牛顿运动定律之小球在水中沉降的规律-

速度为 vvT[1exp(m k t)]
当t→∞时v→vT，这就是极限速度。
B
当t = m/k时，小球的速率为v = vT(1 - e-1) = 0.6321vT。 R
m/k称为特征时间，用τ表示；0.6321vT是特征速度。
在t >> τ时，小球将以极限速度vT匀速下降。
mg
积分利用0x关dx系v0tv=T[1d x/edxtp，(可t)]得dtdvxT 0t[vddtt vex T[p1( etx )d p(( tt))]]dtvT[t
x
exp( t
)]
t 0
即 xvT{t[exp(t)1]}
当时间t足够长时，小球下沉的深 度随时间线性增加x = vT(t - τ)，
这是一条直线，也是深度曲线的渐近线。
速度随时间减速增 加，趋于极限速度。
深度开始时随时间加速增 加，最后随时间直线增加。
{范例2.5} 小球在水中沉降的规律
小球的质量为m，受到水的浮力为B，受水的粘滞力为f = kv，式中k是与水的粘度和小球的半径有关的常量，求小球 在水中竖直沉降过程中速度和深度随时间的变化规律。
[解析]如图所示，小球受到重力mg，方向向下；
浮力B，方向向上；粘滞力kv，方向向上。
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取竖直向下的方向为正方向，根据牛顿第二
积分
k
t
v
dt
dv
m0
0 vT v
v -d(vT v) 0 vT v
v
ln(vT v) [ln(vTv)lnvT]
0
可得 k t ln vT v
m
vT
速度为 vvT[1exp(m kt)].
{范例2.5} 小球在水中沉降的规律
小球的质量为m，受到水的浮力为B，受水的粘滞力为f = kv，式中k是与水的粘度和小球的半径有关的常量，求小球 在水中竖直沉降过程中速度和深度随时间的变化规律。
B
定律可得小球的运动方程mg - B - kv = ma，
f
显然重力要大于浮力mg > B。
当速率为零时可 得最大加速度 aM
g
B m
当加速度为零时 可得极限速率
vT
mg B K
mg
由于a = dv/dt， 可得微分方程
dv dt
k(vT v) m
分离变 量得
dv k dt vT v m
x