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计算机与信息学院 刘勇
最优化理论与应用
如何设计可采纳的启发式函数?
❖根据问题特征设计h，例如八数码问题
➢ h1位置不一致的棋子数目 ➢ h1 (n)=1+1+0+1+1+0+0+0=4 ➢ h2所有棋子到其目标位置的距离和 ➢ h2 (n)=1+2+0+1+1+0+0+0=5
283
123
结点n 1 6 4 目标 8 4
计算机与信息学院 刘勇
最优化理论与应用
八数码问题
令g *(n)为初始结点到结点n的深度 令h * (n)为位置不正确的数字个数
283 164 75
123 84 765
h*(n) 1
123 84
765
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最优化理论与应用
1+5 283 164 75
0+4 2 8 3
164
7
5
left
75
765
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最优化理论与应用
如何设计可采纳的启发式函数?
❖组合启发式函数：如果已有h1, h2 ,······, hm等可 采纳启发式函数，那么：
h = max(h1, h2 ,······, hm)
❖ 从但经 不验 知中 道学 具习 体：的已关知系某，些那特么征可以x1与定x义2和h有关， h=c1x1 +c2x2
可把状态空间记为三元状态(S，F，G)。
计算机与信息学院 刘勇
最优化理论与应用
2、状态空间的搜索策略
计算机与信息学院 刘勇
最优化理论与应用
3. 状态空间的一般搜索过程
➢ 对一个确定的具体问题来说，与解题有关的状态空 间往往只是整个状态空间的一部分，因此只要能生成并 存储这部分状态空间就可求得问题的解。 ➢ 人工智能采用的基本思想：首先把问题的初始状态( 即初始节点)作为当前状态，选择适用的算符对其进行 操作，生成一组子状态(或称后继状态、后继节点、于 节点)，然后检查目标状态是否在其中出现。若出现， 则搜索成功，找到了问题的解；若不出现，则按某种搜 索策略从已生成的状态中再选一个状态作为当前状态。 重复上述过程，直到目标状态出现或者不再有可供操作 的状态及算符时为止。
f *(n) g *(n) h*(n)
f *(n) f (n)
S
g *(n)
n
h * (n)
G
计算机与信息学院 刘勇
最优化理论与应用
启发式搜索
H1 局部择优搜索
局部择优搜索是一种启发式搜索方法，是对深 度优先搜索方法的一种改进。其基本思想是：当一 个节点被扩展以后，按f(x)对每一个子节点计算估价 值，并选择最小者作为下一个要考察的节点，由于 它每次都只是在子节点的范围内选择下一下要考察 的节点，范围比较狭窄，所以称为局部择优搜索， 下面给出它的搜索过程。
B2 深度优先搜索（depth-first search）
❖A B C D E F G H I
A
新扩展出的节 点先被考察
B CDE
计算机与信息学院 刘勇
F GI H
最优化理论与应用
深度优先搜索算法
1. 初始化open表、close表为空，定义S为初始状态 结点
2. 将S 放入open表中 3. 如果open表为空，则搜索失败，否则从open表中
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最优化理论与应用
2、搜索的定义和分类？
定义：根据问题的实际情况不断寻找可利用的知识， 从而构造一条代价较少的推理路线，使问题得到圆满 解决的过程称为搜索。 分类：盲目搜索和启发式搜索。
➢ 盲目搜索是按预定的控制策略进行搜索，在搜索过程中获 得的中间信息不用来改进控制策略。效率不高，不便于复杂问 题的求解。 ➢ 启发式搜索是在搜索中加入了与问题有关的启发性信息， 用以指导搜索朝着最有希望的方向前进，加速问题的求解过程 并找到最优解。
在与或树的搜索过程中将反复使用这两个过 程，直到初始节点(即原始问题)被标示为可解或不 可解节点为止。
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最优化理论与应用
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最优化理论与应用
通过学习调整c1与c2。 ❖ ABSOLVER程序能自动生成启发式。魔方的第
一个有用的启发式就是它找到的
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最优化理论与应用
三. 与或树搜索法
由可解子节点来确定父节点、祖父节点等为 可解节点的过程称为可解标示过程；由不可解子 节点来确定其父节点、祖父节点等为不可解节点 的过程称为不可解标示过程。
❖ 关键技术：搜索
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最优化理论与应用
问题实例——八数码问题
❖ 状态：8个棋子在3×3 的棋盘上的任意一个 摆放
❖ 初始状态：右上图 ❖ 算子（后继函数）：
left、right、up、down ❖ 目标函数：右下图 ❖ 路径代价：1
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127 583 46
初始状态
❖ 根据与问题相关的知识问 题，引入启发式信息。
❖ 定义：f(n)为经过结点n的 且从起点到目标的最短路 径函数。 f(n)的值越小，表 示路径越短
❖ 策略：从初始结点S出发， 选择f(n)最小的子结点
S
BCDE FGH
…… G
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最优化理论与应用
引入f(n)的搜索过程
S 434
取出第一个结点N,将N放入到close表中。 4. 如果N是目标结点，搜索成功，返回N 5. 对N的每一个子结点 i，如果open表和close表中
都没有结点i，那么将结点i其追加到open表的最 后一个元素之后 6. goto 3
