高等数学同济版第六版上册D24隐函数求导
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y 2 x 1 x 2 x 3 x4
y1 (x1)(x2) 1111
2 (x3)(x4) x 1x2x3x4
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二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t) (t)
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系, (t),(t)可导, 且 [(t)]2 [(t)]20,则
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d ( d y ) d (dy) ddtx d x d x dt dx ddyt
(t)(t)(t)(t)
2 (t)
(t)
(t)(t)3 ( t)(t)(t)记
yx xy x3
v2
gt
,
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
y
tan d y
dx
dy dt
d x v2 ห้องสมุดไป่ตู้t
dt
v1
O
x
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抛射体轨迹的参数方程
x v1t y v2t 12gt2
速度的水平分量
y
u
yuv(vlnuuv) u
注意: yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式
按幂函数求导公式
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
两边取对数
lny x ln a a[ln bln x] b[ln xln a] b
dx dt
v1
,
垂直分量
dy dt
v2
gt
,
速度的方向 tan v2 gt
v1
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
O
v1
达到最高点的时刻 t
v 2 , 高度 y
g
t
v2
g
1 2
v22 g
落地时刻 t
2v2 g
,
抛射最远距离 x
t
2v2 g
2v1v2 g
dy0 dt
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注意 : 已知 d y dx
(t) , (t)
d2 y d x2
((tt))
?
对谁求导?
例4. 设
xf(t) y tf(t)f(t), 且
f(t)0,求
d d
2
x
y
2
.
解:
d d
y x
t f (t) f (t)
t,
d2 y d x2
1 f (t)
练习: 书P112 题8(1)
已知 dh140mmin, h = 500m 时, tan1,se2c2,
dt d 1 1 1400.14(radm/ i)n d t 2 500
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思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
2020
高等数学同济版第六版上册D24隐函数求导
• •
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说明:
1) 对幂指函数 y u v ,其 u u 中 (x )v , v (x )可,用对数
求导法求导 :
lnyvlnu
1 y vlnu u v
提示: tan 500
x
对 t 求导
sec2 d
dt
500 x2
dx dt
500
x
已知 dx100mmin,x50m 0,求 d .
dt
dt
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内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
两边对 x 求导
y ln a a b y bxx
yb axb xaa xbln
a b
a x
b x
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又如,
y
(x1)(x2) (x3)(x4)
两边取对数
(lnu )u u
ln y 1 ln x 1ln x2 lx n 3 lx n 4
2
对 x 求导
y 1 1 1 1 1
解:
x
1 2
t2
,
y 1t
dy 1; dx t
d2 y d x2
1 t2
t
1 t3
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例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为 yx vv2 1tt1 2gt2
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.
解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
dx dt
v1
,
垂直分量为
dy dt
dx dt
(t1)(1tcoys)
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三、相关变化率
x x (t),y y (t)为两可导函数
x, y之间有联系
dx , dy dt dt
之间也有联系
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
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x
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例6. 设由方程 tx2 t2 y 2tsiyn1(01)
确定函数 yy(x),求 d y . dx
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t2
dt
2t d y coydsy 0
dt
dt
d x 2(t 1) dt dy 2t
dt 1cosy
故
dy dx
dy dt
(t)0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
(t)0时, 有
dt
dx dy
dx d t dt dy
dx dt
1 dy
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
(t) (t)
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若上述参数方程中(t),(t)二阶可导, 且 (t)0,
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为 14m 0 mi,n当气球高度为 500 m 时, 观察员
视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,
则 tan h
500
h
两边对 t 求导
500
sec2 d 1 d h
d t 500 d t
se2c1ta2 n
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
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作业
P111 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12
y1 (x1)(x2) 1111
2 (x3)(x4) x 1x2x3x4
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二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t) (t)
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系, (t),(t)可导, 且 [(t)]2 [(t)]20,则
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d ( d y ) d (dy) ddtx d x d x dt dx ddyt
(t)(t)(t)(t)
2 (t)
(t)
(t)(t)3 ( t)(t)(t)记
yx xy x3
v2
gt
,
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
y
tan d y
dx
dy dt
d x v2 ห้องสมุดไป่ตู้t
dt
v1
O
x
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抛射体轨迹的参数方程
x v1t y v2t 12gt2
速度的水平分量
y
u
yuv(vlnuuv) u
注意: yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式
按幂函数求导公式
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
两边取对数
lny x ln a a[ln bln x] b[ln xln a] b
dx dt
v1
,
垂直分量
dy dt
v2
gt
,
速度的方向 tan v2 gt
v1
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
O
v1
达到最高点的时刻 t
v 2 , 高度 y
g
t
v2
g
1 2
v22 g
落地时刻 t
2v2 g
,
抛射最远距离 x
t
2v2 g
2v1v2 g
dy0 dt
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注意 : 已知 d y dx
(t) , (t)
d2 y d x2
((tt))
?
对谁求导?
例4. 设
xf(t) y tf(t)f(t), 且
f(t)0,求
d d
2
x
y
2
.
解:
d d
y x
t f (t) f (t)
t,
d2 y d x2
1 f (t)
练习: 书P112 题8(1)
已知 dh140mmin, h = 500m 时, tan1,se2c2,
dt d 1 1 1400.14(radm/ i)n d t 2 500
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思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
2020
高等数学同济版第六版上册D24隐函数求导
• •
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说明:
1) 对幂指函数 y u v ,其 u u 中 (x )v , v (x )可,用对数
求导法求导 :
lnyvlnu
1 y vlnu u v
提示: tan 500
x
对 t 求导
sec2 d
dt
500 x2
dx dt
500
x
已知 dx100mmin,x50m 0,求 d .
dt
dt
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内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
两边对 x 求导
y ln a a b y bxx
yb axb xaa xbln
a b
a x
b x
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又如,
y
(x1)(x2) (x3)(x4)
两边取对数
(lnu )u u
ln y 1 ln x 1ln x2 lx n 3 lx n 4
2
对 x 求导
y 1 1 1 1 1
解:
x
1 2
t2
,
y 1t
dy 1; dx t
d2 y d x2
1 t2
t
1 t3
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例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为 yx vv2 1tt1 2gt2
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.
解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
dx dt
v1
,
垂直分量为
dy dt
dx dt
(t1)(1tcoys)
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三、相关变化率
x x (t),y y (t)为两可导函数
x, y之间有联系
dx , dy dt dt
之间也有联系
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
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x
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例6. 设由方程 tx2 t2 y 2tsiyn1(01)
确定函数 yy(x),求 d y . dx
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t2
dt
2t d y coydsy 0
dt
dt
d x 2(t 1) dt dy 2t
dt 1cosy
故
dy dx
dy dt
(t)0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
(t)0时, 有
dt
dx dy
dx d t dt dy
dx dt
1 dy
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
(t) (t)
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若上述参数方程中(t),(t)二阶可导, 且 (t)0,
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为 14m 0 mi,n当气球高度为 500 m 时, 观察员
视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,
则 tan h
500
h
两边对 t 求导
500
sec2 d 1 d h
d t 500 d t
se2c1ta2 n
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
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作业
P111 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12