函数的零点存在定理

《函数的零点存在定理》一、教材内容分析

《函数的零点》第二课时，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。

1、教材的地位与作用

函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础。可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位。

2、内容分析

本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理。

函数零点是研究当函数)

f的值为零时，相应的自变量x的取值，

(x

反映在函数图象上，也就是函数图象与x轴的交点横坐标。

由于函数)

x

f，其本身已是方程的形式，因

(=

(x

f的值为零亦即0

)

而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程f有解，则函数)(x

x

f存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，(=

)

也是函数图象与x轴的交点横坐标。顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题。这是函数与方程关系认识的第一步。

零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。如果函数)

y=在区间[]b

f

(x

a,上的图象是一条连续不断的曲线，并

且满足0)()(<⋅b f a f ，则函数)(x f y =在区间()b a ,内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断。定理的逆命题不成立。

方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了似的方法，同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。

二、教学内容诊断分析

本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数。对于高一学生，在经过一段时间的学习，对函数和方程已有了一定的认知，但大部分学生还缺乏自主学习的能力，这就需要我们老师的启发与引导。

三、教学目标 分析

知识与技能目标：

① 了解函数零点的概念,理解函数零点与对应方程根之间的关系。 ② 理解函数零点的两条性质,初步掌握判断函数零点存在的方法。 ③ 在教学过程中渗透数形结合思想,在函数与方程,不等式的联系中体会数学中的转化思想。

过程与方法目标：经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟从具体到抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。

情感态度与价值观目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，严谨的科学态度。

四、教学重点、难点分析

教学重点:①函数零点的定义；②函数零点、函数对应方程的实

根、函数图像与x轴交点之间的关系；③函数零点存在性判定定理。

教学难点:探究发现函数零点存在性判定定理，及利用函数的图像和性质判别函数零点的个数。

五、教学支持条件分析（即教法与学法分析）

结合本节课的教学内容和学生的认知水平：

在教法上，借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—探究—讨论”的教学模式。充分发挥教师的主导作用，引导、启发、充分调动学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体。

在学法上，“授人以鱼，不如授人以渔”，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台。

六、教学过程设计

1、温故知新

零点的定义：对于函数)

(=

)

x

f成立的实数x,叫

y=，把使方程0

(x

f

做函数)

y=的零点。

f

(x

实数x的三重身份：是函数)

x

f的

)

(=

y=的零点；函数对应方程0

(x

f

实根；也是函数)

f

y=图像与x轴交点的横坐标。

(x

我们知道了什么是函数的零点，那么怎样判断一个函数是否具有零点呢？这是我们这堂课主要研究的问题。

设计意图：为学生顺利进入新知探究做好铺垫，以旧引新，也利于学生构建知识网络。

2、探索新知

⑴思考：对于任意给定的一个函数y=f(x)，如何判定它是否存在

零点呢？

答：判定方程f(x)=0是否有实根。

师：很好，同学对函数零点的定义掌握得很透彻，这确实是一种直观的方法，它抓住了函数零点与方程实根之间的关系，这种方法可以解决一些我们熟悉的函数，比如一次函数、二次函数等的零点的问题。这样我们得到一种简单直观的判定函数零点存在性的方法：看对应函数的方程是否有实根。

⑵ 探究：对于函数)(x f y =，它对应的方程是否用实根不容易判断是时，如何判定它是否存在零点？

师：可是更多的我们遇到的却不是一次、二次函数这样的能够容易求解实根的方程对应的函数。比如，函数1)(35++=x x x f ，我们就不容易直接判断它对应的方程是否具有实根。

前面我们有的方法不能解决这个问题，那么这时我们应该怎么办？这是我们接下来要探究的重要问题。

① 引入情境：过河问题

观察两组图，看第几组图片能够说明人一定曾渡过河？