第三章几何非线性分解

October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-5
几何非线性例子(续)
Y Z X
初始形状
变形形状
• 此例显示了绕轴线捆扎一根钢条。将金属弯曲成不同的形状是生产中常 见的操作。在此例中，应变达到25%，顶端旋转接近270 度！
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3-6
在大应变问题中，对数应变并不能自动适应任意大的旋转。
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3-19
真实应力或 Cauchy 应力
与对数应变 l 共轭的一维应力是真实应力 ,真实应力的计算是当 前的力 F 除以当前（或变形的）面积 A ：

F A
真实应力通常也称为 Cauchy 应力。
• 在另一些情况下，承受大旋转时，力将“ 追随”单元改变 方向。 这两种情况ANSYS都可模拟，取决于施加载荷的类型。
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3-8
载荷方向
加速度与集中力：
• 保持它们的初始方向，忽略单元取向。
表面压力载荷：
• 随单元旋转，因此总是垂直于wk.baidu.com形单元的表面（这些是真正的追 随力）。
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3-20
Green-Lagrange 应变
一维的Green-Lagrange应变 G 由下面的公式计算：
2 2 1 l l 0 G 2 2 l 0
此应变是非线性的，因为它取决于未知的更新长度 l 的平方。 此种应变优于对数应变或Hencky 应变 l 之处在于，它可自动适应 大应变问题中的任意大旋转。
第三章
几何非线性
大应变，大位移与大旋转特性
什么是几何非线性？
• 变形体几何形态的改变将明显影响物体的载荷－位移（如刚度） 特性。 • 几何非线性并不只是指大位移，而且还包括几何状态改变所引起 的任何结构响应的变化。它包括大应变、大位移和大旋转。
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F A0
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3-18
对数应变
一维问题中，对数应变 l 由下面公式计算：
dl l l lo
l
l Ln l 0
对数应变是非线性 应变，因为它是未知的最终长度 l 的非线性函 数。它同样可称为log应变 。三维等效对数应变是Hencky应变。
3-2
几何非线性特性
• 如果一个单元的形状发生改变（面积、厚度等），它本身的 单元矩阵会发生改变。
Y
X
• 如果一个单元的取向改变，它的单元刚度向整体刚度的转换 矩阵将发生变化。
Y X
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3-3
几何非线性特性（续)
• 如果单元应变产生了明显的面内应力 (膜应力)，垂直于面的 刚度会明显受影响。
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3-12
定义应变的要求(续)
• 无变形时应变为零，有变形时不为零。 • 通过材料的应力应变关系联系应力和应变。 • 如果材料旋转大，但发生的是刚体位移，则应变为零。
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3-13
应力与应变定义相对应
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3-15
一维问题中的应力应变定义
• 我们将通过一个简单的一维例题检查不同的应力应变 定义。
l
l0
l
F
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3-16
工程应变
• 工程应变 是小（无穷小）应变度量，使用初始的几何 构形计算。
• 大应变分析设定应变不再是无限小的，而是有限的或相当大的。 • 当应变超过一定百分比及不能忽视几何形状的改变时，可认为是 大应变。 • 大应变理论考虑了形状的改变（例如厚度，面积等等）及任何大 旋转。
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3-11
定义应变的要求
• 应变是我们描述物体变形 的手段。尽管在一定程度上应变的数学 定义可以任意，但它仍必须满足一些要求。
• 对应于度量物体变形的应变，应力度量了物体单位面积上的力。 • 尽管使用的应变可以是任意形式的，但使用的应力应与已定义的 应变相关。
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3-14
应力应变的共轭性
• 在非线性大应变分析中使用的应力必须与应变共轭 。 • 共轭性是指应力应变相乘时，得到的是一个标量（应变能），其 值与选择的应力应变无关。
• 更新压力表面以计算大应变效应。因此，对于施加的常压力，总 压力载荷将随表面积的改变而改变。
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3-9
载荷方向(续)
位移前的方向 载荷 位移后的方向
加速度
节点力
单元压力
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3-10
什么是大应变？
l l0
• 工程应变取决于初始长度，如 lo ，初始长度是事先已知 的，所以工程应变是线性的。 • 工程应变的应用局限于材料小旋转，中等大小的刚体旋 转将导致非零应变。
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3-17
工程应力
• 工程应变 的共轭应力为工程应力 ，工程应力的计 算是当前的力 F 除以初始面积 A0。
P Y X
P
UY
• 随着垂直位移的增加 (Y)，大的膜应力(SX)导致刚化响应。
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3-4
几何非线性例子
容器 的运动
(a) 初始形状
(b) 显示静水压力的变形形状
• 这是一个大应变分析的例子，一个轴对称的橡胶密封件受压缩。分析包 括接触，当密封件折叠时会发生自身接触。
几何非线性问题的复杂性
• 追随力 • 非线性应力应变度量 • 一致的非线性刚度矩阵 • 材料非线性 • 不可压缩性 • 网格扭曲
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3-7
追随力与载荷方向
注意当结构经历大位移与旋转时，载荷发生了什么变化。
• 在许多情况下，载荷将在变形过程中保持一致的方向。