巧用渐进线求双曲线系方程

巧用渐近线求双曲线系方程

圆锥曲线与方程是高中数学人教A 版选修2-1第二章内容，是高考的一个热门考点，双曲线是三类曲线中知识点涉及比较多一类曲线，渐近线是双曲线独有的性质，但是我们的同学对渐近线的理解与应用比较肤浅，加之解答过程不规范，缺乏条理性，在这个知识点我们做题耗时太多，得分率较低。下面就通过一道例题向大家阐述：怎样巧用渐近线求双曲线系方程，怎样规范解答双曲线的问题，提升向同学们的得分率，同时欣赏规范书写带给我们数学美（语言美，布局美）。

问题1求与双曲线19

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2=-y x 有共同渐近线，并经过点)3,32(-的双曲线的方程。法1解：由双曲线191622=-y x ，得渐近线方程为x y 4

3±=， 而点)3,32(-在渐进线方程x y 4

3-=的左下方， 则所求双曲线的焦点在y 轴上，可设双曲线的方程为：122

22=-b

x a y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=11294322b a

b a ，解得4,4922==b a ， 故所求双曲线方程为：14

942

2=-x y 法2解：由双曲线191622=-y x ，得渐近线方程为x y 4

3±=， （1）若焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为：122

22=-b

y a x 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=19124322b a

a b 解得42-=a ，故此时无解。 （2）若焦点在轴y 上，可设双曲线的方程为：122

22=-b

x a y

则⎪⎩⎪⎨⎧=-=11294322b a

b a ，解得4,4922==b a ， 故所求双曲线方程为：14

942

2=-x y 法3 解：由所求双曲线与双曲线19

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2=-y x 有共同渐近线， 可设（得）双曲线的方程为：)0(9

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2≠=-λλy x 而点)3,32(-在所求双曲线上， 则λ=-991612， 即4

1-=λ 故所求双曲线方程为：14

942

2=-x y 分析：三种方法都是待定系数法求双曲线的方程，法1，法2涉及两个参量（a,b ）,法3涉及一个参量，显然法3用时少，计算简单，效果好。

反思结论：双曲线122

22=-b

y a x 与)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线相同； 双曲线122

22=-b

y a x 与)0(2222>=-λλb y a x 具有相同的渐近线方程且焦点都在x 轴上；双曲线122

22=-b

y a x 与)0(2222<=-λλb y a x 具有相同的渐近线方程且焦点的位置不同。