地理数据分析的艺术6212
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地理数据的特殊性——地理性
地理性对分析的影响
统计与计量经济分析第一假设：所有现象相互 独立
• 相互独立（无自相关） • 差异随机（无关距离）
地理数据的自相关及与距离相关的空间差异违 背分析假设
• 自相关表明现象与现象之间包含重复信息 • 系统变化的空间差异表明变量间关系亦可能存在空间
差异性
新疆大学2012
新疆大学2012
空间回归模型的测试
模型参数测试与最佳模型选择
两个问题
• 空间回归模型是否必要 • 哪一个模型更准确反映数据所代表的关系
应对：
• 拉格朗日乘子测试 • 采用Akaike Information Criterion （AIC）替换R2
对模型评估，越小越好
新疆大学2012
空间分异性对分析的影响及应对
地理加权回归存在的问题
局部多重共线性问题 无法直接处理时空数据问题
区域发展
新疆大学2012
地理加权面板回归分析方法是地理加权 回归方法在时空数据分析方面的延展
面板数据的使用，为消除局部多重共线性提 供可能
i wiji i
j
这一次，空间延迟表现在回归误差之中，λ 为误差延迟的系数
新疆大学2012
空间回归模型的估算
估算方法
显然，由于包括了空间延迟（误差中包括重复 的信息），基于误差最小化的OLS估算方法将 不再有效
不基于误差最小化的ML估算方法成为最佳选择
• 空间回归模型的误差项仍被假设是服从正态分布 • 由该假设可以获得误差项的似然方程 • 通过最大化该似然方程，可以估算出β、ρ或λ
新疆大学2012
地理加权回归的面板数据延展
空间面板数据回归
近年来空间回归的方法（延迟与误差模型） 被延展到面板数据的分析 将地理加权回归的方法应用到时空数据上有 很多探索
• 时空同质加权回归分析 • 地理与时间加权回归分析
我于09年提出地理加权面板回归分析
• 结合地理加权回归方法与面板数据分析方法
误差相互独立性不能满足
• 两个可能来源：
– 因变量存在空间自相关 – 有存在空间自相关的自变量没有包括在模型之中
• 两种不同的模型
– 延迟模型Spatial Lag Model – 误差模型Spatial Error Model
新疆大学2012
空间延迟
空间延迟
概念类同时间序列分析中的时间延迟
• 但空间上并无真正的“延迟”
空间自相关对分析的影响及应对
区域计量经济分析
以回归模型建立变量与变量间关系 历史悠久，分析方法成熟
• 最小二乘法（OLS） • 最大似然法（ML）
OLS简单明了，但假设严格：线性、正态误 差、误差相互独立性
空间自相关的存在直接违背OLS的假设
新疆大学2012
空间回归方法
基于地理性的回归分析
空间回归分析
新疆大学2N01ei2menggu
应用实例
Chengde
Liaoning
大北京地区区域经济 发展机制分析（1995
Zhangjiakou
Qinhuangdao
– 2001）
Beijing
Langfang
县级单位可比价人均 GDP作为区域发展度 Shanxi
Tangshan
Tianjin
±
量 发展机制：人均固定 资产投资 （FIXINVPC）、人均 财政收入 （FININCPC）、人均
确立局部样本之后，可以对地理空间中每一单 元进行简单回归，获得该单元上参数
参数可以地图化
新疆大学2012
地理加权回归的面板数据延展
地理加权回归仍然属于横截面分析
无法处理时间序列数据
• 虽然可以在每个时间点进行GWR分析，但忽略 了时间点间的内在联系
面板数据分析
以地理单元为基础的面板数据同时具备时间 与空间的特性 面板数据分析较少考虑地理数据的空间特性 （空间自相关及空间分异性）
大北京地区而言，地方财政能力（收入能力） 是区域经济发展最有力的驱动力
• GWPR显示该能力在城市地区更为明显
• GWR结果则没有表现出这一分野
新疆大学2012
区域发展
分析对比
对于人均固定资产投资，GWR分析不具备特定 模式，但GWPR清楚反映人均固定资产投资对 区域经济的发展在县比市更明显，对于京津而 言，几乎没有什么作用。这一点与人均财政能 力正好呈鲜明互补。
