多目标规划方法概述
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大纲
多目标规划及其求解技术简介 目标规划方法 多目标规划应用实例
1 多目标规划及其非劣解 多目标规划及其非劣解 多目标规划求解技术简介
一、多目标规划及其非劣解
（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成： （1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。
（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模 型一般地描写为如下形式：
对于线性多目标规划问题，（1.3）和（1.4）式可以进一步用矩阵
表示：
max(min)Z AX
（1.5）
BX b
（1.6）
式中：X 为n维决策变量向量；
A 为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；
B 为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵；
b 为m维的向量，约束向量。
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二、多目标规划的非劣解
对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择： ▲每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？ ▲每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决 ？
三、约束模型
理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该 目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。
假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则 该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题：
Baidu Nhomakorabea
max(min)Z f1(x1, x2 , , xn )
显然：③比②好，④比①好，⑦比③好，⑤比④好。而对于方案⑤、⑥、
⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们
就被称之为多目标规划问题的非劣解或有效解，其余方案都称为劣解。
所有非劣解构成的集合称为非劣解集。
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二、多目标规划的非劣解
当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大 或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托 解）。
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2 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为 单目标规划问题去处理。实现这种转化，有如下几种建模方法。
一、效用最优化模型 二、罚款模型 三、约束模型 四、目标规划模型 五、目标达到法
一、效用最优化模型
建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算 。这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间 通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：
max Z ( X ) （2.1）
(X ) G
（2.2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 来反映原问题中各
目标函数在总体目标中的权重，即：
k
max i i i 1
（2.3）
i (x1, x2, xn ) gi (i 1, 2, , m) （2.4）
多目标规划方法 Multi-objective Programming
背景介绍
在地理学研究中，对于许多规划问题，常常需要考虑多个目标，如经 济效益目标，生态效益目标，社会效益目标，等等。为了满足这类问 题研究之需要，本章拟结合有关实例，对多目标规划方法及其在地理 学研究中的应用问题作一些简单地介绍。
多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小）， 而不顾其它目标。
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二、多目标规划的非劣解
非劣解：可以用图1.1说明。
图1.1 多目标规划的劣解与非劣解
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二、多目标规划的非劣解
在图1.1中，就方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目标 值 f1 比②小，因此无法确定这两个方案的优与劣。在各个方案之间，
k
式中，诸 应满足：
i 1
i 1
若采用向量与矩阵 max T
(X ) G
（2.5） （2.6） （2.7）
二、罚款模型
规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或称满意值）；
通过比较实际值 fi 与期望值 fi 之间的偏差来选择问题的解，其数学表
达式如下：
k
min Z ai ( fi fi )2 i 1
的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量；
（2.18） （2.19） （2.20）
pl 表示第l个优先级；
lk
、lk
表示在同一优先级 pl
（2.12）
i (x1, x2 , , xn ) gi (i 1, 2, , m) （2.13）
f min j
fj
f
max j
(
j
2,3,
,k)
采用矩阵可记为：
（2.14）
max(min)Z f1( X )
（2.15）
(X ) G
（2.16）
F min 1
F1
F max 1
（2.17）
四、目标规划模型
（2.8）
i (x1, x2 , , xn ) gi (i 1, 2, , m) （2.9）
或写成矩阵形式：
min Z (F F )T A(F F )
(X ) G
式中， ai 是与第i个目标函数相关的权重； A是由 ai (i 1, 2, , k) 组成的m×m对角矩阵。
（2.10） （2.11）
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一、多目标规划及其非劣解
max(min)
f1
(
X
)
Z
F(X
)
max(min)
f2(X
)
max(min) fk ( X )
1( X )
g1
(
X
)
2
(
X
)
G
g2
m
(
X
)
gm
（1.1） （1.2）
式中： X [x1, x2 , , xn ]T 为决策变量向量。
也需要预先确定各个目标的期望值 fi ，同时给每一个目标赋予一个优 先因子和权系数，假定有K个目标，L个优先级 (L K )，目标规划模型
的数学形式为：
L
K
min Z
pl
(lk dk
lk
d
k
)
l 1 k 1
i (x1, x2 , , xn ) gi (i 1, 2, , m)
fi di di fi (i 1, 2, , K ) 式中：di 和 di 分别表示与 fi 相应的、与 fi* 相比
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一、多目标规划及其非劣解
如果将（1.1）和（1.2）式进一步缩写， 即：
max(min)Z F ( X )
（1.3）
(X ) G
（1.4）
式中：Z F ( X ) 是k维函数向量，k是目标函数的个数； ( X ) 是m维函数向量； G 是m维常数向量；m是约束方程的个数。
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一、多目标规划及其非劣解
