丘成桐 - 几何 - 魅力及应用

• 面积为5
同 余 数
• 1983年， Tunnell用 Birch-Swinnerton-Dyer 猜想
证明了： 如果 n 是一个奇的非平方整数， n 是同余数 当且仅当满足方程
的三元数组(x,y,z) 的个数是满足方程
的三元数组(x,y,z) 的个数的两倍。
椭圆曲线
• 如果同余数n 是由三元数组(x,y,z)构成的直角三角
雕龙一小段，使我记忆尤深。
载 之 下 。
标 心 于 万 古 之 上 ， 而 送 怀 与 千
嗟 呼 ， 身 与 时 舛 ， 志 共 道 申 ，
文 心 雕 龙 ：
丘 镇 英
基 础 在 育 才 当 海 山 胜 境 有 怀 抱 与 陶 铸 人 群
崇 高 惟 博 爱 本 天 地 立 心 无 间 东 西 沟 通 学 术
几何: 魅力及应用
丘成桐
美国哈佛大学
科学的兴起与个人修养、团体文化有直接的关 系。 假如一个人的一生目标以逐利当官为大前提， 做学问顶多是一个过渡手腕，即使小有成就，也难 以持久。推动科研的热情和好奇心很快就会冷淡。 传世之学，更无足论了。
即使我的学生中间也有很多年少得志的，不但有 名闻全国，也有屡得奖于海外的。但往往沾沾自喜， 以为学有成就，就争名逐利、自夸自大。往往急功近 利，导致文章错误百出。又为了做院士，花了很多时 间去巴结权贵。在这样的背景下，何以做高雅的学问， 更遑论传世之学了。 做大学问的学者，必需有崇高的志向。而立志不 易，必需有深厚的文化环境和朋友老师的激励才能形 成这个先决的条件。
…… 天 宋 遥 徽 地 宗 远 ， 万 水 千 山 ， 知 他 故 宫 何 处 ， 怎
……
……
不 思 量 ， 除 梦 里 有 时 曾 去 。
其 实 我 想 加 一 首 词 ：
火 阑 珊 众 辛 处 里 弃 。 寻 疾 他 千 百 度 ， 蓦 然 回 首 ， 那 人 却 在 灯
衣 柳 带 永 渐 宽 终 不 悔 ， 为 伊 消 得 人 憔 悴 。




该不等式显示，对代数曲面，存在一些非平凡的拓扑限制。
全纯1-形式
• 受到流体力学和麦克斯韦方程的启发，嘉当，德· •
记
是X上 d 次有理曲线的个数。
•
•
如何计算 一百多年来一直困扰着数学家们。物理学中 的镜像对称预言可用经典超几何函数来计算所有的 。 1998年，连文豪-刘克峰-丘成桐首次给出完整的论证，使 问题得以最终解决。
卡拉比猜想的解决

卡拉比猜想的解决也给出了具负宇宙常数的度量。这类度 量实际上是庞加莱在曲面上构造的度量的推广。 最显著的断言是一个由复代数多项式定义的空间如果能形 变到一个复线性空间，那么这个空间也是复线性的。 可证明一个基本的不等式（米姚卡-丘成桐）：对于代数曲 面S, 是曲面的欧拉数， 和曲面的拓扑指标有关。
量是正的。
• 这对应着几何中，在某些数量曲率的限制下，研
究三维流形的几何。
• 萧恩和丘成桐用经典的变分方法证明了正质量猜
想：研究空间中的极小曲面。
• 后来威腾用狄拉克方程和超引力重新证明了正质
量猜想。
求解爱因斯坦方程
• 广义相对论中困难的问题是如何求解爱因斯坦方
程。
• 物质张量为零
的情形。
• 黎曼几何中一个非常有趣的问题：能否找到一个
• 一张纸的曲率为零。可以将纸弯成一个圆柱面。 • 两个曲面是相同的：不拖长或撕裂曲面。两曲面 • •
的形状不同。 两类几何： 内蕴度量给出高斯曲率 外蕴形状给出主曲率 悬链面 – 螺旋面 (等距形变 )。
曲率的内蕴定义
demo
高斯(1817)
• 我越来越确信几何的必然性无法
被验证，至少现在无法被人类或 为了人类而验证。我们或许能在 未来领悟到那无法知晓的空间的 本质。
闭空间，没有物质却有引力？
• 当空间具超对称性时，该问题较容易。
求解爱因斯坦方程
•
例如, 当空间具复坐标 黎曼度量并可写成
• • • •
这种情况下，有一个重要的量
有拓扑意义。 由陈省身引入，刻画着空间的整体拓扑，称为第一陈类。 空间容许真空解要求第一陈类为零。
卡拉比-丘成桐空间
• 第一陈类为零可以在代数意义下验证。 • 丘成桐证明了第一陈类为零的复曲面上存在具超
● ●
可以用下面的公式找到整数的毕达哥拉斯三元数组
(a, b, c) ( x y ,2 xy, x y )
2 2 2 2
这里
都是正整数。
（毕达哥拉斯，欧几里得，丢番图……）
毕达哥拉斯三元数组
• 一个困难问题：分类所有的有理数毕达哥拉斯三 •
元数组，使其对应的直角三角形的面积为整数。 这样的整数叫同余数。 同余数：例如，1，2，3，4不是；5，6，7是。
在西方，为了培养研究人员的素质，特别讲究通 才教育。其实中国深厚的文化提供了做学问最好的背 景，中国诗词歌赋意境高超，能够纯化个人的心志。 屈原天问篇一连问这么多问题，值得我们学习。孟子
知言养气，是培养气质和做学问的很好的方法。
我年少时家贫，父亲却勉我以学问，不以
富贵为志。父亲写了一本西洋哲学史，引文心