• GWPR的分析，则清晰地揭示城市化水平在高度城市 化的区域（京津、石家庄）对区域经济的发展是有贡 献的
对比而言，GWPR给出的分析结论更可能符合 实际区域经济发展的内在关系
区域发展
新疆大学2012
地理加权回归分析方法的出现，为从更 详细的角度分析地理数据提供可能
分析结果可视化（地图化） 分析模式具体化 分析结论合理化
• 许多情况下，混合性检验不一定能通过，但研究表明 （Baltagi，2010），即便如此，混合模型比非混合 模型更具有解释力
新疆大学2012
地理加权面板数据分析
在R中SPGWR软件包的基础上，拓展开 发了SPGWPR函数
目前可以进行个体、时点及两者的地理加权 面板回归 混合性检验已经完成 Hausman检验在开发中 暂时只能用于时间序列较短的面板数据分析
分界距离二元矩阵
• 两空间单元间距离小于一定数值即被认为“邻居” • 邻居矩阵元素为1，非邻居元素为0 • 为计算方便，关联矩阵一般都进行行标准化
– 由此计算的空间延迟相当于对某一空间单元“邻居们”进行 算术平均
空间延迟模型
新疆大学2012
假设误差自相关是由因变量的自相关引起
因此，正确的模型可以写做：
Baoding
Shijiazhuang
Cangzhou
Hengshui
Xingtai
Shandong
Prefecture County
外商直接投资（FDIPC）
以及城市化水平（URB）
Handan
生产函数
100 50 0
100
Kilometers
区域发展
横截面地理 加权回归， 采用2001年 的数据
系数随空间位置（i）变化而变化
新疆大学2012
地理加权回归的估算
估算的困难
普通回归中，有n组数据，k个待估参数，n 远大于k，估算有唯一解
地理加权回归中，n组观测数据，但有n×k个 待估参数，普通估算无法进行
新疆大学2012
地理加权回归的估算
估算采用符合第一定律的地理加权
任一点上的观测值，都是一个不断变化，但 平滑的空间过程在该点上的实现 依据空间自相关的原理，可以进一步假设对 于任一位置，其相邻位置上的观测值，都包 含该平滑过程在该相邻位置上，按第一定律 空间递减后的信息 多数实例表明，连续的高斯曲面可以很好模 拟该递减过程
空间自相关的对立统一面
近者相近，则远者相异
空间分异性导致局部差异的形成
总体的与局部的模式、关系、度量可能大不一 样
• 乌鲁木齐今天的平均气温跟新大今天的平均气温会有 差别，跟地窝堡机场今天的平均气温也会有差别等
表现在关系上，指相同的要素（投入），会在 地理空间上导致不同的要素（产出） 是地理加权回归方法（GWR）的理论基础
yi wij y j xi i
j
wij是i与j单元在进行过行标准化后的空间关联矩
阵中对应的元素，wij yj 即i单元的空间延迟，ρ
是空间延迟的系数，j 其他符号与普通回归相同
空间误差模型
新疆大学2012
假设误差自相关是因没有包括某些有自 相关的自变量引起
正确的模型可写成：
yi xi i
地理数据分析的艺术6212
讲座纲要
新疆大学2012
讲座目的
地理数据的特殊性及空间数据分析的方法
地理数据的特殊性 – 地理性
数据空间自相关与分异性（空间效应） 地理性对数据分析，尤其是回归分析的影响 及应对
• 自相关——残差不再相互独立：最小二乘无效 • 应对——空间回归：延迟与误差模型
新疆大学2012
新疆大学2012
地理加权面板数据分析
基本概念类同与横截面GWR分析
将以地理单元为数据收集单元的面板数据称为 “地理面板数据”（Geo-Panel） 在地理面板数据中，首先假设平滑的空间过程 在较短的时间内不会发生大的变化
• 如果时间序列较长，可以考虑对空间平滑过程进行时 间修正
采用类同与横截面GWR分析中的处理，对每一 地理位置获得一个局部样本
• 长序列需要考虑到空间平滑过程的调整，原理虽 然简单，实现颇费工夫
新疆大学2012
应用实例——城市房地产市场分析
密尔沃基城市房地产市场的享乐模型
因变量：房屋评估价格 自变量：房屋面积、年龄、是否有壁炉、是 否有空调、卫生间数量、小区裸露土壤与不 透水面比率 模型对比：最小二乘模型（OLS）、空间回 归（延迟与误差模型）与地理加权回归模型 （GWR）
