随机变量的密度函数
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随机变量及其种类
随机变量（random variable）
在一定范围内随机取值的变量 以一定的概率分布取值的变量
分类
离散型(discrete)随机变量：只取有限个可能值（通 常为整数） 例：发病个体数，产仔数 连续型(continuous)随机变量：在一定范围内可取 无限个可能值（实数） 例：产奶量，体长，日增重
概率分布
概率函数(probability function)
随机变量取某一特定值的概率函数（离散型 随机变量）
概率密度函数(probability density function)
随机变量取某一特定值的密度函数（连续型 随机变量）
概率分布函数(probability distribution function)
例1：掷一次骰子所得点数的概率函数
1 f ( x) , 6
概率分布列
x f (x)
x 1, 2, 3, 4, 5, 6
1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
离散型随机变量的概率分布
例2：掷二次骰子所得点数之和的概率分布
f ( x) P( x1 x2 x)
2 2 2 2
2 2 2 2 对于例1： E( X ) 15.167 3.5 2.917
离散型随机变量的概率分布
方差的性质
1. Var(a) = 0 （a是常量） 2. Var(aX ) = a2Var(X ) 3. Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) (X和Y彼此独立） / Var(X )Var(Y ) 4. Var(XY ) =
x f(x) x f(x) 2 3 4 5 6 7 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 8 9 10 11 12 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
6 f (7) P( x1 x2 7) 36
21 F (7 ) f ( x ) 36 x 2
正态分布
平均数的影响
标准差的影响
正态分布
标准正态分布(standard normal distribution) 对于 X ~ N ( , 2 ) 令 Z X 标准化
E(Z ) 1 [ E( X ) ] 1 ( ) 0
Var ( Z ) 12 [Var ( X ) Var ( )] 12 ( 2 0) 1
随机变量取值小于或等于某特定值的概率
离散型随机变量的概率分布
概率函数
f ( x ) P( X x )
X ：随机变量，x：该随机变量的某一可能取值
f ( x) 0 ,
概率分布函数
所有x
f ( x) 1
y x
F ( x) P( X x)
f ( y)
离散型随机变量的概率分布
Z服从正态分布
wenku.baidu.com
Z ~ N (0,1)
标准正态分布
正态分布
标准正态分布的概率密度函数
2 1 z f ( z) exp[ ] 2 2
具有如下概率密度函数的随机变量称为正态 分布随机变量：
(x ) 1 f ( x) exp[ ] 2 2 2 x
2
= 期望 2 = 方差
（可以证明这个函数满足概率密度函数的3个条件）
X ~ N(, )
2
正态分布
正态分布概率密度函数的几何表示
f (x )
连续型随机变量的概率分布
概率密度函数
满足以下条件的函数f (x)称为连续性随机变 量X的概率密度函数:
f ( x) 0
(x是X的任一可能取值)
X的取值范围
f ( x)dx f ( x)dx 1
b a
P(a X b) f ( x)dx
连续型随机变量的概率分布
7
离散型随机变量的概率分布
概率分布图
离散型随机变量的概率分布
随机变量的期望(expectation) - 总体平均 数 E( X ) xi f ( xi )
对于例1：
E ( X ) xi 1 1 (1 2 3 4 5 6)
6 6 3.5
离散型随机变量的概率分布
随机变量的方差(variance) - 总体方差
2
( xi ) Var( X ) N
2 2
2
E[( X ) ]
2
2
E[( X ) ] E ( X 2 X )] E ( X ) 2E ( X ) E( X )
正态曲线
x
曲线下某区间的面积即为随机变量在该区间取值的概率
正态分布
正态分布的特点
只有一个峰，峰值在x = 处 曲线关于x = 对称，因而平均数=众数=中 位数 x轴为曲线向左、右延伸的渐进线 由两个参数决定： 平均数 和 标准差 决定曲线在x 轴上的位置 决定曲线的形状
设H(X)是随机变量X的某个函数
E[H ( X )] H ( xi ) f ( xi )
例： H ( X ) X 2
E( X )
2
2 xi
f ( xi )
对于例1：
2 2 2 2 2 2 1 1 E( X ) (1 2 3 4 5 6 ) 6 6 15.167 2 2 xi
离散型随机变量的概率分布
期望的性质
1. E (a) a
(a是常量) 2. E( X Y ) E( X ) E (Y )
3. E (aX ) aE( X )
4.
