高中数学选修2-1抛物线及其标准方程(一)

2
p 2 p 2 ( x ) y | x | 2 2
两边平方,整理得
y2=2px(p>0)
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做抛物线的标 准方程。其中p为正常数,表示焦点在x轴 正半轴上. p p 焦点坐标是( , 0) 准线: x 2 2
P的几何意义是: 焦点到准线的距离
y
p M到焦点的距离是 a ( a> ),则点M 2
到准线的距离是 横坐标是 a－
p 2
a
, 点 M的
.
2. 抛物线y2 =12x上与焦点的距离等
于9的点的坐标是
(6, 6 2)
.
4.用笔扣住绳子,使A到笔的 绳紧靠着直角边,然后将三角 板沿直尺上下滑动.
5.观察笔描出的图形是什么?
定义:
平面内与一个定点F和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹---------抛物线. 其中: F---焦点, 直线L-----准线.

一般地 ， 圆 锥 曲 线 的 定 义 可 统为 一： | PF | {P | e} d ( 1 )当0 e 1时 , 椭 圆; ( 2 )当e 1时 , 双 曲 线; ( 3 )当e 1时 , 抛 物 线.
①当a>0时,
p 2 1 a
xபைடு நூலகம்
1 ∴2p= a
=
1 4a
1 4a
,抛物线的开口向右
1 4a
∴焦点坐标是（ ②当a<0时,
p 2
，0），准线方程是： x=
1 4a
=
,抛物线的开口向左
∴焦点坐标是（
1 ， 0 ），准线方程是： 4a
x=
1 4a
课堂练习
1. 抛物线
2 y
= 2px ( p>0 ) 上一点
(二)抛物线标准方程的推导 以过F且垂直于L的直线为x y 轴,垂足为K.以F,K的中点为 M(x,y) 坐标原点建立直角坐标系. p 设M(x,y), |FK|=P,则F ( , 0) 0 x K F 2 p 准线L: x . L 1.建立坐标系 2.设动点坐标 3.列方程 4.化简,整理 则
抛物线及其标准方程(一)
思考：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是 常数e的点的轨迹是 椭圆? 双曲线? (1) o<e<1,是椭圆 (2) e>1, 是双曲线 (3) e=1,又是什么图形?
●
数学实验
1.取一直尺,直角三角板,细绳, 2.将绳一端固定在一直角边 A点,绳长取A到另一直角边 的距离. 3.将绳另一端固定在定点F.
想一想?
x
y
K
0
方程是 什么?
0
2
x
x 2 py( p 0)
y2=2px（P>0）
(三)抛物线的标准方程
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
o
x
焦 点 p ( ,0 ) 2
准线方程
标准方程
y2=2px(p>0)
y
o
x
p ( ,0) 2
p x 2 p x 2
y2=-2px(p>0)
y
o
p 0, x 2
4.已知抛物线顶点在原点,焦点在y轴上,若抛 物线上一点A(m,-3)到焦点的距离是5,则该 抛物线方程是------------. 5.若点M到点F(1,0)的距离比它到直线 x+2=0 的距离小1,则点M的轨迹方程是_____.
6、抛物线的方程为x=ay2（a≠0)求它 的焦点坐标和准线方程. 抛物线标准方程为：y2=
x
﹒
o
y
p 0, 2
p y 2 p y 2
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
[思考与练习] 1.已知抛物线的标准方程为y2=6x 则焦点坐标为-------,准线方程为---------. 2.已知抛物线的焦点坐标为F(0,-2), 则它的标准方程为-------. 若抛物线的准线方程是x=-2,则它的标 准方程为-------. 3.焦点在直线x-2y+3=0上的抛物线标 准方程为-------.