运输问题及其数学模型

1. 最小元素法
2. Vogel 法
二. 解的最优性检验 1. 闭回路法
a. 闭回路；
b. 每个空格都唯一存在一条闭回路
1 1…1
1 1 … 1 ...
m 个
1 1…1
1
1
…1
1 ...
1 ... …...
1 ...
n 个
1
1…
1
第i个
第(m+ j)个
A i j = ( 0, … , 0, 1, 0, … , 0, 1, … , 0 )
§2 表上作业法
(1)找出初始基可行解 (2)求各非基变量的检验数 (3)确定换入变量和换出变量 (4)重复(2),(3)步，直到求得最优解为止
例1最小元素法
初始调运方案 ( 初始基可行解 )
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11 4 3 3 10 7 3
A2 3 1
912
8 41
A3
7
4
6
10
3
5
93
销量 3
6
5 4 63
86 元
例1最小元素法
初始调运方案 ( 初始基可行解 )
基变量取值， 0 也是取值 空格为非基变量
销地 产地
B1
数学模型
第一节 运输问题及其数学模型
一 、运输问题数学模型
产地
A1 A2 ...
销地
B1
B2
…
x
c
11
11
x 12 c 12
…
…
x
c
21
21
x 22 c 22
…
…
... … ... … ... …
B n 产量
c 1n
x 1n
a1
c 2n
x 2n
a2
... … ...
Am 销量
x
c
m1
m1
x
c
m2
m2
从空格出发沿封闭回路前进, 顺时逆时均可. ＋－＋－， min(3,1)=1
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产量Βιβλιοθήκη Baidu
A1
3
11 4 3 3 10 7
A2 3 1
912
84
A3
7
4
6
10
3
5
9
销量 3
6
5
6
检验数8-2+3-10= -1，需调整
86 元
例1
初始调运方案 ( 初始基可行解 )
从空格出发沿封闭回路前进, 顺时逆时均可.
第一节 运输问题的典例和数学模型
例1
三产地四销地, 同类可互换产品，单位运价(元/ t ), 如何调运，运费最少？
销地 产地
A1
A2 A3 销量
B1
3
x 11
1
x 21 x 31 7
3
B2
11
x 12
9
x 22
x 32 4
B3
B4
3
10
x 13
x 14
2
8
x 23
x 24
x 33 10 x 34 5
11
2
4
3
3
10 0
A2 3 1 1 9 1 2 -1 8 -1
A3
7
4
10 6
10
12 3
5 -5
vj
2
9
3
10
86 元
二、解的最优性检验 - 位势法
找出非基变量的检验数为负空格的闭回路 调整量：min(3, 1)=1
销地 产地
B1
B2
B3
B4
ui
A1
3
1
11
2
4
3
3
10 0
A2 3 1 1 9 1 2 -1 8 -1
x 31 +x32 + x33 + x34 = 9 x11 + x21 + x31 = 3 s.t . x12 + x22 + x32 = 6 x13 + x23 + x33 = 5
x14 + x24 + x34 = 6
x i j ≥ 0, ( i = 1, 2, 3 ; j = 1, 2, 3, 4 )
二、解的最优性检验 - 位势法
非基变量的检验数无负值，最优方案！
最优解不唯一
销地 产地
B1
A1 0
A2 3
A3 9
B2
B3
3 2 11 5
12 9 1
7
4
6
12
B4
ui
3 2 10 0
2 1 8 -2
10
3
5 -5
vj
3
9
3
10
85元
86 元
表上作业法
一. 给出运输问题的初始基可行解（初始调运方案）
＋－＋－， min(3,1)=1
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11 5 3 2 10 7
A2 3 1
9
21 8 4
A3
7
4
6
10
3
5
9
销量 3
6
5
6
85元
86 元
二、解的最优性检验 - 位势法2
基变量的检验数为 0 7个变量6个方程需补充一个方程
u1=0
销地 产地
B1
B2
B3
B4
ui
A1
3
1
…
…
b1
b2
…
x m c m n am
n bn
产销平衡运输问题数学模型
mn
Q
=
m
∑a
i= 1
i
n
=
∑
j=
b
1
j
min Z = ∑ ∑ c i j x i j
n
i=1 j=1
平衡 (产=销)
∑x
j m= 1
ij
=
ai ,
( i = 1, 2, … , m )
∑x
i= 1
ij
=
b j,
( j = 1, 2, … , n )
x i j ≥ 0 , ( i=1, 2, … , m; j=1, 2, …, n )
m+n个方程中只有m+n-1个方程是独立的,
∴运输问题的 基本可行解 有 m+n-1 个分量
二、运输问题数学模型的特点
1.前m运+mn输个个问之方和题程等中有于只有后有限nm个最+之n优-1和个解方程是独立的,
2x.1运∴1 输x运1问输2 题问…题约的x束1基n条x本件2可1的行系x解2数2有矩…m阵+xn2-…n1 个分x量m1. xm2 … x m n
B2
B3
B4
产量
A1
3
11 4 3 3 10 7
A2 3 1
912
84
A3
7
4
6
10
3
5
9
销量 3
6
5
6
86 元
例1沃格尔(Vogel)法 ( 初始基可行解 )
销地 产地
B1
B2
B3
B4
行罚数 产量 1 2 3 4 5
A1
3 11 5 3 2 10 72 0 0 0 7 0
A2
1
3
9
A3
7 64
销量 3 6
产量 7 4
9
6
5
6
34
min
Z
=
∑
i=
1
∑
j
=c1i
j
x ij
= 3 x11 + 11 x12 + 3 x13 + 10 x 14 + x 21 + 9x22 + 2 x23 + 8x24 + 7 x 31 + 4 x32 + 10 x33 + 5 x34
x 11 +x12 + x13 + x14 = 7 x 21 +x22 + x23 + x24 = 4
A3
7
4
10 6
10
12 3
5 -5
vj
2
9
3
10
86 元
二、解的最优性检验 - 位势法
找出非基变量的检验数为负空格的闭回路 调整量：min(3, 1)=1
销地 产地
B1
A1
A2 3
A3
B2
B3
3
11 45
1
91
7
4
6
B4
ui
3 32 10 0
2 1 8 -2
10
3
5 -5
vj
3
9
3
10
85元
86 元
列
1 2
罚3
2 22
5
数
4 5
28
1 10 3 5
5 326
13 11 32 12
2
14 1 1 1 6 0 39 1 2 20
两最小元素之差
两最小元素之差
二 解的最优性检验-闭回路法1
由一个空格和若干个有数字的水平和垂直连线包围成的
封闭回路。
此空格为入基变量。
例1闭回路法调整
非基变量（空格）的检验数