九年级数学--二次函数导学案(全部)

课 题： 2.1二次函数所描述的关系
【温故】
1.函数的定义是怎样下的？
2.大家还记得我们学过哪些函数吗？我们学过那些关于函数的生活实际问题呢？
【互助】
1. 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． (1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式．
（4）大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y 是否是x 的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？
如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么?（在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？）你能根据表格中的数据作出猜测吗？
2.设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转
存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．在这个关系式中，y 是x 的函数吗？
一般地，形如 (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数(quadratic function)． 例题解析：
例1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）1)1(32+-=x y (2)x
x y 1
+
= (3)223t s -= (4) x x
y -=2
1 (5) 2
r v ∏=
例2、用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m ²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
Y/个
14
13 12 11 10
9 8 7 6 5 4
3
2
1
X/棵
【达标】
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1）v=10πr ² (3) s=3+t ² (5) y=(x+3)²-x ² (6) y=2(x-1)²; 2.如果函数y= +kx+1是二次函数,求k 的值.
4.如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,求k 的值.
5.圆的半径是4cm,假设半径增加xcm 时,圆的面积增加ycm ².
（1）写出y 与x 之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, 2cm 时,圆的面积增加多少？
课 题： 2.2结识抛物线
【温故】
1.二次函数的概念.
2.画函数的图象的主要步骤，
3.根据函数y=x 2列表 x y
【互助】
1. 用描点法画二次函数y=x 2的图象，并与同桌交流。

2. 观察图象，探索二次函数y=x 2的性质，提出问题： (1) 你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. (2) 图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点,并与同伴交流.
(3)图象与x 轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(4)当x<0时,随着x 的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
(5)当x 取什么值时,y 的值最小?最小值是什么？ 你是如何知道的？
3.二次函数y =－x 2的图象是什么形状？
.
1
).2(2x x y +=.1).4(2x x y -=
232
k k x
-+232
k k x
-+
o
y
x
A 4.它与二次函数y =x 2的图象有什么关系？与同伴进行交流. 5.说说二次函数y =－x 2的图象有哪些性质？与同伴交流.
2抛物线 y =x 2 y=－x 2
顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
【达标】
1.已知函数 是关于x 的二次函数。

求： （1）满足条件的m 的值；
（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
（3）m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？
2.已知点A(1，a )在抛物线y=x 2 上。