• 可以理解为高度城市化区域，如京津地区及河北大城 市地区，其经济发展在很大程度上是依赖自身的发展 根底
• 而城市化水平较低区域，国家的支持力度对区域经济 的发展更具备影响力
新疆大学2012
区域发展
分析对比
城市化水平对区域经济发展的贡献
• GWR的分析表明城市化水平对区域经济发展的影响 主要集中在河北的中部，东北部及天津、北京的东部， 而且其影响是负面的。这一点不太符合实际情况，可 能是由于局部自变量的多重共线性所造成
新疆大学2012
城市房地产市场分析
评估参数
均方根误差（RMSE），衡量绝对误差
RMSE 1
n
n
( yi yˆi )2
i 1
相对误差（RE），衡量相对全局均值的误差 n | yi yˆi | RE i1 n | yi y | ii
新疆大学2012
城市房地产市场分析
OLS SA_Lag SA_Err GWR
新疆大学2012
地理加权回归的估算
w
w2 1 w(b)
w3 b
新疆大学2012
地理加权回归的估算
构建局部样本，进行局部回归
依循上述假设，对地理空间中任一单元，可以 构建一套局部样本
• 局部样本由该单元及其相邻位置上的单元构成 • 相邻单元的“观测值”依第一定律进行加权递减 • 局部样本的确定由优化数据获得（耗时最长）
新疆大学2012
区域发展
地理加权面 板回归结果， 个体固定效 应（短面板 一般用固定 效应模型更 准确）
新疆大学2012
区域发展
新疆大学2012
分析对比
除了在京津及河北主要城市外，人均外资投 入似乎对大北京地区区域经济发展作用不大， 这一点横截面GWR和GWPR分析结果较一致， 但GWPR结果更明确
新疆大学2012
地理加权回归方法
1996年由Fotheringham等人提出
2002年出版《地理加权回归》一书，并附实现 软件，使得该方法迅速得到推广 除随书出版的软件外，基于R环境的SPGWR软 件包，也可以提供地理加权回归的估算
基本思路
同一自变量在不同的位置与因变量间关系不一 定相同
• 同样的投资在广州的产出与在白银的产出会一样吗？ • 相同的教育水平在上海获得的薪资与在成都获得的薪
资一样吗？
地理加权回归
新疆大学2012
假定任一点上的观测值，都是一个不断变化， 但平滑的空间过程，在该点上的实现
该空间过程基于地理学第一定律，描绘变量间 关系在空间上的差异性
打破传统回归变量间关系普适的规则
• 普通回归：yi=0 + 1x1i+ 2x2i+……+ nxni+i • 地理加权回归： yi=i0 + i1x1i+ i2x2i+……+ inxni+i
空间延迟是某一空间单元“邻居”的观测值的加 权平均
计算空间延迟的步骤
• 设立自相关的空间范围－谁是“邻居” • 加权平均“邻居们”的属性值 • 权重由空间关联矩阵决定
新疆大学2012
空间延迟
空间关联矩阵（W）
距离递减联系矩阵
• 符合地理学第一定律，但计算复杂，数据过大时，可 能无法计算
• 矩阵元素与两空间单元距离成反比
• 称之为局部面板样本
新疆大学2012
地理加权面板数据分析 w
w2 1 w(b)
w3 b
时间2 时间1
新疆大学2012
地理加权面板数据分析
对于每一个局部面板数据做普通面板回归
确定固定效应或随机效应
• 可以采用Hausman检验
依据时点或者个体（或两者）进行数据混合 （pool） 获得面板回归系数为地理加权的面板回归系数 对每一个地理位置进行混合性（poolability）检 验
R2
0.45
AIC 347.03
RMSE 0.012
RE 0.76Hale Waihona Puke Baidu
-328.36 0.007 0.41
-332.33 0.007 0.39
0.90 -254.39 0.006 0.33
新疆大学2012
城市房地产市场分析
空间模型比非空间模型评估误差小 局部模型（地理加权回归）比全局模型 （空间回归模型）评估误差小 简单对比可以看出，忽略地理性（无论 是自相关还是分异性）可能导致分析结 果误差增大，甚至可能误导决策