Theta函数的某些积的系数为零。
柏拉图多面体
• 正多面体是凸体，每个面是相同的正多边形，每
个顶点相连着同样数目的面。
• 仅有五种：正四面体，立方体，正八面体，正十
二面体，正二十面体。
• 这些多面体和复奇点的现代理论有关，也和弦理
论中非紧致卡拉比—丘成桐流形有关。 面 4 顶点 4 边 6
柏拉图多面体
形的面积，这里 x,y,z 均是有理数，设
我们发现
满足该方程的曲线叫椭圆曲线，它们构成一个群。
椭圆曲线
• 如果
和 是一曲线的两点， 和该曲线的交点，那么
是直线
• 稍后我们将看到椭圆曲线在现代几何和在弦理论
中起着非常重要的作用。
椭圆曲线 – 同余数
• n 是同余数

椭圆曲线 解。 某些相伴的函数在 有无限多个有理数 处为零。
• •
•
对称的真空爱因斯坦方程的解。这是卡拉比猜想 的一部分。 这类空间称为卡拉比-丘成桐空间。 椭圆曲线
也是一个卡拉比-丘成桐空间。 柏拉图多面体和某些卡拉比-丘成桐空间有着紧密 地联系。
卡拉比-丘成桐空间
• •
记 X 为一五次卡拉比-丘成桐空间，其由射影空间中的下 述齐次多项式定义:
简单地说，X上d 次有理曲线是一个d 次多项式 解
• 问题：如何重新发现度量？
有一个黎曼面，即给出一个复坐标 z。 有一个定义在黎曼面上的曲率函数 K。
高斯曲率
黎曼度量的曲率
• 在高维情形，黎曼度量的曲率远不是一个数量函
数，它依赖于空间在某个截面上是如何弯曲的， 称为曲率张量。
• 可以对全部曲率张量缩并，得到一个小的张量，
称为里奇张量。记为 。
• 2(1-h) 称为欧拉数
欧拉数
• 环柄数分别为 1, 2, 3
对称性—正多面形
• 正多面体、砖瓦面、几何图案给出对称性概念，
支配着几何学的发展。
• 晶体按照对称群分类
高斯—博涅公式
•
对多面体我们可以指定与某个顶点 v 相 连的面的曲率为 - 与 v 相连的面的内夹角
• •
所有顶点处曲率之和为
■
… 几何公设仅是一些定义。
—庞加莱
毕达哥拉斯
●
给出一个直角三角形
c a b
2 2
2
该定理是几何学的一个基础 ●三元数组(3,4,5) 在古代文明中是非常著名的。 我们称 (a,b,c) 为毕达哥拉斯三元数组。
●
毕达哥拉斯三元数组
希腊人意识到，当 时，c 不是有理数， 也就是说，c 不是两个整数的商。
•
希腊天文学家将几何学应用于天文测量。 例如，地球的直径（在赛伊尼的埃拉斯特 尼 (公元前 275年-195年))。 对天文测量的愿望反过来又影响着几何学 和三角学的发展。
•
… 相信我，如果我可以重新开始学习，我将听 从柏拉图的建议，从数学开始。
——伽利略
文艺复兴时期
• 笛卡儿(1596-1650) • 德萨格 (1591-1661)
昨 夜 西 晏 风 殊 凋 碧 树 ， 独 上 高 楼 ， 望 尽 天 涯 路 。
王 国 维 论 做 大 学 问 三 个 过 程
例 如 ：从 中 国 古 文 中 ， 可 以 看 到 做 科 学 的 方 法 ，
除了中国古代文学对我的影响外，我也看翻译的西方文学 作品，其中一首诗使我十分感动的是：
英国大诗人拜伦 “希腊啊！你本是平和时代的爱娇，你本是战争时代的天 骄。撒芷波，歌声高，女诗人，热情好。更有那德罗士、菲波 士荣光常照。此地是艺文旧垒，技术中潮，如今在否？算除却 太阳光线，万般没了。”
“马拉顿前啊！山容缥缈。马拉顿后啊！海门环绕。如此好 山河，也应有自由回照。我向那波斯军墓门凭眺。难道我为奴为 隶，今生便了？不信我为奴为隶，今生便了。”
梁启超翻译
欧几里得(公元前350年) 《原本》
●
欧几里得几何公设
任意两点间可作唯一的直线 ■任何线段可以无限延长 ■以任一点为中心和任一距离为 半径可作一圆 ■所有直角彼此相等 ■对于一直线L和该直线外的一点 P，存在唯一通过P，并和L不 相交的直线。
时 空
• 一般地，我们不能期望由爱因斯坦方程定义的时
空有很多的对称性。
• 因而，很多经典力学中的守恒量在广义相对论无 • 对于广义相对论中的孤立物理系统，时空在无穷
法直接定义。这里包括质量、动量、角动量等。
远处基本上是平坦地，因而具渐进对称性。这给 出了总质量、总动量和总角动量的定义。
正质量
• 一个复杂的问题是在某些合理的条件下,证明总质
高斯-博涅-魏依-艾伦多夫和陈省身推广 了上述公式
高斯—博涅公式
• 这类联系几何信息和拓扑量的公式在现代几何学
和现代物理学中有着显著的重要性。（在物理语 言中，这类公式联系着拓扑荷，拓扑缺陷。）
• 这类理论建立在陈类基础上。1960年 阿蒂亚-辛格
作出了光辉的推广。分析和几何产生了紧密的联 系。
天文测量
崇 基 学 院 门 前 对 联
之﹁ 言会 也当立 。凌德 绝立 顶功 ，之 一道 览， 众必 山以 小谦 ﹂让 轻质 妄朴 浮为 誇主
立 言 ，太 虽上 久有 不立 废德 ，， 此其 之次 谓有 不立 朽功 。， 其 次 有
叔 孙 豹 论 三 不 朽
左 传
的很 文早 章教 父 。导 亲 我很 的注 古重 文我 中有 就崇 有高 左的 传志 论向 三， 不所 朽以
正四面体
立方体 正八面体 正十二面体 正二十面体
6 8 12 20
8 6 20 12
12 12 30 30
• 各多面体间的对偶
欧拉数
• 对于柏拉图多面体: • 欧拉注意到如果一个闭曲面能连续地形变到一个
这里 h 是环柄个数 闭的多面体。分别记V,E,F,为该多面体的顶点数, 边数和面数，那么
• 对于球面, h=0,

