大学数学实验五_线性代数方程组的数值解法

c=10;a1=0.5;a2=0.25;b=0.20; p=-a1*b*c;q=-a2*b*(1-a1)*b*c; A1=p*eye(49,49); A2=[zeros(48,1),eye(48,48);zeros(1,49)]; A3=[[zeros(1,48);q*eye(48,48)],zeros(49,1)]; A=A1+A2+A3; B=zeros(49,1);B(1,1)=-q*50;B(49,1)=-600; A1=sparse(A);B1=sparse(B);X=A1\B1; X1=[50;X;600] hold on; grid on; plot(0:50,X1)
第 22 年后 第 23 年后 第 24 年后 第 25 年后 第 26 年后 第 27 年后 第 28 年后 第 29 年后 第 30 年后 第 31 年后 第 32 年后
A=Amatrix(20,3,-1/2,-1/4); %根据需要删除注释符号 X0=zeros(20,1); %初始向量（零向量） %X0=ones(20,1); %初始向量（1向量） B=ones(20,1); %右端向量（1向量） %X0=[1:20]'; %初始向量（[1, 2, 3, … , 19, 20]） %B=[1:20]'; %右端向量（[1, 2, 3, … , 19, 20]） [X,k]= Jacobi(A,X0,B,1e-7); %[X,k]= GaussSeidel (A,X0,B,1e-7); [X]' [k]
输出结果 迭代次数 k
雅可比迭代法
高斯-赛德尔迭代法
n=3 k=16
k=11
n=6
k=8
k=6
n=9
k=6
k=5
n=81 k=4
k=3
6
n=300
k=3
k=3
结果讨论： 1、 随着矩阵 A 主对角线元素的增大，两种迭代方法的收敛速度均有加快，迭代次数越来越
小。 2、 当矩阵 A 主对角线元素增大到一定程度后，无论它再怎样增大，收敛速度不会再明显加
取定右端向量 b 为[1:20]，初始向量为 1 向量，改变矩阵 A 的主对角线元素分别为 3、6、9、 81、300，分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法计算，记录下迭代次数，并绘出解向量-迭 代次数的 -k 曲线。
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A=Amatrix(20,3,-1/2,-1/4); %修改数字3即可改变A的主对角线元素 X0=ones(20,1); B=[1:20]'; [X,k,P]= Jacobi(A,X0,B,1e-5); %可改用GaussSeidel函数 hold on; grid on; plot(0:k,P) [k]
输出的植物数量-年数曲线如下。
输出的植物的数量随时间变化的数据。
第1年 第 1 年后 第 2 年后 第 3 年后 第 4 年后 第 5 年后 第 6 年后 第 7 年后 第 8 年后 第 9 年后 第 10 年后
50.0000 61.5030 64.0030 67.0782 70.2783 73.6322 77.1462 80.8278 84.6851 88.7265 92.9607
雅可比迭代法 迭代次数 k B =ones(20,1) B =[1:20]
X0=zeros(20,1) 23 23
X0=ones(20,1) 22 23
X0=[1:20] 27 22
高斯-赛德尔迭代法
迭代次数 k
X0=zeros(20,1)
B =ones(20,1)
14
B =[1:20]
15
X0=ones(20,1) 14 15
雅可比迭代法
B =ones(20,1)
B =[1:20]
X0=zeros(20,1)
X0=ones(20,1)
X0=[1:20] 4
高斯-赛德尔迭代法
B =ones(20,1)
X0=zeros(20,1)
B =[1:20]
X0=ones(20,1)
X0=[1:20]
由于给定的矩阵 A 是严格对角占优的，所以雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代均收敛。从 上两表中的图片也可看出，得到的迭代向量序列都是收敛的。 结果讨论： 1、比较雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，发现同样条件下，雅可比方法的迭代次数多于 高斯-赛德尔方法，说明后者具有更好的收敛速度。 2、给定的初始向量和最终的解向量越接近，迭代收敛越快，迭代次数越少。
解向量 X 为： B =ones(20,1)时，解向量 X=[0.4816, 0.5734, 0.6328, 0.6521, 0.6609, 0.6643, 0.6657, 0.6663, 0.6665, 0.6666, 0.6666, 0.6665, 0.6663, 0.6657, 0.6643, 0.6609, 0.6521, 0.6328, 0.5734, 0.4816] B =[1:20]时，解向量 X=[0.7247, 1.3444, 2.0071, 2.6690, 3.3344, 4.0004, 4.6668, 5.3333, 5.9998, 6.6661, 7.3320, 7.9967, 8.6585, 9.3133, 9.9501, 10.5455, 11.0251, 11.2817, 10.6973, 9.3897]
1
本题的解答过程基本如下： （1）编写生成主对角线元素值可控的矩阵 A 生成函数。 （2）编写用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求方程解的函数。 （3）按照题目要求进行分析。
编写生成主对角线元素值可控的矩阵 A 生成函数 Amatrix。
function A=Amatrix(n,a,c,b) A1=a*eye(n,n); A2=[zeros(n-2,2),b*eye(n-2,n-2);zeros(2,n)]; A3= [[zeros(2,n-2);b*eye(n-2,n-2)],zeros(n,2)]; A4=[zeros(n-1,1),c*eye(n-1,n-1);zeros(1,n)]; A5=[[zeros(1,n-1);c*eye(n-1,n-1)],zeros(n,1)]; A=A1+A2+A3+A4+A5;
k=k+1; xj=Bj*xj+fj; end