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最优化理论与应用
广度优先搜索
open
close
最优化理论与应用
B1 广度优先搜索
❖breadth-first search，BFS
❖A B F C D E G I
A
先扩展出的节 点先被考察
B
F
CDE G I H
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最优化理论与应用
广度优先搜索算法
1. 初始化open表、close表为空，定义S为初始状态 结点
2. 将S放入到open表中 3. 如果open表为空，则搜索失败，否则从open表中
43 4 44 4 G
S
f(n)
… n…
n0
… n1
nk
G
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最优化理论与应用
引入f(n)的搜索过程
S 0,3
S
g(n)
1,4
1,3
1,4
n
2,2
2,1
2,2
h(x)
G
f (n) g(n) h(n)
3,1
3,1
4,1
G 3,0
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最优化理论与应用
f(n)＝？
up
1+3
283
1
4
765
right
1+5 283 164 75
3+3 83
214
765
2+3
left
up
2+3
right
283
2
3
14
184
765
765
up
down
3+4
283
left
right
3+2
23
714
184
65
765
down
4+1 123
84
765
5+0
right 5+1down
123
123
最优化理论与应用
常用搜索策略
➢ 基础知识 ➢ 状态空间搜索法 ➢ 与或树搜索法 ➢ 博弈树搜索法 ➢ 随机搜索－遗传算法 ➢ 分析与讨论
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最优化理论与应用
一. 基础知识
1、为何要搜索？
➢ 人工智能所要解决的问题大部分是结构不良或非 结构化的问题，对这样的问题一般不存在成熟的算法 可供利用，而只能是利用已有的知识一步丛地摸索着 前进。如何确定推理路线，使其付出的代价尽可能的 少，而问题又能得到较好的解决? ➢ 在人工智能中，即使对结构性能较好，理论上有 算法可依的问题，由于问题本身的复杂性以及计算机 在时间、空间上的局限性，也需要通过搜索来求解。
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最优化论与应用
3、基于搜索的问题求解模式
❖ 问题的形式化：将环境状态简化为适于问题求解 的状态，用状态空间图描述问题。
➢ 给出初始状态 ➢ 设计算子：对动作建模 ➢ 目标函数：目标的形式化 ➢ 给出路径代价函数
❖ 求解过程：在状态空间图中找到一条从初始结点
到达目标的路径。这条路径上的所有边对应算子 组成的序列，就是解决问题的一个方案
1A
2 B,F
A
3 F,C,D,E A,B
4 C,D,E,G,I A,B,F
5 D,E,G,I A,B,F,C
6 E,G,I
A,B,F,C,D
7 G,I
A,B,F,C,D,E
8 I,H
A,B,F,C,D,E,G
9H
A,B,F,C,D,E,G,I
A
B
F
CDE G I H
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最优化理论与应用
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最优化理论与应用
H2 全局择优搜索
每当要选择一个节点进行考察时，局部择优搜 索只是从刚生成的子点节中进行选择，选择的范围 比较狭窄，因而又提出了全局择优搜索方法。这种 方法搜索时，每次总是从0PEN表的全体节点中选择 一个估价值最小的节点。
f(x)＝g(x)则它就成为代价树的广度优先搜索 f(x)＝d(x) 它就成为广度优先搜索
取出第一个结点N，将N放入close表中 4. 如果N是目标结点，搜索成功，返回N 5. 对N的每一个子结点 i，如果open表和close表中
都没有结点i，那么将结点i其插入到open表的第 一个元素之前 6. goto 3
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最优化理论与应用
深度优先搜索
open close
1A
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最优化理论与应用
A*算法
1. 初始化open表、close表为空，定义s为初始状态结点。 2. 计算f*(s) := g*(s) + h*(s)。将s加入到open表中。 3. 如果open表为空，则搜索失败退出， 4. 否则从open表中取出第一个结点n，将n插入到close表中 5. 如果n是目标结点，搜索成功，返回问题的解 6. 应用每一个可用的算子Opi ，扩展n生成子结点 mi，
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4. 状态空间搜索数据结构表示
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5. 状态空间搜索一般过程
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最优化理论与应用
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最优化理论与应用
6. 常用搜索方法 （盲目Blindfold＋启发式Heuristic）
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❖f(n) =g(n) + h(n)
➢ g(n)表示起始结点到n的最小代价 路径的代价
➢ h(n)表示n到目标结点的最小代价 路径的代价
❖g=? h=?