大纲
多目标规划及其求解技术简介 目标规划方法 多目标规划应用实例
1 多目标规划及其非劣解 多目标规划及其非劣解 多目标规划求解技术简介
一、多目标规划及其非劣解
（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成： （1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。
（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模 型一般地描写为如下形式：
对于线性多目标规划问题，（1.3）和（1.4）式可以进一步用矩阵
表示：
max(min)Z AX
（1.5）
BX b
（1.6）
式中：X 为n维决策变量向量；
A 为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；
B 为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵；
b 为m维的向量，约束向量。
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二、多目标规划的非劣解
对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择： ▲每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？ ▲每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决 ？
三、约束模型
理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该 目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。
假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则 该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题：
Baidu Nhomakorabea
max(min)Z f1(x1, x2 , , xn )
显然：③比②好，④比①好，⑦比③好，⑤比④好。而对于方案⑤、⑥、
⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们
就被称之为多目标规划问题的非劣解或有效解，其余方案都称为劣解。
所有非劣解构成的集合称为非劣解集。
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二、多目标规划的非劣解
当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大 或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托 解）。
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2 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为 单目标规划问题去处理。实现这种转化，有如下几种建模方法。
一、效用最优化模型 二、罚款模型 三、约束模型 四、目标规划模型 五、目标达到法
一、效用最优化模型
建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算 。这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间 通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：
max Z ( X ) （2.1）
(X ) G
（2.2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 来反映原问题中各
目标函数在总体目标中的权重，即：
k
max i i i 1
（2.3）
i (x1, x2, xn ) gi (i 1, 2, , m) （2.4）
多目标规划方法 Multi-objective Programming
背景介绍
在地理学研究中，对于许多规划问题，常常需要考虑多个目标，如经 济效益目标，生态效益目标，社会效益目标，等等。为了满足这类问 题研究之需要，本章拟结合有关实例，对多目标规划方法及其在地理 学研究中的应用问题作一些简单地介绍。
多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小）， 而不顾其它目标。
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二、多目标规划的非劣解
非劣解：可以用图1.1说明。
图1.1 多目标规划的劣解与非劣解
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二、多目标规划的非劣解
在图1.1中，就方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目标 值 f1 比②小，因此无法确定这两个方案的优与劣。在各个方案之间，
k
式中，诸 应满足：
i 1
i 1
若采用向量与矩阵 max T
(X ) G
（2.5） （2.6） （2.7）
二、罚款模型
规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或称满意值）；
通过比较实际值 fi 与期望值 fi 之间的偏差来选择问题的解，其数学表
达式如下：
k
min Z ai ( fi fi )2 i 1
的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量；
（2.18） （2.19） （2.20）
pl 表示第l个优先级；
lk
、lk
表示在同一优先级 pl
（2.12）
i (x1, x2 , , xn ) gi (i 1, 2, , m) （2.13）
f min j
fj
f
max j
(
j
2,3,
,k)
采用矩阵可记为：
（2.14）
max(min)Z f1( X )
（2.15）
(X ) G
（2.16）
F min 1
F1
F max 1
（2.17）
四、目标规划模型
（2.8）
i (x1, x2 , , xn ) gi (i 1, 2, , m) （2.9）
或写成矩阵形式：
min Z (F F )T A(F F )
(X ) G
式中， ai 是与第i个目标函数相关的权重； A是由 ai (i 1, 2, , k) 组成的m×m对角矩阵。
（2.10） （2.11）
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一、多目标规划及其非劣解
max(min)
f1
(
X
)
Z
F(X
)
max(min)
f2(X
)
max(min) fk ( X )
1( X )
g1
(
X
)
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(
X
)
G
g2
m
(
X
)
gm
（1.1） （1.2）
式中： X [x1, x2 , , xn ]T 为决策变量向量。
也需要预先确定各个目标的期望值 fi ，同时给每一个目标赋予一个优 先因子和权系数，假定有K个目标，L个优先级 (L K )，目标规划模型
的数学形式为：
L
K
min Z
pl
(lk dk
lk
d
k
)
l 1 k 1
i (x1, x2 , , xn ) gi (i 1, 2, , m)
fi di di fi (i 1, 2, , K ) 式中：di 和 di 分别表示与 fi 相应的、与 fi* 相比
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一、多目标规划及其非劣解
如果将（1.1）和（1.2）式进一步缩写， 即：
max(min)Z F ( X )
（1.3）
(X ) G
（1.4）
式中：Z F ( X ) 是k维函数向量，k是目标函数的个数； ( X ) 是m维函数向量； G 是m维常数向量；m是约束方程的个数。
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一、多目标规划及其非劣解