数学数的整除特征课件五年级奥数PPT
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第一单元
熟记整除的性质，以及能被2、3、 4、5、7、8、9、11、13、25、125整 除的数的特征，能应用性质和特征解决 简单的数字问题及生活中的问题
（一）整除——约数、倍数
• 像15÷3＝5，63÷7＝9这样， • 一般的，如果a、b、c为整数，b≠0，且
a÷b＝c，即整数a除以整数b所得的商正好 等于c且没有余数，我们就说a能被b整除 （或者说b能整除a），记作：b︱a， • 否则，称a不能被b整除（或b不能整除a）， 记作：b a
一定正确吗？
数的整除性质3
• 3、我们看下面的例子： • ① 4能够整除36，6也能整除36，4与6
的积能整除36吗？ 不能 • ② 4能够整除80，5也能整除80，4与5
的积能整除80吗？ 能 • ③ 5能够整除80，8也能整除80，5与8
的积能整除80吗？ 能 • 这说明这两个数需要满足一定的条件！
数的整除性质1
• 性质1：
•
如果a、b都能被c整除，那么他们的
和或差也能被c整除。
• 即：如果c︱a ， c︱b 那么 c︱（a±b）
• 你能再举出一个例子吗？
数的整除性质2
• 2、我们再来看一组例子： • ① 15能整除45，3×5＝15，3和5都能整除
45吗？ • ② 3×7＝21，21能整除84，3和7都能整除
除
• ①判断35112能不能被7、11、13整除
• 回忆：能被7、11、13整除的数的特征：
• 末三位数字与前面的数字的差（大减小） 能被7、11、13整除。
• 解： 112－35＝77
• 因为 7 77 ， 11 77， 13 77 • 答：351∣12能被7和∣11整除，但不能被13整
除。
• ②33333333468375能不能被125整除 • 回忆：能被125整除的数的特征： • 末三位数字能被125整除。 • 解： 因为这个数的末三位数字375能被125
9□.2□元＝9□2□分
征可知x＝ 5 ；
当y＝5时，根据 9︱x1993 y 及数的整除特
征可知x＝9 答：满足条件的六位数是 519930或 919935 。
• （2）李老师为学校一共买了28支价格相同 的钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处 数字相同，请问：每支钢笔多少元？
• 分析：由28支钢笔的价格相同可知，总钱 数9□.2□是28 的倍数，同上面的解题思路 类似，可以用数的整除性质和数的整除特 征结合起来解答。
• 如果c能整除b，b能整除a，那么c一定
能整除a吗？
• 自己出几个题目试试？
• 7能整除14，14能整除140，那么，7能 整除140吗？ 能
•
9能整除18，18能整除54，那么，9能
整除54吗？ 能
数的整除性质4
• 性质4： • 如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 • 即：如果c︱b ， b︱a 那么 c︱a。
整除，所以33333333468375能被125整除。
• ③1234567891011121314能不能被3和9整除。
• 回忆：能被3（或9）整除的数的特征：
• 各个数位数字的和能被3（或9）整除。
• 解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1 ＋1＋1＋2＋1＋3＋1＋4＝60
•
因为 3∣ 60 9 60
数的整除性质3
• 性质3：
•
如果b、c都能整除a，且b和c 互质 ，
那么b、c的积能整除a 。
• 即：如果b︱a ， c︱a 且（b，c）＝1， 那么 bc︱a。
• 例如 8︱324685008 ， 9︱324685008 且（8，9）＝1，
• 那么 72︱324685008。
数的整除性质4
பைடு நூலகம்
• 4、我们最后再看一个问题：
• 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
• 即：如果c︱b ， b︱a 那么 c︱a。
（三）数的整除特征
• （一）：能被2、3、5、9、整除的数的整除特征； • （二）①能被4、25整除：末两位数能被4和25整
