高一上学期专题5 函数的恒成立问题
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高一上学期专题5 函数的恒成立问题
函数的内容作为高中数学知识体系的核心,.函数类问题的解决最终归结为
对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题,在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.
恒成立问题在解题过程中有以下几种策略:①赋值型;②一次函数型;③二
次函数型;④变量分离型;⑤数形结合型.
现在我们一起来探讨其中一些典型的问题.
策略一、赋值型——利用特殊值求解
等式中的恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得.
例1.由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= (x+1)4+b 1(x+1)3+ b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4 定义映射f :(a 1,a 2,a 3,a 4)→b 1+b 2+b 3+b 4,则f :(4,3,2,1) → ( )
A.10
B.7
C.-1
D.0
例2.如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π-
对称,那么a=( ).
A .1
B .-1
C .2
D . -2.
策略二、一次函数型——利用单调性求解
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数
的图象(线段)(如下图) 可得上述结论等价于
ⅰ)⎩⎨⎧>>0)(0m f a ,或 ⅱ)⎩⎨⎧><0)(0n f a 可合并定成⎩
⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理,若在[m,n]内恒有f(x)<0,则有
⎨⎧<0)(m f
例3a,x 的取值范围.
策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解
对于二次函数f(x)=ax 2+bx+c=0(a ≠0)在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解,即
f(x)>0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆>00a ;f(x)<0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆<0
0a . 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.
例4. 若函数1
2)1()1()(22++
-+-=a x a x a x f 的定义域为R ,求实数 a 的取值范围.
例5.已知函数2()3f x x ax a =++-,在R 上()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围. 变式1:若[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围.
变式2:若[]2,2x ∈-时,()2f x ≥恒成立,求a 的取值范围.
策略四、变量分离型——分离变量,巧妙求解
运用不等式的相关知识不难推出如下结论:若对于x 取值范围内的任何一个
数都有f(x)>g(a)恒成立,则g(a)
例6.已知三个不等式①0342<+-x x ,②0862<+-x x ,③0922<+-m x x .要使同时满足①②的所有x 的值满足③,求m 的取值范围.
例7. 函数)(x f 是奇函数,且在]1,1[-上单调递增,又1)1(-=-f ,若12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立,求t 的取值范围 .
策略五、数形结合——直观求解
例8. a a x x x 恒成立,求实数,不等式对任意实数>--+21的取值范围.
解不等式恒成立的四种方法
1 转换主元法
确定题目中的主元,化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。
例9:若不等式 2x -1>m(x 2-1)对满足-2≤m ≤2的所有m 都成立,求x 的取值范围。
2 化归二次函数法
根据题目要求,构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识,求出参数取值范围。
例10:在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x(1-y) 若不等式(x -a)⊗(x +a)<1对任意