地理性对分析的影响
统计与计量经济分析第一假设：所有现象相互 独立
• 相互独立（无自相关） • 差异随机（无关距离）
地理数据的自相关及与距离相关的空间差异违 背分析假设
• 自相关表明现象与现象之间包含重复信息 • 系统变化的空间差异表明变量间关系亦可能存在空间
差异性
新疆大学2012
新疆大学2012
空间回归模型的测试
模型参数测试与最佳模型选择
两个问题
• 空间回归模型是否必要 • 哪一个模型更准确反映数据所代表的关系
应对：
• 拉格朗日乘子测试 • 采用Akaike Information Criterion （AIC）替换R2
对模型评估，越小越好
新疆大学2012
空间分异性对分析的影响及应对
地理加权回归存在的问题
局部多重共线性问题 无法直接处理时空数据问题
区域发展
新疆大学2012
地理加权面板回归分析方法是地理加权 回归方法在时空数据分析方面的延展
面板数据的使用，为消除局部多重共线性提 供可能
i wiji i
j
这一次，空间延迟表现在回归误差之中，λ 为误差延迟的系数
新疆大学2012
空间回归模型的估算
估算方法
显然，由于包括了空间延迟（误差中包括重复 的信息），基于误差最小化的OLS估算方法将 不再有效
不基于误差最小化的ML估算方法成为最佳选择
• 空间回归模型的误差项仍被假设是服从正态分布 • 由该假设可以获得误差项的似然方程 • 通过最大化该似然方程，可以估算出β、ρ或λ
新疆大学2012
地理加权回归的面板数据延展
空间面板数据回归
近年来空间回归的方法（延迟与误差模型） 被延展到面板数据的分析 将地理加权回归的方法应用到时空数据上有 很多探索
• 时空同质加权回归分析 • 地理与时间加权回归分析
我于09年提出地理加权面板回归分析
• 结合地理加权回归方法与面板数据分析方法
误差相互独立性不能满足
• 两个可能来源：
– 因变量存在空间自相关 – 有存在空间自相关的自变量没有包括在模型之中
• 两种不同的模型
– 延迟模型Spatial Lag Model – 误差模型Spatial Error Model
新疆大学2012
空间延迟
空间延迟
概念类同时间序列分析中的时间延迟
• 但空间上并无真正的“延迟”
空间自相关对分析的影响及应对
区域计量经济分析
以回归模型建立变量与变量间关系 历史悠久，分析方法成熟
• 最小二乘法（OLS） • 最大似然法（ML）
OLS简单明了，但假设严格：线性、正态误 差、误差相互独立性
空间自相关的存在直接违背OLS的假设
新疆大学2012
空间回归方法
基于地理性的回归分析
空间回归分析
新疆大学2N01ei2menggu
应用实例
Chengde
Liaoning
大北京地区区域经济 发展机制分析（1995
Zhangjiakou
Qinhuangdao
– 2001）
Beijing
Langfang
县级单位可比价人均 GDP作为区域发展度 Shanxi
Tangshan
Tianjin
±
量 发展机制：人均固定 资产投资 （FIXINVPC）、人均 财政收入 （FININCPC）、人均
确立局部样本之后，可以对地理空间中每一单 元进行简单回归，获得该单元上参数
参数可以地图化
新疆大学2012
地理加权回归的面板数据延展
地理加权回归仍然属于横截面分析
无法处理时间序列数据
• 虽然可以在每个时间点进行GWR分析，但忽略 了时间点间的内在联系
面板数据分析
以地理单元为基础的面板数据同时具备时间 与空间的特性 面板数据分析较少考虑地理数据的空间特性 （空间自相关及空间分异性）
大北京地区而言，地方财政能力（收入能力） 是区域经济发展最有力的驱动力
• GWPR显示该能力在城市地区更为明显
• GWR结果则没有表现出这一分野
新疆大学2012
区域发展
分析对比
对于人均固定资产投资，GWR分析不具备特定 模式，但GWPR清楚反映人均固定资产投资对 区域经济的发展在县比市更明显，对于京津而 言，几乎没有什么作用。这一点与人均财政能 力正好呈鲜明互补。
• GWPR的分析，则清晰地揭示城市化水平在高度城市 化的区域（京津、石家庄）对区域经济的发展是有贡 献的