除； • ②能被8、125整除：末三位数能被8、125整除； • ③能被11整除：奇位数字之和与偶位数字之和的
我们来总结一下
• 性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和或差
也能被c整除。即：如果c︱a ， c︱b 那么 c︱ （a±b）
• 性质2：如果b、c的积能整除a,那么b和c都能整除a。
即：如果bc︱a ，那么 b︱a ， c︱a
• 性质3： 如果b、c都能整除a，且b和c 互质，那么b、
c的积能整除a 。 即：如果b︱a ， c︱a 且（b，c） ＝1，那么 bc︱a。
• 所以这个数能被3整除而不能被9整除。
• 答：这个数能被3整除而不能被9整除。
应用举例（二）根据规律填空
• 例2、⑴ 已知45︱x1993 y 求所有满足
条件的六位数。
解：因为45＝5×9，根据整除的性质②， 可知5︱ x1993 y ，9︱ x1993 y
所以 y可以是0或者5 ，
当y＝0时，根据9︱x1993 y 及数的整除特
（二） 数的整除性质
• 1、看下面的两个例子： • ⑴ 我们知道 2︱10 ， 2︱6 ，2能整除10
与6的和或者差吗 • 能 。 2︱（10＋6）且 2︱（10－6） • ⑵ 我们再看 5︱25 ， 5︱10 ，5能整除
25与10的和或差吗？ • 能 。 5︱（25＋10）， 5︱（25－10） • 你能从上面的题目中得到上面规律？
差（大减小）能被11整除； • ④能被7、11、13整除：末三位与末三位前面的
数的差（大减小）能被7、11、13整除。
应用举例（一） 判断一个数能不能被整除
• 例1、 • ①判断35112能不能被7、11、13整除 • ②33333333468375能不能被125整除 • ③1234567891011121314能不能被3和9整
84吗？ • ③ 5×9＝45，45能整除135，5和9都能整除
135吗？ • 上面的3个例子有什么共同点？ • 如果一个数能被两个数的积整除，它能被这两个
数整除吗？
数的整除性质
• 性质2： • 如果b、c的积能整除a,那么b和c都能整除a。 • 即：如果bc︱a ，那么 b︱a ， c︱a • 反过来，如果b︱a ， c︱a 那么bc︱a
熟记整除的性质，以及能被2、3、 4、5、7、8、9、11、13、25、125整 除的数的特征，能应用性质和特征解决 简单的数字问题及生活中的问题
（一）整除——约数、倍数
• 像15÷3＝5，63÷7＝9这样， • 一般的，如果a、b、c为整数，b≠0，且
a÷b＝c，即整数a除以整数b所得的商正好 等于c且没有余数，我们就说a能被b整除 （或者说b能整除a），记作：b︱a， • 否则，称a不能被b整除（或b不能整除a）， 记作：b a
一定正确吗？
数的整除性质3
• 3、我们看下面的例子： • ① 4能够整除36，6也能整除36，4与6
的积能整除36吗？ 不能 • ② 4能够整除80，5也能整除80，4与5
的积能整除80吗？ 能 • ③ 5能够整除80，8也能整除80，5与8
的积能整除80吗？ 能 • 这说明这两个数需要满足一定的条件！
数的整除性质1
• 性质1：
•
如果a、b都能被c整除，那么他们的
和或差也能被c整除。
• 即：如果c︱a ， c︱b 那么 c︱（a±b）
• 你能再举出一个例子吗？
数的整除性质2
• 2、我们再来看一组例子： • ① 15能整除45，3×5＝15，3和5都能整除
45吗？ • ② 3×7＝21，21能整除84，3和7都能整除
除
• ①判断35112能不能被7、11、13整除
• 回忆：能被7、11、13整除的数的特征：
• 末三位数字与前面的数字的差（大减小） 能被7、11、13整除。
• 解： 112－35＝77
• 因为 7 77 ， 11 77， 13 77 • 答：351∣12能被7和∣11整除，但不能被13整
除。
• ②33333333468375能不能被125整除 • 回忆：能被125整除的数的特征： • 末三位数字能被125整除。 • 解： 因为这个数的末三位数字375能被125
9□.2□元＝9□2□分
征可知x＝ 5 ；
当y＝5时，根据 9︱x1993 y 及数的整除特
征可知x＝9 答：满足条件的六位数是 519930或 919935 。