S
g(n)
n
h(n)
G
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最优化理论与应用
f(n)≈f*(n)
g *(n)是初始结点到结点n的最小代价路径的代价估计 h *(n)是结点n到目标最小代价的代价估计 f *(n)是经过结点n的最小代价路径的代价估计
123 456 78
目标状态
最优化理论与应用
127 583 46
right
up
left
127 583 46
127 53 486
127 583
46
up left
right up down left right up
……
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最优化理论与应用
二. 状态搜索法 1、状态（State）的基本概念
2 B,F
A
3 C,D,E,F A,B
A
4 D,E,F 5 E,F
A,B,C A,B,C,D
B
F
6F
A,B,C,D,E
CDE G I
7 G,I
A,B,C,D,E,F
H
8 H,I
A,B,C,D,E,F,G
9I
A,B,C,D,E,F,G,H
10
A,B,C,D,E,F,G,H,I
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最优化理论与应用
8
4
784
765
65
2+4 283 14 765
3+4 23 184 765
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最优化理论与应用
A*算法
❖定义g*（n）为已发现的初始结点到结点n 所有路径中的最小代价路径的代价。
❖定义h*(n)为结点n到目标结点的最小代价估 计，也称启发式函数。
❖f*(n) =g*(n)+ h*(n) ❖利用f*加速搜索的算法 ❖使用Open表、Close表
a) 计算g*(mi)=g*(n)+ C*(n, mi); f*=g*(mi)+h*(mi); b) 如果m已经存在于open表中或者在close表中，且先前计
算op的en表g*或(mci)l小ose于表等中于取当出前与的mgi相*(m同i)的，子那结么点gomtoi’5。否则从 c) 令mi ：= mi’ ，将mi的父指针指向n d) 将结点mi插入到open表，然后将open表按f值排序。 7. goto 3
B3 迭代加深
结合广度优先和深度优先的优点 算法： ❖ 令d = 1 ❖ 最大搜索深度 d 的深度优先搜索 ❖ 如果找到目标结点，那么结束搜索，否则
d=d+1, goto 2
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迭代加深搜索过程
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启发式信息加速搜索
❖ 盲目搜索的缺陷
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如何设计可采纳的启发式函数?
❖根据问题特征设计h，例如八数码问题
➢ h1位置不一致的棋子数目 ➢ h1 (n)=1+1+0+1+1+0+0+0=4 ➢ h2所有棋子到其目标位置的距离和 ➢ h2 (n)=1+2+0+1+1+0+0+0=5
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结点n 1 6 4 目标 8 4
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八数码问题
令g *(n)为初始结点到结点n的深度 令h * (n)为位置不正确的数字个数
283 164 75
123 84 765
h*(n) 1
123 84
765
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1+5 283 164 75
0+4 2 8 3
164
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如何设计可采纳的启发式函数?
