状态i开始状态之间的转移， 则该马尔可夫过程进入吸收状态的时 间 分 布 定 义 为 PH 型 ( phase-type) 概 率 分布。其概率分布函数为：
8
4、随机模型的难点
难点概述
9条件概率引起的高度复杂性，例如要 计算正在接受服务顾客的剩余服务时 间，需要对服务从何时开始的信息有 全面的了解。
9难点1：关于历史过程地详细信息在许 多应用中很难确切知道；
9难点2：即使有了这些信息，条件分布 地表达式通常也极为复杂。
9
5、负指数分布的扩展
努力目标
所以：
m
F(x)= p[Y(x)=m+1]=1−∑p[Y(x)= j]=1−v(x)e=1−αexpT(x)e j=1 21
3、PH分布的物理意义
∞
∑ (Tx)n 注意到 exp(Tx) = n=0 n! 以及T n的物理
意义（表示该马尔可夫过程的n步转 移率矩阵），且每一步状态转移均 只在当前状态停留负指数分布的时 间，故若该过程在（0,x）内经过n 步状态转移而在时刻x达到吸收态， 则每一步转移所停留的时间为平均 值 x 的负指数分布。
∑ F ( t ) = 1 − k ( µ j t ) j e − µ jt
j =1
j!
K阶广义爱尔兰分布 负指数随机变量的算术和
11
k
∑ F ( t ) = α j (1 − e − µ jt ) j =1
K阶超指数分布 负指数随机变量的概率和
12
2
二、相位型(PH)概率分布
1、连续型PH概率分布 2、连续型PH定理证明 3、PH分布的物理意义 4、PH分布的重要意义 5、PH分布的概率特性 6、PH分布的特征标示 7、离散型PH概率分布
2、负指数分布族
负指数分布族
F (x) = 1−αe−λx , x ≥ 0, 其中：0 ≤ α ≤ 1
特例：α＝0，退化为固定分布； α＝1，标准负指数分布；
6
1
2、负指数分布族
概率密度函数
9在x=0，具有质量1－α 9在x>0，是典型的混合型分布。
数学期望和LST E( X ) = α , f% (s) = 1−α + αλ
n
22
4、PH分布的重要意义
实域分析
9PH分布建立在有限状态马尔可夫基础上，只 需 要 实 域 分 析 ， 而 Cox 分 布 是 建 立 在 Rational LST的概念上，需要依据复数分析 方法进行频域分析。
矩阵几何
9PH分布应用矩阵表示方法导入了一个通用的 数学表达式。使得模型分析变得非常具有一 般性，而Cox分布的数学表达式相当复杂， 不易进行数学分析。
3
1、负指数分布概述
负指数分布
F(x) = 1− e−λx, f (x) = λe−λx, x ≥ 0
数学期望和LST
∫ E( X ) = 1 , f% (s) = ∞ e−sx f (x)dx = λ , Re s ≥ 0
λ
0
s+λ
4
1、负指数分布概述
无记忆性
9设随机变量X表示一个部件的使用寿命， 对t>0和s>0
phase-type distributions, which is
defined to be, for some integer k ≥ 1 , 36
6
PH Distribution as a General PDF
k −1
∏ σ 1 exp(µ1 ) + (1 − σ 2 )σ 1 exp(µ1 ) * exp(µ2 ) + L + σ j [exp(µ1 ) *L* exp(µk )] j =1
F (x)＝1 − α exp(Tx)e
9其中α = (α1,α2,L,αm ) 以及αe = 1
17
1、连续型PH概率分布
18
3
2、连续型PH定理证明
定义：
9Y(x)为该马尔可夫过程在时刻x的状态， 并令 vj (x) = P[Y(x) = j] ( j =1,2,L,m,m。+1)
9对于 j = 1,2,L, m 来讲 v j (0) = α j ，且
=
⎢ ⎢
k
⎢
OO
⎥T0= ⎢ M ⎥
− µk−1
µk−1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0
−µk ⎥⎦ ⎢⎣µk3⎥⎦0
5
2、超指数分布
α = (α1,α2 ,L,αk )
31
2、超指数分布
k
∑ F (t) = α j (1− e−µ jt ) j =1
⎡− µ1
0 ⎤ ⎡µ1 ⎤
⎢ T =⎢
− µ2
⎥ ⎥T 0
9寻求保持指数分布易于进行解析处理的优点， 又能包罗更广的新分布类。
主要成果
9Erlang分布、广义Erlang分布； 9负指数分布族，超指数分布； 9Cox1955关于有理变换分布类；
结果评论：
9Cox分类过于宽泛，失去了解析处理方便的 优点。
10
6、负指数分布的扩展– Er分布
7、负指数分布的扩展－超指数
λ
s+λ
分布可以改写成
F (x) = (1−α )U0 (x) +α (1− e−λx ), x ≥ 0
7
3、指数分布主要特点
主要优点
9负指数分布的无记忆性给排队系统的 分析带来了极大的便利；
主要缺点
9一方面，离开指数分布，随机模型的 定量分析中就面临实质性的困难；
9另一方面，假定所研究的随机变量服 从负指数分布，在多数情况下将与客 观事实大相径庭。
33
34
4、PH分布的稠密性
另一种表示
P{N = 1} = σ , P{N = 0} = 1− σ
其中
S = a + (b − a)N
构造一个新的随机变量
(1 − σ )Ek + σEk * El
35
PH Distribution as a General PDF
Where phase
Ek has phase rate l /(b − a) .