解析几何：笛卡儿坐标系
射影几何
• 费马(1601-1665)
• 牛顿 (1642-1727) •


变分原理：测地线
微积分
微积分
莱布尼茨(1646-1716)

源于少数原理，…却结出累累硕果， 这就是几何的骄傲。 ——牛顿
拓扑和几何的现代发展
•
•
欧拉 (1707-1783) 多面体的欧拉公式，组合几何， 变分分析，几何与力学，极小曲 面。 高斯 (1777-1855) 双曲几何 ( 和罗巴切夫斯基 ( 1792-1856), 波尔约 (18021829)一起 )，高斯曲率的内蕴 定义。 )
• 里奇张量是一个对称张量，其迹称为数量曲率。
记为 。
爱因斯坦方程
• •
黎曼几何被爱因斯坦(在格罗斯曼、希尔伯特帮助下)用来 描述广义相对论。广义相对论融合了狭义相对论和引力。 爱因斯坦方程
这里 是物质张量（引力由度量 量来描述）。
的全部的曲率张
•
爱因斯坦方程对几何学家们启发深刻。这是一个高度非线 性理论。（ 是引力位势，是未知量）。
黎曼面
• 后来人们意识到对二维空间，每个黎曼度量都可
以写成
• 如果引入复数
• 度量可写成
黎曼面
• 这样的复坐标在相差一个全纯变换的意义下是唯 • •
一的。 具有这样复坐标的抽象二维空间称为黎曼面。 此概念应用于计算机图形学。
黎曼面
●
曲面间的全纯变换
demo
高斯曲率
• 黎曼面的高斯曲率为
• 黎曼面给出称为复流形的首个例子。
பைடு நூலகம்
• 我们无法把几何和纯粹是先验的
算术归为一类。几何和力学却不 可分割。
黎曼(1826-1866)
• 在抽象定义的空间上引入黎曼度量
• 在无穷小近似下就是欧氏几何。然而
• •
只在一阶近似下是等同的。 二阶近似由度量的曲率张量来衡量。 导致了几何学的革命。 克里斯托费尔，列维-齐维塔，比安基 ……，发展了这类抽象空间上的微积 分。