第二章 金属塑性变形的力学基础

第 二 章
金
属
塑
性
变
形
的
力
学基应用：薄壁管扭转、薄壁容器承受内压，某些板料成形工序等。
础
2020/4/7
平面应力状态的应力张量为：
应力平衡微分方程：
三个不变量：J1 = σx +σy ； J2 = —σx σy + τ2xy ； J3 = 0
第 主应力： 1
二
章
2
=[(x+y)/2]+ {[(x-y)/2]2+ 2 xy }1/2
作用面为X 作用面为Y 作用面为Z
NOTE:
1） 2）
截σi、面τ正ij 的负命，名与规应则力
分
量
的
正
负
3） 切应力互等定理
4）九个应力分量有六个独立，
能完全确定一个应力状态
5）应力分量能在不同的坐标系
之间进行转换
2020/4/7
ij=
x xy xz yx y yz zx zy z
应力张量
式中：
2 xy
由图中的几何关系，可方便地得到主应力、主切应力公式：
1 2
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
只有在σ1和σ2的大 小相等方向相反
第 二 章
12
1
2 2
＝
x
2
y
2
2 xy
的时候τ12才是最 大切应力
金 属
23
2
2
31
1
2
塑
性 变
可写出主应力的方向与Ｘ轴的夹角α
形
的 力 学 基
单向拉伸时任意 斜面上的应力
全应力S=o cos 正应力=ocos2 切应力=0.5osin2
2020/4/7
二、三维坐标系中的应力分量和应力张量
第 二 章
金
属
塑
性
变
形
的
力
学
基
础
2020/4/7
x xy xz yx y yz zx zy z
作
作作
用
用
用
方
方方
第
向
向向
二
为
为为
章
X
Y
Z
金 属 塑 性 变 形 的 力 学 基 础
金
属 主切应力：
塑
性
变
形
的
力
学 基
NOTE:Ｚ向无应力，但是有应变；仅在纯剪切时Ｚ向才没有应变。
础
2020/4/7
2、平面应变状态下的应力状态 变形物体在某一方向不产生变形，称为平面变形，
其应力状态称为平面应变状态下的应力状态。
特点：①不产生变形的方向为主方向（设为Ｚ）， 即zx= zy =0, z 为主应力
第
性变形均适用。
二
章
金 属 塑 性 变 形
圆柱坐标下质点的应 力平衡微分方程：
r
r
1 r
r
zr
z
1 r
(
r
)
0
r
r
1 r
zr
z
2 r
r
0
的 力
rz 1 z z rz 0
学
r r z r
基
础
2020/4/7
九、平面问题的应力状态和轴对称应力状态
1、平面应力状态 特点：①某一作用面（如Ｚ面）上的应力为零，应力为零的方 向为主方向。 ②所有应力沿Ｚ向均布。即应力分量与Ｚ轴无关，对Ｚ 轴的偏导数为零。
Sx
Sy =(l m n) ij
第
Sz
二
章
S2=S2x+S2y+S2z
金
属
塑Βιβλιοθήκη Baidu性 变
=Sxl+Sym+Szn=xl2+ym2+zn2+2(xylm+yzmn+ zxnl)
形
2=S2-2
的
力
学
基
础
2020/4/7
四 、 主应力和应力不变量
1.主应力：
主平面上： =0 =S
故
Sx=Sl=l
Sy = Sm=m
础
2020/4/7
应力张量分解的物理意义可以进一步用图来表示：
第 二 章
金
属
塑
性
变
形
的
力
学
基
础
2020/4/7
2、应力球张量和应力偏张量
对于σijˊ (应力偏张量)亦有：J2ˊ、J3ˊ仿J2、J3得出
Note: 1. J1ˊ=0，应力分量中已无静水应力成分
2. J2ˊ与屈服准则有关
3. J3ˊ决定了应变类型（J3ˊ=0属于平面应变；
+
yx
y
zy +
x
性
z xy y yz z xz
变
形的J3= Tij
力
学
基
础
得到应力状态的特征方程 3-J12-J2-J3=0
三实根即为σ1、σ2、σ3 将σ1、σ2、σ3代入（2-9）中
任意两式并与（2-10）联解， 即可求的三个正交的主方向
2020/4/7
2.应力张量不变量
J1= x + y + z
第
②对于弹变σz=υ (σx＋σy) ；
二 章
对于塑变σz=(σx＋σy)/2=σm
金
属
塑 性