这个函数中，A 表示所求解的线性方程组的系数矩阵，X0 表示初始向量，b 表示右端 项向量，e 表示给定的迭代误差。
编写用高斯-赛德尔迭代法求方程解的函数 GaussSeidel。
function [xg,k]=GaussSeidel(A,X0,b,e) D=diag(diag(A)); n=length(A); L=-(tril(A)-D); U=-(triu(A)-D); fg=(D-L)\b; Bg=(D-L)\U; xg=X0; k=0; while norm(A*xg-b)/norm(b)>e
大学数学实验五 线性代数方程组的数值解法 实验报告
【实验目的】 1、学会用 MATLAB 软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解
的稳定性作初步分析。 2、通过实例学习用线性代数方程组解决简化的实际问题。
【实验内容】
3 已知方程组 Ax=b，其中
，定义为
试通过迭代法求解此方程组，认识迭代法收敛的含义以及迭代初值和方程组系数矩阵性质对 收敛速度的影响。实验要求： （1） 选取不同的初始向量 x(0)和不同的方程组的右端项向量 b，给定迭代误差要求，用雅
模型： 已知某年该植物的数量为 xBaidu Nhomakorabea，记第 k 年的植物数量为 xk，那么有 xk + pxk-1 + qxk-2 = 0 (k = 2, 3, …… , n)
其中 p = -a1bc，q = -a2b(1-a1)bc。若要求 n 年后数量达到 xn，则 Ax = b
其中
，
，
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① 用稀疏系数矩阵求解。
X0=[1:20] 17 14
对雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的函数略作修改，以便输出图形，观察迭代向量 序列是否收敛。
修改后的 Jacobi 函数
function [xj,k,P]=Jacobi(A,X0,b,e) D=diag(diag(A)); n=length(A); L=-(tril(A)-D); U=-(triu(A)-D); fj=D\b; Bj=D\(L+U); xj=X0; k=0; P=X0; while norm(A*xj-b)/norm(b)>e
输出图形直观地观察迭代向量序列是否收敛
A=Amatrix(20,3,-1/2,-1/4); %根据需要删除注释符号 X0=zeros(20,1); %初始向量（零向量） %X0=ones(20,1); %初始向量（1向量） B=ones(20,1); %右端向量（1向量） %X0=[1:20]'; %初始向量（[1, 2, 3, … , 19, 20]） %B=[1:20]'; %右端向量（[1, 2, 3, … , 19, 20]） [X,k,P]= Jacobi(A,X0,B,1e-7); % [X,k,P]= GaussSeidel(A,X0,B,1e-7); hold on; grid on; plot(0:k,P)
第 11 年后 第 12 年后 第 13 年后 第 14 年后 第 15 年后 第 16 年后 第 17 年后 第 18 年后 第 19 年后 第 20 年后 第 21 年后
97.3970 102.0451 106.9149 112.0172 117.3629 122.9638 128.8319 134.9801 141.4217 148.1707 155.2418
可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法计算，观测得到的迭代向量序列是否均收敛？若收 敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出结论。 （2） 取定右端向量 b 和初始向量 x(0)，将 A 的主对角线元素成倍增长若干次，非主对角 线元素不变，每次用雅可比迭代法计算，要求迭代误差满足|| x(k+1)- x(k)||∞<10-5，比较 收敛速度，分析现象并得出结论。
这个函数中，n 表示矩阵 A 的阶数，在本题中恒取 20，a 表示主对角线元素的值，b 在 本题中恒取-1/4，c 在本题中恒取-1/2。
编写用雅可比迭代法求方程解的函数 Jacobi。
function [xj,k]=Jacobi(A,X0,b,e) D=diag(diag(A)); n=length(A); L=-(tril(A)-D); U=-(triu(A)-D); fj=D\b; Bj=D\(L+U); xj=X0; k=0; while norm(A*xj-b)/norm(b)>e
k=k+1; xj=Bj*xj+fj; P=[P,xj]; end
3
修改后的 Jacobi 函数多输出了矩阵 P，矩阵 P 可视为一个行向量，其每个元素均为迭代 k 次后得到的 xk。这样以 k 为横轴，解向量为纵轴，可输出图形观察 xk 是否收敛。函数 GaussSeidel 也需作同样修改，修改后的函数在此不再赘述。
k=k+1; xg=Bg*xg+fg; end
对函数 Jacobi(A,X0,b,e)的说明对这个函数一样有效。
2
题目要求选取不同的初始向量和右端向量，并分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代 法求解，输出最终解和迭代次数，给定的迭代误差 e 为 1e-7。初始向量分别取零向量、1 向 量和[1, 2, 3, … , 19, 20]，右端向量分别取 1 向量和[1, 2, 3, … , 19, 20]。
快，迭代次数不会再减小。 3、 相同条件下，雅可比迭代法不如高斯-赛德尔迭代法收敛得快，但当矩阵 A 主对角线元
素增大到一定程度后，两种方法的迭代次数相同。
4 一年生植物的繁殖问题 若一棵植物秋季产种的平均数为 c，种子能够活过冬天的比例为 b，1 岁的种子能在春
季发芽的比例为 a1，2 岁的种子能在春天发芽的比例为 a2。假定种子最多可以活动两个冬天。 如果在繁衍过程中，我们知道了某一年植物的数量，并希望若干年后它的数量达到给定的规 模，就需要在原模型的基础上改进，求第二年（及以后诸年）这种植物的数量。假设 c=10， a1=0.5，a2=0.25，b=0.20，第一年有 50 棵植物，且第 50 年后有 600 棵植物，试用追赶法、 稀疏系数矩阵和满矩阵求解。若 b 有 10%误差，估计对结果的影响。