❖组合启发式函数：如果已有h1, h2 ,······, hm等可 采纳启发式函数，那么：
h = max(h1, h2 ,······, hm)
❖ 从但经 不验 知中 道学 具习 体：的已关知系某，些那特么征可以x1与定x义2和h有关， h=c1x1 +c2x2
可把状态空间记为三元状态(S，F，G)。
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2、状态空间的搜索策略
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最优化理论与应用
3. 状态空间的一般搜索过程
➢ 对一个确定的具体问题来说，与解题有关的状态空 间往往只是整个状态空间的一部分，因此只要能生成并 存储这部分状态空间就可求得问题的解。 ➢ 人工智能采用的基本思想：首先把问题的初始状态( 即初始节点)作为当前状态，选择适用的算符对其进行 操作，生成一组子状态(或称后继状态、后继节点、于 节点)，然后检查目标状态是否在其中出现。若出现， 则搜索成功，找到了问题的解；若不出现，则按某种搜 索策略从已生成的状态中再选一个状态作为当前状态。 重复上述过程，直到目标状态出现或者不再有可供操作 的状态及算符时为止。
f *(n) g *(n) h*(n)
f *(n) f (n)
S
g *(n)
n
h * (n)
G
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启发式搜索
H1 局部择优搜索
局部择优搜索是一种启发式搜索方法，是对深 度优先搜索方法的一种改进。其基本思想是：当一 个节点被扩展以后，按f(x)对每一个子节点计算估价 值，并选择最小者作为下一个要考察的节点，由于 它每次都只是在子节点的范围内选择下一下要考察 的节点，范围比较狭窄，所以称为局部择优搜索， 下面给出它的搜索过程。
B2 深度优先搜索（depth-first search）
❖A B C D E F G H I
A
新扩展出的节 点先被考察
B CDE
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F GI H
最优化理论与应用
深度优先搜索算法
1. 初始化open表、close表为空，定义S为初始状态 结点
2. 将S 放入open表中 3. 如果open表为空，则搜索失败，否则从open表中
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2、搜索的定义和分类？
定义：根据问题的实际情况不断寻找可利用的知识， 从而构造一条代价较少的推理路线，使问题得到圆满 解决的过程称为搜索。 分类：盲目搜索和启发式搜索。
➢ 盲目搜索是按预定的控制策略进行搜索，在搜索过程中获 得的中间信息不用来改进控制策略。效率不高，不便于复杂问 题的求解。 ➢ 启发式搜索是在搜索中加入了与问题有关的启发性信息， 用以指导搜索朝着最有希望的方向前进，加速问题的求解过程 并找到最优解。
在与或树的搜索过程中将反复使用这两个过 程，直到初始节点(即原始问题)被标示为可解或不 可解节点为止。
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最优化理论与应用
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最优化理论与应用
通过学习调整c1与c2。 ❖ ABSOLVER程序能自动生成启发式。魔方的第
一个有用的启发式就是它找到的
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最优化理论与应用
三. 与或树搜索法
由可解子节点来确定父节点、祖父节点等为 可解节点的过程称为可解标示过程；由不可解子 节点来确定其父节点、祖父节点等为不可解节点 的过程称为不可解标示过程。
❖ 关键技术：搜索
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问题实例——八数码问题
❖ 状态：8个棋子在3×3 的棋盘上的任意一个 摆放
❖ 初始状态：右上图 ❖ 算子（后继函数）：
left、right、up、down ❖ 目标函数：右下图 ❖ 路径代价：1
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初始状态
❖ 根据与问题相关的知识问 题，引入启发式信息。
❖ 定义：f(n)为经过结点n的 且从起点到目标的最短路 径函数。 f(n)的值越小，表 示路径越短
❖ 策略：从初始结点S出发， 选择f(n)最小的子结点
S
BCDE FGH
…… G
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最优化理论与应用
引入f(n)的搜索过程
S 434
取出第一个结点N,将N放入到close表中。 4. 如果N是目标结点，搜索成功，返回N 5. 对N的每一个子结点 i，如果open表和close表中
都没有结点i，那么将结点i其追加到open表的最 后一个元素之后 6. goto 3
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广度优先搜索
open
close
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B1 广度优先搜索
❖breadth-first search，BFS
❖A B F C D E G I
A
先扩展出的节 点先被考察
B
F
CDE G I H
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最优化理论与应用
广度优先搜索算法
1. 初始化open表、close表为空，定义S为初始状态 结点
2. 将S放入到open表中 3. 如果open表为空，则搜索失败，否则从open表中
43 4 44 4 G
S
f(n)
… n…
n0
… n1
nk
G
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引入f(n)的搜索过程
S 0,3
S
g(n)
1,4
1,3
1,4
n
2,2
2,1
2,2
h(x)
G
f (n) g(n) h(n)
3,1
3,1
4,1
G 3,0
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f(n)＝？
up
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4+1 123
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5+0
right 5+1down
123