（1）求A 的坐标；
（2）在x 轴上是否存在点P ，使得△OAP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
2
2)1(++=m x m y
课 题： 2.3刹车距离与二次函数
【温故】
1.二次函数y ＝x 2与y=-x 2的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？
2.二次函数是否只有y ＝x 2与y ＝-x 2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？
【互助】
1. 给出s ＝1001v 2的图象，在同一直角坐标系作出函数s=501v 2
的图象； 2. 比较s=1001v 2和s ＝50
1v 2
的图象.
相同点： 不同点：
做一做
在同一坐标系中作二次函数y=x 2和y=2x 2的图象． (1)完成下表：
(2)分别作出二次函数y=x 2和y=2x 2的图象． (3)二次函数y ＝2x 2的图象是什么形状? 它与二次函数y=x 2的图象有什么相同和不同? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
议一议
1.在同一直角坐标系作出函数y ＝2x 2与y ＝2x 2+1的图象，并比较它们的性质．
2.在同一直角坐标系作出函数y ＝3x 2与y ＝3x 2-1的图象，并比较它们的性质． 【达标】
1．在同一坐标系中作出y ＝x 2，y ＝2x 2，y ＝3x 2的图象，根据图象填空：
抛物线y ＝x 2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 ；
抛物线y＝2x2的顶点坐标是，对称轴是，开口向；
抛物线y＝3x2的顶点坐标是，对称轴是，开口向；
抛物线y＝x2，y＝2x2，y＝3x2的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越．
2．在同一坐标系中作出y＝－x2，y＝－2x2，y＝－3x2的图象，根据图象填空：抛物线y＝－x2的顶点坐标是，对称轴是，开口向；
抛物线y＝－2x2的顶点坐标是，对称轴是，开口向；
抛物线y＝－3x2的顶点坐标是，对称轴是，开口向；
可见，抛物线y＝－x2，y＝－2x2，y＝－3x2的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越．
3．在同一坐标系中作出y＝－x2，y＝－x2＋2，y＝－x2－3的图象，根据图象填空：抛物线y＝－x2的顶点坐标是，对称轴是，开口向；
抛物线y＝－x2＋2的顶点坐标是，对称轴是，开口向；
抛物线y＝－x2－3的顶点坐标是，对称轴是，开口向；
抛物线y＝－x2＋2，y＝－x2－3与y＝－x2的形状、开口大小相同，只是抛物线的顶点位置发生了变化，把抛物线y＝－x2沿y轴向平移个单位就可得到抛物线y＝－x2＋2；把抛物线y＝－x2沿y轴向平移个单位就可得到抛物线y＝－x2－3．
4．把抛物线y＝x2沿y轴向上平移3个单位能得到抛物线y＝3x2吗？把抛物线y＝－x2沿y轴向下平移3个单位能得到抛物线y＝－3x2吗？
课题：2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象（一）
课题：2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象（二）
课题：2.5用三种方式表示二次函数
【温故】
问题一：已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？
【互助】
议一议：
(1）在上述问题中,自变量x的取值围是什么？
（2）当x取何值时,长方形的面积最大？它的最大面积是多少?
（3）请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
问题二：两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的?
（1）你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?
（2）自变量x的取值围是什么?
（3）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么?
（4）如何描述y随x的变化而变化的情况?
（5）你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？
【达标】
1.两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到多少？利用图象描述乘积与因数之间的关系
2.把一根长120cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积是多少？它们的面积和最小是多少
3.如图，在三角形ABC中,AB=AC=10cm，BC=12cm，矩形DEFG的顶点位于△ABC的边上。

设EF=x，矩形DEFG的面积为y，写出y关于x的二次函数的表达式，列成表格，并画出函数图像，根据三种表达式回答问题
（1）自变量x的取值围
（2）图像的对称轴和顶点坐标是什么
（3）如何描述y随x的变化而变化的情况
课题：2.6何时获得最大利润
【温故】
1．复习二次函数y＝ax2+bx+c的相关性质：顶点坐标、对称轴、最值等。

2．复习这节课所要用的其他相关知识：利润=售价－进价，总利润=每件利润×销售额
【互助】
1.某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是
2.5元。

根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间，单价是1
3.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。

请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多?
设销售单价为x(x≤13.5)元，那么
(1)销售量可以表示为；
(2)销售额可以表示为；
(3)所获利润可以表示为；
(4)当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是．
2.本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数关系是：二次函数表达式y＝(600-5x)(100+x)＝-5x2+100x+60000。

当时曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在可以验证当初的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流。

(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。

(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？
练一练：
某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月可以售出400件。

根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。

如何提高售价,才能在半个月获得最大利润？
【达标】
1．某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两方面的信息，如图所示（甲、乙两图中的实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低；甲图的图象是线段，乙图的图象是抛物线段）．
（1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？
（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由．
2．某化工材料经销公司购进了一批化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在这次销售过程中，每天还要支出其它费用500元（不足1天时，按1天计算）．设销售单价为x元，日获利为y元．
（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值围．
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y＝a(x＋h)2＋k的形式，写出顶点坐标；在坐标系中画出草图；观察图象，指出单价为多少元时，日均获利最多，是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种总获利较多，多多少？
课题：2.7最大面积是多少
【温故】
1．问题一：如下图，在一个直角三角形的部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．
(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
(2)设长方形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？ 最大值是多少？
【互助】
问题二：将问题一变式：“设AD 边的长为x m ，则问题会怎样呢？”
问题三：对问题一再变式
如图,在一个直角三角形的部作一个矩形ABCD ，其中点A 和点D 分别在两直角边上,BC 在斜边上.
(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB 边的长度如何表示？ (2).设矩形的面积为ym2,当x 取何值时,y 的最大值是多少?
问题四：
某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m ．当x 等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？
【达标】
1.
用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?
40m
30
m
D N
O
A
B
C
M
2.
正方形
ABCD
边长
5cm,等腰三角形
PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/s 的速度沿直线l 向左方向开始匀速运动，ts 后正方形与等腰三角形重合部分面积为Scm 2，解答下列问题：
(1)当t=3s 时，求S 的值； (2)当t=3s 时，求S 的值；
(3)当5s ≤t ≤8s 时，求S 与t 的函数关系式，并求S 的最大值。