对比而言，GWPR给出的分析结论更可能符合 实际区域经济发展的内在关系
区域发展
新疆大学2012
地理加权回归分析方法的出现，为从更 详细的角度分析地理数据提供可能
分析结果可视化（地图化） 分析模式具体化 分析结论合理化
• 许多情况下，混合性检验不一定能通过，但研究表明 （Baltagi，2010），即便如此，混合模型比非混合 模型更具有解释力
新疆大学2012
地理加权面板数据分析
在R中SPGWR软件包的基础上，拓展开 发了SPGWPR函数
目前可以进行个体、时点及两者的地理加权 面板回归 混合性检验已经完成 Hausman检验在开发中 暂时只能用于时间序列较短的面板数据分析
分界距离二元矩阵
• 两空间单元间距离小于一定数值即被认为“邻居” • 邻居矩阵元素为1，非邻居元素为0 • 为计算方便，关联矩阵一般都进行行标准化
– 由此计算的空间延迟相当于对某一空间单元“邻居们”进行 算术平均
空间延迟模型
新疆大学2012
假设误差自相关是由因变量的自相关引起
因此，正确的模型可以写做：
Baoding
Shijiazhuang
Cangzhou
Hengshui
Xingtai
Shandong
Prefecture County
外商直接投资（FDIPC）
以及城市化水平（URB）
Handan
生产函数
100 50 0
100
Kilometers
区域发展
横截面地理 加权回归， 采用2001年 的数据
系数随空间位置（i）变化而变化
新疆大学2012
地理加权回归的估算
估算的困难
普通回归中，有n组数据，k个待估参数，n 远大于k，估算有唯一解
地理加权回归中，n组观测数据，但有n×k个 待估参数，普通估算无法进行
新疆大学2012
地理加权回归的估算
估算采用符合第一定律的地理加权
任一点上的观测值，都是一个不断变化，但 平滑的空间过程在该点上的实现 依据空间自相关的原理，可以进一步假设对 于任一位置，其相邻位置上的观测值，都包 含该平滑过程在该相邻位置上，按第一定律 空间递减后的信息 多数实例表明，连续的高斯曲面可以很好模 拟该递减过程
空间自相关的对立统一面
近者相近，则远者相异
空间分异性导致局部差异的形成
总体的与局部的模式、关系、度量可能大不一 样
• 乌鲁木齐今天的平均气温跟新大今天的平均气温会有 差别，跟地窝堡机场今天的平均气温也会有差别等
表现在关系上，指相同的要素（投入），会在 地理空间上导致不同的要素（产出） 是地理加权回归方法（GWR）的理论基础
yi wij y j xi i
j
wij是i与j单元在进行过行标准化后的空间关联矩
阵中对应的元素，wij yj 即i单元的空间延迟，ρ
是空间延迟的系数，j 其他符号与普通回归相同
空间误差模型
新疆大学2012
假设误差自相关是因没有包括某些有自 相关的自变量引起
正确的模型可写成：
yi xi i
地理数据分析的艺术6212
讲座纲要
新疆大学2012
讲座目的
地理数据的特殊性及空间数据分析的方法
地理数据的特殊性 – 地理性
数据空间自相关与分异性（空间效应） 地理性对数据分析，尤其是回归分析的影响 及应对
• 自相关——残差不再相互独立：最小二乘无效 • 应对——空间回归：延迟与误差模型
新疆大学2012
新疆大学2012
地理加权面板数据分析
基本概念类同与横截面GWR分析
将以地理单元为数据收集单元的面板数据称为 “地理面板数据”（Geo-Panel） 在地理面板数据中，首先假设平滑的空间过程 在较短的时间内不会发生大的变化
• 如果时间序列较长，可以考虑对空间平滑过程进行时 间修正
采用类同与横截面GWR分析中的处理，对每一 地理位置获得一个局部样本
• 长序列需要考虑到空间平滑过程的调整，原理虽 然简单，实现颇费工夫
新疆大学2012
应用实例——城市房地产市场分析
密尔沃基城市房地产市场的享乐模型
因变量：房屋评估价格 自变量：房屋面积、年龄、是否有壁炉、是 否有空调、卫生间数量、小区裸露土壤与不 透水面比率 模型对比：最小二乘模型（OLS）、空间回 归（延迟与误差模型）与地理加权回归模型 （GWR）
• 可以理解为高度城市化区域，如京津地区及河北大城 市地区，其经济发展在很大程度上是依赖自身的发展 根底