③所有应力分量沿Ｚ轴均布；即
变
与Ｚ轴无关，对Ｚ轴的偏导数
形 的
为零。
力
学
基
础
2020/4/7
平面应变状态的应力张量为：
σx τxy 0
(σx -σy)/2 0
0
σm 0 0
σij= τyx σy 0 =
0
金
12 = 23 = 31 =0
属 塑 性
2） 若三个主应力同时增加或减少一个相同的值时，主切 应力值将保持不变。
变 形
3） m = ( 1+2 + 3)/3= ( x+y + z)/3=J1/3
的
力
学
基
础
2020/4/7
六、应力球张量和应力偏张量 1、应力张量的分解
第 二 章
金
属
塑
性
变
形
的
力
学
基
Sz= Sn=n
代入（2-6）得齐次线性方程
（ x-）l+ yxm+ zxn=0
xyl+（ y-）m + zyn=0
xzl+ yzm+（ z-）n =0
且
l2+m2+n2=1
(2-9) (2-10)
第二章求展非开零行解列，式则 △，△且=设0 （2-11）
金J1= 属塑J2=
x —
+ y zx
+ z x
(σy -σx)/2 0 + 0 σm 0
0 0 σz
0
0
0
0 0 σm
σ1 0
0
(σ1 –σ2)/2 0
0
σm 0 0
= 0 σ2
0=
0
(σ2 –σ1)/2 0 + 0 σm 0
0 0 (1+2)/2
0
0
0
0 0 σm
Note：1.平均应力 m = (x+y)/2 = (1+ 2)/2
第
2.平面应变状态的应力偏张量为纯剪切状态。
力
学
基
础
2020/4/7
第一节：金属塑性成形过程的受力分析
第二节：变形体内一点的应力状态分析
第三节：变形体内质点的应变状态分析
第四节：屈服准则
第 第五节：塑性变形的应力应变关系
二
章 第六节：金属材料的实际应力应变曲线
金
属
塑
性
变
形
的
力
学
基
础
2020/4/7
第一节 金属塑性成型过程的受力分析
1、面力（接触力）
zx x yx y
zy x
J2= —
+
+
z xy y yz z xz
J3= Tij
第 二 章
J1、J2、J3为定值，不随坐标而变
金
主轴坐标系：
属
塑
σ1 0 0
性
变 形
σij＝ 0 σ2 0
的 力
0 0 σ3
学
基
础
2020/4/7
3.应力椭球面
主坐标系中点的应力状态的几何表达
S12 S22 S32 1
第 二 章
金 属
注：圆柱体的平砧均匀镦粗、圆柱体坯料
塑
的均匀挤压和拉拔等，其径向和周向正应力分量
性 变
相等，即σρ= σθ ， 则仅三个独立分量，上式还可
形
简化。
的
力
学
基
础
2020/4/7
十、应力莫尔圆——表示点的应力状态
1、平面应力状态的莫尔圆
莫尔圆圆心：C
: x
2
y
,0
半径：
R
x
2
y
2
2 1
2 2
2 3
第
二
章
金
属
塑
性
变 形
对一个确定的应力状态，任意斜面上全应
的 力
力矢量S的端点必然在椭球面上
学
基
础
2020/4/7
4.主应力图
只用主应力的个数及符号来描述一点应力状 态的简图
第 二 章
金
属
塑
性
变
形
的
力
学
基
础
2020/4/7
例题
已知点的应力状态 如图所示，请求出 主应力和主方向 （应力单位：MPa）
二 章
3.最大切应力和主切应力 12 = + (1 - 2)/2 = max ；
金
23 = 31 = + (1 - 2)/4
属
4.平面应变状态下最大切应力所在的平面与变形平面上
塑 性 变
的两个主平面交成45°角。这是建立平面应变滑移线理论的 重要依据。
形 的 力
5.平面应变状态的应力平衡微分方程，变形平面中斜面 上的应力和主 应力均与平面应力状态的形式相同。
第二章 金属塑性变形 的力学基础
2020/4/7
主讲：周细枝
塑性理论(塑性力学)：研究金属在塑性状 态的力学行为
假设：
1、变形体连续：可保证应力、应变、
位移等连续
第
二 章
2、变形体均质且各向同性：可保证微
金 元体的物理性质不变
属
塑 性
3、变形瞬间力平衡：可导出平衡方程
变
形 的
4、忽略体积力：可使计算简化
2 yz
2 zx
是一个不变量。
在数值上等于单向拉伸（或压缩）时的拉伸（或压缩）应力
第 二
讨论：1.