课 题： 2.8二次函数与一元二次方程（一）
【温故】
1. y=ax 2+bx+c (a,b,c 是常数，a ≠0)，y 叫做x 的__________。

它的图象是一条抛物线。

它的对称轴是直线x=_____, 顶点坐标是（ ， ）。

2. 二次函数的解析式中的一般式是: y = ax 2 + bx +c (a ≠0)顶点式：y = a(x-h)2 + k
B
※交点式：y = a(x-x 1)(x-x 2)
3. 抛物线y = x 2+2x- 4的对称轴是_______, 开口方向是______, 顶点坐标是___________.
4. 抛物线y=2(x-2)(x-3) 与x 轴的交点为_______________,与y 轴的交点为___________.
5. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) ，并经过点M(0,1), 则此抛物线的解析式为_______________ 。

【互助】
1．我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t 2+v 0t+h 0表示, 其
中h 0(m) 是抛出时的高度, v 0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s 的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t (s)的关系如图所示,那么(1) 图象上每个点的横、纵坐标含义是什么？ (2) h 和t 的关系式是什么？ （3）小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴进行交流.
2．分别求出二次函数y=x 2+2x,y=x 2-2x+1,y=x 2-2x+2的图象与x 轴的交点的坐标,并快速作出草图.
（1）观察下列二次函数y=x 2+2x,y=x 2-2x+1,y=x 2-2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个交点？ (2) 一元二次方程x 2+2x=0, x 2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程 x 2-2x+2=0 有根吗? (3)说说二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程ax 2+bx+c=0的根有什么关系?
【达标】
1．抛物线y=-3（x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为 _______ 2．抛物线y=x 2－2x ＋3与两坐标轴交点的个数为
个．
3．抛物线y=2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m= ____________ 4．二次函数y=kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值围
5．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，ac b 42
＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过
象限．
6.个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h （m ）可以用公式h=－4.9t 2＋19.6t 来表示．其中t （s ）表示足球被踢出后经过的时间． （1）当t=1时，足球的高度是多少？ （2）t 为何值时，h 最大？ （3）经过多长时间球落地？
（4）方程－4.9t 2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗? （5）方程14.7=－4.9t 2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?
7.已知二次函数y=kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值围为什么?
课 题： 2.8二次函数与一元二次方程（二）
【温故】
1. 抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式
___________________ .
2．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，ac b 42
＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过
象限．3. 在平原
上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ）的关系满足y=－x 2＋10x ．（1）经过_____时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是_____？（2）经过_____秒，炮弹落在地上爆炸？
4.一元二次方程ax 2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与直线_______交点的______坐标.
5.一元二次方程ax 2+bx+c=h 的根就是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与直线______交点的________坐
标 .
问题：函数y = ax 2 +bx +c 的图象如下图所示， x=
31 为该图象的对称轴，根据图象 3
1
信息你能得到关于系数a ，b ，c 的一些 -1 1 什么结论？
【互助】
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x 2+2x-10=0的根吗？
分析解答：
(1) 用描点法作二次函数y=x 2+2x-10的图象
(2) 观察估计二次函数y=x 2+2x-10的图象与 x 轴的交点的横坐标.
【达标】
1.利用二次函数的图象求一元二次方程x 2+2x-10=3的近似根.
2．二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程2
0ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式2
0ax bx c ++>的解集．
（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值围． （4）若方程2
ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值围．
3．如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象经过点A 和点B ．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图象上（其中m ＞0），
且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距
离．
x y 3 3 2 2 1
1 4 1- 1- 2-
O x
y
O
3
－
1 －
1
A。