• （2）李老师为学校一共买了28支价格相同 的钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处 数字相同，请问：每支钢笔多少元？
• 分析：由28支钢笔的价格相同可知，总钱 数9□.2□是28 的倍数，同上面的解题思路 类似，可以用数的整除性质和数的整除特 征结合起来解答。
• 如果c能整除b，b能整除a，那么c一定
能整除a吗？
• 自己出几个题目试试？
• 7能整除14，14能整除140，那么，7能 整除140吗？ 能
•
9能整除18，18能整除54，那么，9能
整除54吗？ 能
数的整除性质4
• 性质4： • 如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 • 即：如果c︱b ， b︱a 那么 c︱a。
整除，所以33333333468375能被125整除。
• ③1234567891011121314能不能被3和9整除。
• 回忆：能被3（或9）整除的数的特征：
• 各个数位数字的和能被3（或9）整除。
• 解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1 ＋1＋1＋2＋1＋3＋1＋4＝60
•
因为 3∣ 60 9 60
数的整除性质3
• 性质3：
•
如果b、c都能整除a，且b和c 互质 ，
那么b、c的积能整除a 。
• 即：如果b︱a ， c︱a 且（b，c）＝1， 那么 bc︱a。
• 例如 8︱324685008 ， 9︱324685008 且（8，9）＝1，
• 那么 72︱324685008。
数的整除性质4
பைடு நூலகம்
• 4、我们最后再看一个问题：
• 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
• 即：如果c︱b ， b︱a 那么 c︱a。
（三）数的整除特征
• （一）：能被2、3、5、9、整除的数的整除特征； • （二）①能被4、25整除：末两位数能被4和25整
除； • ②能被8、125整除：末三位数能被8、125整除； • ③能被11整除：奇位数字之和与偶位数字之和的
我们来总结一下
• 性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和或差
也能被c整除。即：如果c︱a ， c︱b 那么 c︱ （a±b）
• 性质2：如果b、c的积能整除a,那么b和c都能整除a。
即：如果bc︱a ，那么 b︱a ， c︱a
• 性质3： 如果b、c都能整除a，且b和c 互质，那么b、
c的积能整除a 。 即：如果b︱a ， c︱a 且（b，c） ＝1，那么 bc︱a。
• 所以这个数能被3整除而不能被9整除。
• 答：这个数能被3整除而不能被9整除。
应用举例（二）根据规律填空
• 例2、⑴ 已知45︱x1993 y 求所有满足
条件的六位数。
解：因为45＝5×9，根据整除的性质②， 可知5︱ x1993 y ，9︱ x1993 y
所以 y可以是0或者5 ，
当y＝0时，根据9︱x1993 y 及数的整除特
（二） 数的整除性质
• 1、看下面的两个例子： • ⑴ 我们知道 2︱10 ， 2︱6 ，2能整除10
与6的和或者差吗 • 能 。 2︱（10＋6）且 2︱（10－6） • ⑵ 我们再看 5︱25 ， 5︱10 ，5能整除
25与10的和或差吗？ • 能 。 5︱（25＋10）， 5︱（25－10） • 你能从上面的题目中得到上面规律？
差（大减小）能被11整除； • ④能被7、11、13整除：末三位与末三位前面的
数的差（大减小）能被7、11、13整除。
应用举例（一） 判断一个数能不能被整除
• 例1、 • ①判断35112能不能被7、11、13整除 • ②33333333468375能不能被125整除 • ③1234567891011121314能不能被3和9整
84吗？ • ③ 5×9＝45，45能整除135，5和9都能整除
135吗？ • 上面的3个例子有什么共同点？ • 如果一个数能被两个数的积整除，它能被这两个
数整除吗？
数的整除性质
• 性质2： • 如果b、c的积能整除a,那么b和c都能整除a。 • 即：如果bc︱a ，那么 b︱a ， c︱a • 反过来，如果b︱a ， c︱a 那么bc︱a