高数 空间直线 知识点与例题精讲

2பைடு நூலகம்

A1 A2
x x

B1 B2
y y

C1z C2z

D1 D2
0 0
L
o
y
空间直线的一般方程 x
二、空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量的定义：
如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
4
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例 5 求过点M (2,1,3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线方程.
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
117 .
五、 x
28

y
65 2

z

25或 x 72

y 55

z.
8
7
28
71
六、 x 2 y 1 0.
七、
x
1 1

y
2
4 3

z4 3
2
或42
x x

yz40 4 y 5z 10

,d 0

1
.
八、 x 1 y z 4. 16 19 28

C1z C2z

D1 D2

0 0
的平面束 方程
1( A1 x B1 y C1z D1 )
2 ( A2 x B2 y C2z D2 ) 0
1 , 2 不全为0
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例8. 求直线
在平面
上的投影直线方程. 提示：过已知直线的平面束方程
九、3 2 . 2
y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2
点坐标 (1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s

n1

n2

{4,1,3},
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
x 1 4t
2
5
的直线方程为______________；
2、
直线53xx

3 2
y y

3z 9 z1 0
0
与直线
2 3
x x

2 8
y y

z z

23 18

0的夹角的余弦为__________； 0
3、
直
线

x x

y y

3z 0和平面 z0
设直线 L1 , L2 的方向向量分别为
则两直线夹角 满足
cos s1 s2 s1 s2
L1
s1
L2
s2

m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22
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两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
四、直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直
线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;
当直线与平面垂直时,规定其夹角 设直线 L 的方向向量为 s (m , n , p)
ns L
平面 的法向量为 n ( A , B ,C )

则直线与平面夹角 满足
︿
sin cos( s , n )
思考题解答
s {2m, n, 6 p},
且有
s

0.

s

k

0,
s

i

0,

6 2m
p
0
0
p 6, m 0,

s

0,
n 0,
故当 m 0, n 0, p 6时结论成立．
一、 填空题：
练习题
1、通过点( 4 ,1 , 3 ) 且平行于直线 x 3 y z 1
参数方程

y

t
.
z 2 3t
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和 y 轴垂直相
交，求其方程.
解 因为直线和 y轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
取 s BA {2, 0, 4},
所求直线方程 x 2 y 3 z 4 .
2
0
4
例 3 求过点(3, 2,5)且与两平面 x 4z 3和
2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解 设所求直线的方向向量为 s {m, n, p},
根据题意知
s
n1
,
s
n2
,
取 s n1 n2 {4,3,1},
所求直线的方程 x 3 y 2 z 5 .
4
3
1
三、两直线的夹角
两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)
第8章
空间直线
一、空间直线方程的一般方程 二、空间直线方程的对称式方程
和参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角
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一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
z 1
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
o
y
M L,

M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
x x0 y y0 z z0
m
n
p
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
8
7
1
六、设一平面垂直于平面z 0,并通过从点 A( 1 ,1 , 1 )
到直线
L：
y x

z 0
1

0的垂线，求此平面的方程
.
七、
求两直线
L1
：x
0
1

y 1

z 1
和
L2
：x 2

y 1

z
0
2的
公垂线 L的方程，及公垂线段的长 .
八、求过点(1 , 0 , 4 )且平行于平面
sn sn

Am Bn C p m2 n2 p2 A2 B2 C 2
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特别有:
(1) L
s // n
ABC mn p
(2) L //
sn
Am BnC p 0
例6. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面
垂
直的直线方程.
且与平面
x

4y

8z
12 0夹成 角的平面方程. 提示: 过直线 L 的平面束方程

n1
4
n
其法向量为 n1 {1 , 5 , 1 }.
已知平面的法向量为 n {1, 4 , 8}
选择 使 cos n n1 4 n n1
3 4
从而得所求平面方程 x 20 y 7z 12 0.

y

y0

nt
z z0 pt
直线的参数方程
直线的一组方向数
方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 2x y
1 0 3z 4
. 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
取
x0
1


4、( 5 , 2 , 2)； 5、垂直； 6、直线在平面上. 333
x 1 2t
二、 x 1 2
y 1 1
z 1, 3

y

1

t
z 1 3t
.
三、8 x 9 y 22z 59.
四、147xxy31zy
37z 1 0
____________；
6、直线 x 2 y 2 z 3 和平面x y z 3 的关
3
1
4
系是_________ .
二、 用 对 称 式 方 程 及 参 数 方 程 表 示 直 线 L ：
x y z 1 2x y z 4
.
三、 求过点( 3 , 1 ,2 ) 且通过直线 x 4 y 3 z 的
3x 4 y z 10 0又与直线 x 1 y 3 z 相交
1
13
的直线方程 .
九、
求
点
P
(
3
,1
,
2
)
到
直
线
x y z 2x y
1 0 z4
0
的
距
离.
练习题答案
一、1、 x 4 y 1 z 3 ； 2、0； 3、0； 215
解: 取已知平面的法向量 n (2 , 3 , 1)
n
为所求直线的方向向量.
则直线的对称式方程为
x1 y2 z4
2 3
1
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例 7 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角. 解 n {1,1, 2}, s {2,1, 2},
L2 :
x 2z 0
i jk
直线 的方向向量为 s2 1 1 0 (2 , 2 , 1)
二直线夹角 的余弦为
10 2
1 2 (4) (2) 1 (1) cos
12 (4)2 12 22 (2)2 (1)2 从而
x 3t 1


y

2t

1.
z t
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
77 7
77 7
所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 2 1 4
5
21
平面方程 .
四、求直线
2x 3 x

4y z y 2z
0 9
在平面4x 0

y

z

1上
的投影直线的方程 .
五、 求与已知直线
L1
：
x
2
3

y5 3

z 1
及
L2
：
x 10 5

y7 4

z 1
都相交且和
L3
：
x 2 y 1 z 3平行的直线L .
(2)
L1 //
L2

m1 m2

n1 n2

p1 , p2
例如，直线 L1 :
s1 {1,4, 0},
直线 L2 : s2 {0,0,1},

s1

s2

0,

s1

s2
,
即 L1L2 .
例4. 求以下两直线的夹角 解: 直线 的方向向量为
x y 2 0
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
| 1 2 (1) (1) 2 2 | 7 .
6 9
36
arcsin 7 为所求夹角．
36
相关问题
过直线
L:

A1 x A2 x

B1 B2
y y
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五、小结
空间直线的一般方程. 空间直线的对称式方程与参数方程. 两直线的夹角. （注意两直线的位置关系） 直线与平面的夹角.
（注意直线与平面的位置关系）
思考题
在直线方程 x 4 y z 2 中，m 、 2m n 6 p
n、 p各怎样取值时，直线与坐标面 xoy 、 yoz 都平行.
x y z 1 ( x y z 1) 0 即 从中选择 使其与已知平面垂直：
得 1, 从而得投影直线方程
yz1 0

x

y

z

0
这是投影平面
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例9.
求过直线L:


x x

5y z 0 z40
x

y

z

1

0
在平
面 x 2 y z 1 0上的夹角为___________；
4、点(1 , 2 , 0 )在平面x 2 y z 1 0上的投影为
______________；
5、直线 x y z 和平面3x 2 y 7z 8 的关系是 3 2 7