等效的实质？
章 是（弹性）应变能等效（相当于）。
金 属
2. 什么与什么等效？
塑 复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效
性
变 3. 如何等效？
形 的
等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。
第 二
1） ij 是二阶张量的缩写记号
章
2） ij 为二阶对称张量
金
3）张量可以合并、分解；有主方
属 塑
向，有主值及不变量
性 变 形
4〕张量可以利用圆柱坐标/球坐标 表达
的
力
学
基
础
2020/4/7
三、任意斜面上的应力
第 二 章 金 属 塑 性 变 形 的 力 学 基 础
2020/4/7
Sx=xl+yxm+zxn Sy=xyl+ym+zyn Sz=xzl+yzm+zn
章 令其为零，设σ1>σ2>σ3，经化简得：
金 属 塑
l {(1-3)-2[(1-3)l2+(2-3)m2]}=0
性 变
m{(2-3)-2[(1-3)l2+(2-3)m2]}=0
形 的
联立l2+m2+n2=1 ，可得三组方向余弦。
力 学
同理，消去l或m ，还可解出另外三组方向余弦。
基
础
2020/4/7
第 二 章
金
属
塑
性
变
形
的
力
学
基
础
2020/4/7
五、主切应力和最大的切应力
1、主切应力
主切应力：主切应力平面
σ1、σ2、σ3为坐标轴（主轴坐标系）设任意斜面法矢为 l,m,n则该面上的切应力由（2-8a）得
2=S2-2=21l2+22m2+23n2-(1l2+2m2+3n2)2
第 二
以n2=1-l 2-m2代入上式，分别对l,m,求偏导数并
学
基
础
2020/4/7
3、轴对称应力状态
特点：
①子午面在变形过程中始终
不会扭曲，故面上无切应
力，即τθρ=τθz=0
且 τθ 为主应力。
第 二
②各应力分量与坐标无关，
章 对的偏导数均为零。
金 属 塑 性 变 形 的 力 学 基 础
2020/4/7
采用圆柱坐标系时，轴对称应力状态的应力张量 为：
轴对称应力状态的应力平衡微分方程式：
学
基
础
2020/4/7
3、平面应变状态下的莫尔圆
① 三个主应力为： 1 、 2、 3=(1 + 2)/2= m
② 把纯切应力莫尔圆的圆心右移
3的距离即可得到平面应变状 态下的莫尔圆 。
第 二
章 ③ 因此，平面应变状态下的应力
金 属
张量是纯切应力张量叠加球 张量。
塑
性
变
形
的
力
学
作用力（拉、压、剪切） 反作用力（工具对金属作用） 摩擦力
第 二 章
金
属
塑
性
变
形
的
力
学
基
础
2020/4/7
2、 体积力（质量力）
重力 磁力 惯性力
第 二 章
金
属
塑
性
变
形
的
力
学
基
础
2020/4/7
第二节 变形体内一点的应力状态分析
点的应力状态
一、应力分析的截面法
应力：单位面积上的内力。
第 二 章 金 属 塑 性 变 形 的 力 学 基 础
力 4. 等效的意义？
学 基
屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。
础
2020/4/7
八、应力平衡微分方程
直角坐标中一点邻区的应力平衡
第 二 章
金
属
塑
性
变
形
的
力
学
基
础
2020/4/7
直角坐标系中质点的应力平衡微分方程式：
物理意义：表示变形
体内无限相邻两质点
的点的应力状态的关
系。对弹性变形和塑
第 二 章
金
属
塑
性
变
形
的
力
学
基
础
2020/4/7
12 =＋（1-2）/2 23 =＋（2-3）/2 31 =＋（3-1）/2
2、主切应力平面上的正应力为
12 =（1+2）/2
23 =（2+3）/2
31 =（3+1）/2
第 二 章
NOTE: 即：
1）.若1= 2= 3= + ，即球应力状态时，主切应力为零
金
= ( x+y + z)/3
属 塑
=J1/3
性变8=[(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2]1/2 /3
形
的
力
学
基
础
2020/4/7
2、等效应力
＝
3 2
＝
8
1 2
1－ 2 2＋ 2 3 2 3 12
特点：
＝ 1 2
x－ y
2＋ y
z
2
z
x
2
6
2 xy
第 二 章
J3ˊ<0属于压缩类应变； J3ˊ>0属于伸长类应变）
金
属
塑
性
变
形
的
力
学
基
础
2020/4/7
七、八面体应力和等效应力
1、八面体应力8
八面体应力：就是平均
应力，即球张量，是不变量。
8则与应力球张量无关，反映 了三个主切应力的综合效应，
与应力偏量第二不变量有关。
第二章8= m = ( 1+2 + 3)/3
＝1 arctan xy
2
x y
础
2020/4/7
第 二 章
金
属
塑
性
变
形
的
力
学
基
础
2020/4/7
2、三向应力莫尔圆
第 二 章
金
属
塑
性注：① 每个圆周分别表示某方向余弦为零的斜切面上的正应力σ和切应力
变形τ的变化规律。
的 ② 三个圆所围绕的面积内的点，表示l、m、n都不等于零的斜切面上
力的正应力σ和切应力τ的值。故应力莫尔圆形象地表示出点的应力状态。