洛必达法则讲解及应用

x x x arc cot( x)
lim
x
1
1 x2 1 x2
1.
可以简化运算.
例10 求 lim ln(1 2x). x0 sin 3x
解 所给极限为 0 型，可以由洛必达法则求之. 0
注意极限过程为 x 0,又ln(1 2x) ~ 2x,sin 3x ~ 3x， 如果引入等价无穷小代换，则
原式 lim 2x 2. x0 3x 3
例11
求
lim
ln(1
洛必达法则求之.如
lim [ f (x) g(x)] lim
xa
xa
g(x) 1
(x)
(x) f (x)
或
lim [ f (x) g(x)] lim
xa
xa
f
(x) 1
,
(x)
(x)
g(x)
前者为0型，后者为 型.
0
2.如果 lim f (x) , lim g(x) (或同为 ),
xa
lim 6x 2 . x2 6(x 2)
二、 型
定理4.6 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：
(1) lim f (x) , lim g(x) ,
xa
xa
(2) 在x a的某邻域内(x a可以除外)，f (x)
与g(x)存在,且g(x) 0, (3) lim f (x) 存在(或无穷大)，
证明时，只要令x 1 就可利用定理4.4的结论得 t
出定理4.5.
例1 求 lim e x ea . xa x a
解 为 0 型，由洛必达法则有 0 lim e x ea lim (e x ea ) xa x a xa (x a) lim e x xa 1 ea.
1
例2 求 lim x . x arc cot x
f (x) f (x) f (a). g(x) g(x) g(a) 由定理的条件可知，在点a的某邻域内以a及x为 端点的区间上，f(x)，g(x)满足柯西中值定理条件. 因此
f (x) f (x) f (a) f ( ) , 在a与x之间. g(x) g(x) g(a) g( )
当x a时，必有 a，因此 lim f (x) lim f ( ) lim f ( ) lim f (x). xa g(x) xa g( ) a g( ) xa g(x)
对于x 时的0型，有 0
定理4.5 如果f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) lim f (x) 0，lim g(x) 0，
x
x
(2) 当| x | 足够大时，f (x)和g(x)存在，且g(x) 0,
(3) lim f (x) 存在(或为无穷大)，那么 x g(x)
那么
lim f (x) lim f (x) . x g(x) x g(x)
如果x=a为f(x)和g(x)的可去间断点，可以构造新 函数F(x)，G(x).
F
(
x)
f (x), 0,
x a, x a,
G(
x)
g ( x), 0,
x a, x a.
仿上述推证可得
lim f (x) lim F (x) lim F(x) lim f (x). xa g(x) xa G(x) xa G(x) xa g(x)
xa
(x)
(x)
则称 lim [ f (x) g(x)]为 型极限.
xa (x)
对于 型，将函数进行恒等变型化为0 型或 0
型，再由洛必达法则求之.
例7 求 lim x ln x.
x0
解 lim x ln x lim ln x.
x0
x0 1
x
如果先令 x t，x 0时，t 0 ,因此
xa g(x)
那么
lim f (x) lim f (x). xa g(x) xa g(x)
定理4.7 如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：
(1) lim f (x) ，lim g(x) ,
x
x
(2) 在 | x | 足够大时, f (x)与g(x)存在，且g(x) 0,
(3) lim f (x) 存在(或无穷大)， xa g(x)
那么
lim f (x) lim f (x) . x g(x) x g(x)
例5 求 lim ln cot x. x0 ln x
解
为 型，由洛必达法则有
lim
ln cot x
lim
1 ( csc2 x) cot x
x0 ln x x0
1
x
lim x x0 sin x cos x
lim x lim 1 x0 sin x x0 cos x
1x) cos
1 x
.
x arc cot x
解 所给极限为 0 型，可以考虑使用洛必达法则.
0
但是注意到所求极限的函数中含有因子 cos 1 ，
x
且 lim cos 1 1 ，因此极限不为零的因子 cos 1
x x
x
不必参加洛必达法则运算.
又当 x 时，ln(1 1) ~ 1 ，故 xx
1 原式 lim cos 1 lim x
x0 x sin x x0 1 cos x
0
lim ex e x (0 型) x0 sin x 0
lim ex e x x0 cos x
2.
例4
求 lim
x2
x3 x2 8x 12 x3 6x2 12x 8
.
解 为 0 型，由洛必达法则有 0
lim x3 x2 8x 12 lim 3x2 2x 8 (0 型) x2 x3 6x2 12x 8 x2 3x2 12x 12 0
洛必达法则
一、0 型 0
二、 型
三、可化为0型或 型极限 0
如果函数 f (x)当x a(或x )时 ，其分子、 g(x)
分母都趋于零或都趋于无穷大.
那么，极限 lim f (x) 可能存在，也可能不 xa g(x)
(x)
存在.通常称这种极限为未定型.
并分别简记为 0 型或 型 .这节将介绍一种计算 0
lim cos x 1,
x0
而 lim x3 lim 3x2 lim 6x , x0 x sin x x01 cos x x0 sin x
原式 lim cos x lim x2 6 . x0 x0 x sin x
说明 如果 0型或 型极限中含有非零因子，
0
应该单独求极限，不要参与洛必达法则运算，
lim
x0
x ln x lim ln t 2 x0 1
2 lim ln t x0 1
t
t
1
2 lim t 0. x0 1 t2
例8 求 lim ( x 1 ). x1 x 1 ln x
解 为 型，先将所给函数变形.
原式 lim x ln x (x 1) (0型) x1 (x 1)ln x 0
ln
lim x1 ln x
x x 1
(
x x 1)
1
lim x ln x1 x ln x
x x
1
(0 型) 0
x
lim
x1
ln ln x
x
x
x 1
1 x
1
lim
x1
1 2
ln ln
x x
1 2
.Hale Waihona Puke Baidu
x
例9 求 lim x3 cos x . x0 x sin x
解 为 0 型，可以由洛必达法则求之.如果注意到 0
未定型极限的有效方法——洛必达 (LHospital) 法则.
一、0 型
0 定理4.4 如果f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) lim f (x) 0, lim g(x) 0，
xa
xa
(2) 在点a的某邻域内(x a可以除外), f (x)与g(x)
存在, 且g(x) 0， (3) lim f (x) 存在(或无穷大)，
xa g(x)
那么
lim f (x) lim f (x) . xa g(x) xa g(x)
证 由于 lim f (x) 0，lim g(x) 0 可知x=a或者是f(x)，
xa
xa
g(x)的连续点，或者是f(x),g(x)的可去间断点.
如果x=a为f(x)，g(x)的连续点，则可知必有f(a)=0， g(a)=0.从而
解 为 0 型，由洛必达法则有 0
1
(1)
lim x lim x
x arc cot x x (arc cot x)
lim
x
1 x2
1
1 x2
1.
例3 求 lim ex ex 2x . x0 x sin x
解 为 0 型，由洛必达法则有 0
lim ex e x 2x lim ex e x 2 (0 型)
1.
例6
求 lim
ex .
x x
解 为 型，由洛必达法则有
lim e x lim e x . x x x 1
三、可化为 0 型或 型极限
0
1.如果 lim f (x) 0, lim g(x) ， 则称
xa
xa
(x)
(x)
lim [ f (x) g(x)]为0 型.
xa
(x)
对于 0 型，先将函数变型化为 0 型或 .再由 0