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
（当X和Y彼此独立）
离散型随机变量的概率分布
随机变量的函数的期望
概率分布函数
F ( x) P( X x)
x
f ( y)dy
期望
E( X ) xf ( x)dx
方差
Var( X ) E( X )
2 2
x f ( x)dx
2
2
连续型随机变量的概率分布
正态分布（normal distribution）
随机变量（random variable）
在一定范围内随机取值的变量 以一定的概率分布取值的变量
分类
离散型(discrete)随机变量：只取有限个可能值（通 常为整数） 例：发病个体数，产仔数 连续型(continuous)随机变量：在一定范围内可取 无限个可能值（实数） 例：产奶量，体长，日增重
概率分布
概率函数(probability function)
随机变量取某一特定值的概率函数（离散型 随机变量）
概率密度函数(probability density function)
随机变量取某一特定值的密度函数（连续型 随机变量）
概率分布函数(probability distribution function)
例1：掷一次骰子所得点数的概率函数
1 f ( x) , 6
概率分布列
x f (x)
x 1, 2, 3, 4, 5, 6
1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
离散型随机变量的概率分布
例2：掷二次骰子所得点数之和的概率分布
f ( x) P( x1 x2 x)
2 2 2 2
2 2 2 2 对于例1： E( X ) 15.167 3.5 2.917
离散型随机变量的概率分布
方差的性质
1. Var(a) = 0 （a是常量） 2. Var(aX ) = a2Var(X ) 3. Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) (X和Y彼此独立） / Var(X )Var(Y ) 4. Var(XY ) =
x f(x) x f(x) 2 3 4 5 6 7 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 8 9 10 11 12 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
6 f (7) P( x1 x2 7) 36
21 F (7 ) f ( x ) 36 x 2
正态分布
平均数的影响
标准差的影响
正态分布
标准正态分布(standard normal distribution) 对于 X ~ N ( , 2 ) 令 Z X 标准化
E(Z ) 1 [ E( X ) ] 1 ( ) 0
Var ( Z ) 12 [Var ( X ) Var ( )] 12 ( 2 0) 1
随机变量取值小于或等于某特定值的概率
离散型随机变量的概率分布
概率函数
f ( x ) P( X x )
X ：随机变量，x：该随机变量的某一可能取值
f ( x) 0 ,
概率分布函数
所有x
f ( x) 1
y x
F ( x) P( X x)
f ( y)
离散型随机变量的概率分布
Z服从正态分布
wenku.baidu.com
Z ~ N (0,1)
标准正态分布
正态分布
标准正态分布的概率密度函数
2 1 z f ( z) exp[ ] 2 2
具有如下概率密度函数的随机变量称为正态 分布随机变量：
(x ) 1 f ( x) exp[ ] 2 2 2 x
2
= 期望 2 = 方差
（可以证明这个函数满足概率密度函数的3个条件）
X ~ N(, )
2
正态分布
正态分布概率密度函数的几何表示
f (x )
连续型随机变量的概率分布
概率密度函数
满足以下条件的函数f (x)称为连续性随机变 量X的概率密度函数:
f ( x) 0
(x是X的任一可能取值)
X的取值范围
f ( x)dx f ( x)dx 1
b a
P(a X b) f ( x)dx
连续型随机变量的概率分布
7
离散型随机变量的概率分布
概率分布图
离散型随机变量的概率分布
随机变量的期望(expectation) - 总体平均 数 E( X ) xi f ( xi )
对于例1：
E ( X ) xi 1 1 (1 2 3 4 5 6)
6 6 3.5
离散型随机变量的概率分布
随机变量的方差(variance) - 总体方差
2
( xi ) Var( X ) N
2 2
2
E[( X ) ]
2
2
E[( X ) ] E ( X 2 X )] E ( X ) 2E ( X ) E( X )
正态曲线
x
曲线下某区间的面积即为随机变量在该区间取值的概率
正态分布
正态分布的特点
只有一个峰，峰值在x = 处 曲线关于x = 对称，因而平均数=众数=中 位数 x轴为曲线向左、右延伸的渐进线 由两个参数决定： 平均数 和 标准差 决定曲线在x 轴上的位置 决定曲线的形状
设H(X)是随机变量X的某个函数
E[H ( X )] H ( xi ) f ( xi )
例： H ( X ) X 2
E( X )
2
2 xi
f ( xi )
对于例1：
2 2 2 2 2 2 1 1 E( X ) (1 2 3 4 5 6 ) 6 6 15.167 2 2 xi
离散型随机变量的概率分布
期望的性质
1. E (a) a
(a是常量) 2. E( X Y ) E( X ) E (Y )
3. E (aX ) aE( X )
4.
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
（当X和Y彼此独立）
离散型随机变量的概率分布
随机变量的函数的期望
概率分布函数
F ( x) P( X x)
x
f ( y)dy
期望
E( X ) xf ( x)dx
方差
Var( X ) E( X )
2 2
x f ( x)dx
2
2
连续型随机变量的概率分布
正态分布（normal distribution）