线面垂直的判定和性质定理(习题课)
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线面垂直的判定和性质定理(习题课)
A组 1 C 2 B 3 D 4 D 5 C 6 ③ 7 ①② 8a或2a
9 (2) d=10
5. 10 (2) V= 3 (3)
6
4
B组 1 D 2 ①②③ 3 (2)43
3(3)
3
2
A组基础训练
一、选择题
1.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则()
A.β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直
B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直C.β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直
【解析】如图,在平面β内的直线若与α,β的交线a平行,则有m与之垂直.但却不一定在β内有与m平行的直线,只有当α⊥β时才存在.【答案】 C
2.已知两个平面垂直,下列命题:
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面.
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确命题的个数是()
A.3B.2C.1D.0
【解析】根据面面垂直的性质定理知,命题④正确;两平面垂直,一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内与交线垂直的直线,故命题②正确,命题①③错误.
【答案】 B
3.(2013·广东高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是()
A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n
B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n
C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β
D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β
【解析】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面BCC1B1⊥平面ABCD,BC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面ABCD,而BC1不垂直于BC,故A错误.平面A1B1C1D1∥平面ABCD,B1D1⊂平面A1B1C1D1,AC⊂平面ABCD,但B1D1和AC不平行,故B错误.
AB⊥A1D1,AB⊂平面ABCD,A1D1⊂平面A1B1C1D1,但平面A1B1C1D1∥平面ABCD,故C错误.故选D.
【答案】 D
图7-5-10
4.(2014·大连模拟)如图7-5-10,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,S D ⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是()
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于S C与平面SBD所成的角
D.AB与S C所成的角等于DC与SA所成的角
【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
又∵S D⊥底面ABCD,∴S D⊥AC.
其中S D∩BD=D,∴AC⊥面SDB,从而AC⊥S B.故A正确;易知B正确;设AC与DB交于O点,连结SO.则SA与平面SBD所成的角为∠ASO,S C与平面SBD所成的角为∠C SO,又OA=OC,SA=S C,∴∠ASO=∠C SO.故C正确;由排除法可知选D.
【答案】 D
5.(2014·郑州模拟)设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,下列命题中正确的是()
A.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β
B.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α∥β
C.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α⊥β
D.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β
【解析】C中,当m∥α,m∥n时,有n∥α或n⊂α,当n⊥β时,有α⊥β,故C正确.
【答案】 C
二、填空题
图7-5-11
6.如图7-5-11,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC 的中点,则下列命题中正确的有________(填序号).
①平面ABC⊥平面ABD;
②平面ABD⊥平面BCD;
③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;
④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.
【解析】由AB=CB,AD=CD知AC⊥DE,AC⊥BE,从而AC⊥平面BDE,故③正确.
【答案】③
图7-5-12
7.如图7-5-12,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,下列说法正确的是________(填上所有正确的序号).
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DE C;
②不论D折至何位置都有MN⊥AE;
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥A B.
【解析】取AE的中点F,连接MF,N F,则MF∥DE,N F∥AB∥CE,从而平面MF N∥平面DE C,故MN∥平面DE C,①正确;
又AE⊥MF,AE⊥N F,所以AE⊥平面MF N,从而AE⊥MN,②正确;
又MN与AB是异面直线,则③错误.
【答案】①②
图7-5-13
8.如图7-5-13,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=________时,CF⊥平面B1DF.
【解析】∵B1D⊥平面A1ACC1,∴CF⊥B1D,∴为了使CF⊥平面B1DF,只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F),设AF=x,则CD2=DF2+F C2,∴x2-3ax+2a2=0,∴x=a或x=2a.
【答案】a或2a
三、解答题