• 而城市化水平较低区域，国家的支持力度对区域经济 的发展更具备影响力
新疆大学2012
区域发展
分析对比
城市化水平对区域经济发展的贡献
• GWR的分析表明城市化水平对区域经济发展的影响 主要集中在河北的中部，东北部及天津、北京的东部， 而且其影响是负面的。这一点不太符合实际情况，可 能是由于局部自变量的多重共线性所造成
新疆大学2012
城市房地产市场分析
评估参数
均方根误差（RMSE），衡量绝对误差
RMSE 1
n
n
( yi yˆi )2
i 1
相对误差（RE），衡量相对全局均值的误差 n | yi yˆi | RE i1 n | yi y | ii
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城市房地产市场分析
OLS SA_Lag SA_Err GWR
新疆大学2012
地理加权回归的估算
w
w2 1 w(b)
w3 b
新疆大学2012
地理加权回归的估算
构建局部样本，进行局部回归
依循上述假设，对地理空间中任一单元，可以 构建一套局部样本
• 局部样本由该单元及其相邻位置上的单元构成 • 相邻单元的“观测值”依第一定律进行加权递减 • 局部样本的确定由优化数据获得（耗时最长）
新疆大学2012
区域发展
地理加权面 板回归结果， 个体固定效 应（短面板 一般用固定 效应模型更 准确）
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区域发展
新疆大学2012
分析对比
除了在京津及河北主要城市外，人均外资投 入似乎对大北京地区区域经济发展作用不大， 这一点横截面GWR和GWPR分析结果较一致， 但GWPR结果更明确
新疆大学2012
地理加权回归方法
1996年由Fotheringham等人提出
2002年出版《地理加权回归》一书，并附实现 软件，使得该方法迅速得到推广 除随书出版的软件外，基于R环境的SPGWR软 件包，也可以提供地理加权回归的估算
基本思路
同一自变量在不同的位置与因变量间关系不一 定相同
• 同样的投资在广州的产出与在白银的产出会一样吗？ • 相同的教育水平在上海获得的薪资与在成都获得的薪
资一样吗？
地理加权回归
新疆大学2012
假定任一点上的观测值，都是一个不断变化， 但平滑的空间过程，在该点上的实现
该空间过程基于地理学第一定律，描绘变量间 关系在空间上的差异性
打破传统回归变量间关系普适的规则
• 普通回归：yi=0 + 1x1i+ 2x2i+……+ nxni+i • 地理加权回归： yi=i0 + i1x1i+ i2x2i+……+ inxni+i
空间延迟是某一空间单元“邻居”的观测值的加 权平均
计算空间延迟的步骤
• 设立自相关的空间范围－谁是“邻居” • 加权平均“邻居们”的属性值 • 权重由空间关联矩阵决定
新疆大学2012
空间延迟
空间关联矩阵（W）
距离递减联系矩阵
• 符合地理学第一定律，但计算复杂，数据过大时，可 能无法计算
• 矩阵元素与两空间单元距离成反比
• 称之为局部面板样本
新疆大学2012
地理加权面板数据分析 w
w2 1 w(b)
w3 b
时间2 时间1
新疆大学2012
地理加权面板数据分析
对于每一个局部面板数据做普通面板回归
确定固定效应或随机效应
• 可以采用Hausman检验
依据时点或者个体（或两者）进行数据混合 （pool） 获得面板回归系数为地理加权的面板回归系数 对每一个地理位置进行混合性（poolability）检 验
R2
0.45
AIC 347.03
RMSE 0.012
RE 0.76Hale Waihona Puke Baidu
-328.36 0.007 0.41
-332.33 0.007 0.39
0.90 -254.39 0.006 0.33
新疆大学2012
城市房地产市场分析
空间模型比非空间模型评估误差小 局部模型（地理加权回归）比全局模型 （空间回归模型）评估误差小 简单对比可以看出，忽略地理性（无论 是自相关还是分异性）可能导致分析结 果误差增大，甚至可能误导决策