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常用搜索策略
➢ 基础知识 ➢ 状态空间搜索法 ➢ 与或树搜索法 ➢ 博弈树搜索法 ➢ 随机搜索－遗传算法 ➢ 分析与讨论
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一. 基础知识
1、为何要搜索？
➢ 人工智能所要解决的问题大部分是结构不良或非 结构化的问题，对这样的问题一般不存在成熟的算法 可供利用，而只能是利用已有的知识一步丛地摸索着 前进。如何确定推理路线，使其付出的代价尽可能的 少，而问题又能得到较好的解决? ➢ 在人工智能中，即使对结构性能较好，理论上有 算法可依的问题，由于问题本身的复杂性以及计算机 在时间、空间上的局限性，也需要通过搜索来求解。
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3、基于搜索的问题求解模式
❖ 问题的形式化：将环境状态简化为适于问题求解 的状态，用状态空间图描述问题。
➢ 给出初始状态 ➢ 设计算子：对动作建模 ➢ 目标函数：目标的形式化 ➢ 给出路径代价函数
❖ 求解过程：在状态空间图中找到一条从初始结点
到达目标的路径。这条路径上的所有边对应算子 组成的序列，就是解决问题的一个方案
1A
2 B,F
A
3 F,C,D,E A,B
4 C,D,E,G,I A,B,F
5 D,E,G,I A,B,F,C
6 E,G,I
A,B,F,C,D
7 G,I
A,B,F,C,D,E
8 I,H
A,B,F,C,D,E,G
9H
A,B,F,C,D,E,G,I
A
B
F
CDE G I H
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H2 全局择优搜索
每当要选择一个节点进行考察时，局部择优搜 索只是从刚生成的子点节中进行选择，选择的范围 比较狭窄，因而又提出了全局择优搜索方法。这种 方法搜索时，每次总是从0PEN表的全体节点中选择 一个估价值最小的节点。
f(x)＝g(x)则它就成为代价树的广度优先搜索 f(x)＝d(x) 它就成为广度优先搜索
取出第一个结点N，将N放入close表中 4. 如果N是目标结点，搜索成功，返回N 5. 对N的每一个子结点 i，如果open表和close表中
都没有结点i，那么将结点i其插入到open表的第 一个元素之前 6. goto 3
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深度优先搜索
open close
1A
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A*算法
1. 初始化open表、close表为空，定义s为初始状态结点。 2. 计算f*(s) := g*(s) + h*(s)。将s加入到open表中。 3. 如果open表为空，则搜索失败退出， 4. 否则从open表中取出第一个结点n，将n插入到close表中 5. 如果n是目标结点，搜索成功，返回问题的解 6. 应用每一个可用的算子Opi ，扩展n生成子结点 mi，
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4. 状态空间搜索数据结构表示
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5. 状态空间搜索一般过程
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6. 常用搜索方法 （盲目Blindfold＋启发式Heuristic）
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❖f(n) =g(n) + h(n)
➢ g(n)表示起始结点到n的最小代价 路径的代价
➢ h(n)表示n到目标结点的最小代价 路径的代价
❖g=? h=?
S
g(n)
n
h(n)
G
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f(n)≈f*(n)
g *(n)是初始结点到结点n的最小代价路径的代价估计 h *(n)是结点n到目标最小代价的代价估计 f *(n)是经过结点n的最小代价路径的代价估计
123 456 78
目标状态
最优化理论与应用
127 583 46
right
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127 583 46
127 53 486
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up left
right up down left right up
……
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二. 状态搜索法 1、状态（State）的基本概念
2 B,F
A
3 C,D,E,F A,B
A
4 D,E,F 5 E,F
A,B,C A,B,C,D
B
F
6F
A,B,C,D,E
CDE G I
7 G,I
A,B,C,D,E,F
H
8 H,I
A,B,C,D,E,F,G
9I
A,B,C,D,E,F,G,H
10
A,B,C,D,E,F,G,H,I
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2+4 283 14 765
3+4 23 184 765
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A*算法
❖定义g*（n）为已发现的初始结点到结点n 所有路径中的最小代价路径的代价。
❖定义h*(n)为结点n到目标结点的最小代价估 计，也称启发式函数。
❖f*(n) =g*(n)+ h*(n) ❖利用f*加速搜索的算法 ❖使用Open表、Close表
a) 计算g*(mi)=g*(n)+ C*(n, mi); f*=g*(mi)+h*(mi); b) 如果m已经存在于open表中或者在close表中，且先前计
算op的en表g*或(mci)l小ose于表等中于取当出前与的mgi相*(m同i)的，子那结么点gomtoi’5。否则从 c) 令mi ：= mi’ ，将mi的父指针指向n d) 将结点mi插入到open表，然后将open表按f值排序。 7. goto 3
B3 迭代加深
结合广度优先和深度优先的优点 算法： ❖ 令d = 1 ❖ 最大搜索深度 d 的深度优先搜索 ❖ 如果找到目标结点，那么结束搜索，否则
d=d+1, goto 2
计算机与信息学院 刘勇
最优化理论与应用
迭代加深搜索过程
计算机与信息学院 刘勇
最优化理论与应用
启发式信息加速搜索
❖ 盲目搜索的缺陷