二)、 扭转杆的变形

解：1)圆截面
d
a
c max
16T
d 3
,
c
32Tl
Gd 4
.
a
2)矩形截面
s max
T a3
T 0.208a3
,
s
Tl
Ga4
Tl 0.141a4
.
3)、两者的比值： d 2 a2, a d .
4
c max
s max
16 0.208a3
(
)3 0.737,
2
2
4
c s
32
0.141
2
T1 M A 180 N m
AB
T1l GI p
1.50 10-2 rad
T2 M C 140 N m
BC
T2l GI p
1.17 10-2 rad
AC AB BC 1.50 10-2 1.17 10-2 0.33 10-2 rad 2. 刚度校核
max
d
材料抗剪切能力差，构件沿横截 面因切应力而发生破坏(塑性材料）
铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。
材料抗拉能力差，构件沿45斜截 面因拉应力而破坏（脆性材料）
七. 矩形截面杆的自由扭转
常见的非圆截面受扭杆为矩形截面杆和薄壁杆件 圆杆扭转时—— 横截面保持为平面； 非圆杆扭转时——横截面由平面变为曲面（发生翘曲）。
非圆截面杆扭转的研究方法：弹性力学的方法研究
非圆截面杆扭转的分类： 1、自由扭转（纯扭转）， 2、约束扭转。
自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸）， 任意两相邻截面翘曲程度相同。
约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘 曲程度不同。
矩形截面杆自由扭转时应力分布特点
1 2 0
dx max
1
T1 GIp
max
180 N m
180
(80 109 Pa)(3.0 105 10-12 m4 ) π
0.43 ( / m) [ ]
轴的刚度足够
例: 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率N1=400kW， 从动轮B，C 分别输出功率N2=160kW，N3=240kW。已知 [τ]=70MPa， [ ]=1º/m ，G=80GPa。
T
故 1 2 0
b
n 0
故 n 0 max
h
1、 横截面上角点处，切应力为零 2、 横截面边缘各点处，切应力 // 截面周边 1 3、 横截面周边长边中点处，切应力最大
矩形截面杆自由扭转时应力计算（弹性力学解）
长边中点 最大
max
T Wt
T
hb2
1 max
Tl GIt
Tl
Ghb3
二)、 扭转杆的变形
1、变形
d T
dx GI P
d T dx
GI P
T dx
L GI Pwk.baidu.com
扭矩不变的等直轴
Tl （rad）
GI p
d T
dx GI P
GIP——抗扭刚度。 rad m ——单位长度的扭转角
2、刚度条件：
max
Tm a x GI P
3、刚度条件应用：
1)校核刚度
2GπR03
开
3Tl
Gh
3
3Tl
2πR0G
3
开 闭
3
R0
2
1200
在抗扭性能方面，闭口薄壁杆远比开口薄壁杆好
76103 m
76mm
d2 76mm
5.选同一直径时
d d1 86.4mm
6.将主动轮装在两从动 轮之间
受力合理
A
d1
B
d2
C
M e1
M e2
M e3
7640N m
4580N m
B
d1
A d2 C
M e2
M e1
M e3
4580N m
3060N m
六. 圆轴扭转破坏分析 低碳钢试件：沿横截面断开。
0.886
.
结论：无论是扭转强度，还是扭转刚度，圆形截面比正方 形截面要好。
例: 比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能， 设 R0＝20d
解：1. 闭口薄壁圆管
τ
闭
T 2R02δ
闭
Tl
2GπR03
闭
T
2πR02
2. 开口薄壁圆管
开
3T
h 2
3T
2πR0
2
3. 抗扭性能比较
开 闭
3
R0
60
闭
Tl
2.扭矩图
3.直径d1的选取 按强度条件
d1
B
d2
C
A
M e1
M e2
M e3
max
16T
d13
4580N m
7640N m
3
d1
16T
π[ ]
3
16 7640 π 70106
82.2 103 m 82.2mm
按刚度条件
max
32T
Gd
4 1
180
d1
4
32T 180
Gπ 2 [ ]
系数 , , 与 h/b 有关，见教材之表4-2
狭窄矩形截面扭转
狭长矩形
( h 10 ) , 1
3
当 h 10 时
max
3T
h 2
3Tl
Gh
3
h－中心线总长
推广应用
例： T , G, A, l 均相同的两根轴，分别为圆截面和正方形截面。
试求：两者的最大扭转切应力与扭转变形，并进行比较。
(1)试确定AB 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AB和BC 两段选同一直径，试确定直径d；
(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
d1
B
d2
A
C
解： 1.外力 M e1
M e2
M e3
M e1
9549
P1 n
9549
400 500
7640N m
160
240
M e2 400 M e1 3060N m M e3 400 M e1 4580N m
2)设计截面
3)确定荷载
max
Tmax 1800
GIP
m
例: 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m, MC = 140 N.m, Ip= 3×105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，[] = 0.5 (/m ). 求: 1.AC= ?
2. 校核轴的刚度
解：1. 变形分析
4
32 7640180 80109 π 2 1
86.4 103 m 86.4mm
d1 86.4mm
4.直径d2 的选取
按强度条件
d2
3
16T
π[ ]
3
16 4580 π 70106
69.3 103 m 69.3mm
按刚度条件
d2
4
32T 180
Gπ2 []
4
32 4580180 80109 π2 1