数值计算
9PH分布的数学表达式易于进行数值分析计算。23
5、PH分布的概率特性
概率密度函数： f (x) = α exp(Tx)T 0 LST： f * (s) = α (sI − T )−1T 0 K阶矩：µk = (−1)k k!αT −(k+1)T 0 = (−1)k k!αT −k e 相位分布的渐进特性：lim F(x) = 1−e−λx
收状态m+1转移率 (i = 1,2,Lm)
26
7、离散型PH概率分布
注释
9若此马尔可夫链以概率 α i 从状态i开
始状态之间的转移，则该马尔可夫链
进入吸收状态之前的转移次数定义为
离散型PH分布，即：
p0 = α m+1
pk = αT k −1T 0 ,
(k ≥ 1)
27
三、典型相位分布的PH标示
P{X
>
s+t
|
X
> t} = 1− F (s + t) 1− F (t)
=
e−λ ( s+t ) e−λt
=
e−λs
注释:
9 无论部件已经使用了多长时间，其剩余寿命仍 如X一样服从参数λ的指数分布，无后效性的 本质是“完全随机性”，即部件的失效完全随机 地发生，不受使用时间和折旧行为的影响。 5
x→∞
其中λ是矩阵T固有值中绝对值最大 的固有值。
24
4
6、PH分布的特征标示
特征标示(α,T)
9PH概率分布完全可以由(α,T)的组合 来描述。也即只要给定了(α,T)的组 合，PH概率分布就唯一地确定了，因 此称(α,T)为PH分布的特征矩阵标示
统一矩阵描述
9不同的概率分布对应于不同的特征矩 阵标示，但其概率分布的矩阵描述是 完全一样的。
13
1、连续型PH概率分布
定义过程
9首先，考虑一个在状态空间 {1,2,Lm,m +1} 上定义的一个时间连续、状态离散马 尔可夫过程，并假设状态 {1,2,Lm} 为 转移状态，m+1为吸收状态，且定义该 马尔可夫的状态无穷小生成矩阵为
Q = ⎜⎜⎝⎛T0
T0 0
⎟⎟⎠⎞
14
1、连续型PH概率分布
P[Y (x + ∆x) = j]
m
= ∑ P[Y (x + ∆x) = j | Y (x) = i]P[Y (x) = i] i =1 19
2、连续型PH定理证明
即
m
∑ vj
(x
+∆x)
−vj
ห้องสมุดไป่ตู้
(x)
=
Tij∆xvi (x)
i=1,i≠ j
+(1+Tjj∆x)vj
(x)
−vj
(x)
∆x
∆x
m
V ∑ 因此有：
=
⎢ ⎢
µ
2
⎥ ⎥
⎢
O
⎥ ⎢M⎥
⎢ ⎣
0
−
µ
k
⎥ ⎦
⎢ ⎣
µ
k
⎥ ⎦
32
3、Cox分布
4、PH分布的稠密性
定理
9PH分布类在所有概率分布函数中是稠 密的。[WOLF 89]
证明
9假设想逼近随机变量的分布S
P{S = a} = 1 − σ ⎫ σ ∈ (0,1)
p{S = b} = σ
⎬ ⎭
0<a<b<∞