Voronoi图的性质及离散构造综述
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１ Ｖｏｒｏｎｏｉ图背 景
１．１ Ｖｏｒｏｎｏｉ图 的 定 义 给定 平 面上有 限个 （大 于 １个 ）孤 立点 的集 合 ，我 们 依 照欧 氏距离 将 平 面上 的所 有 位 置点 分 配 给点
集 中距 它最 近 的点 。结 果将 平 面分成 了一 个 网格 ，这个 网格 中的区域 与平 面给 出 的点集 有关 ，我 们 称这 个 网格 为 由这个点 集 生成 的平 面普通 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 ，形成 Ｖｏｒｏｎｏｉ图的 区域 为普 通 Ｖｏｒｏｎｏｉ多 边形 。在 不混 淆 的情 况下 ，简称 普通 Ｖｏｒｏｎｏｉ图为 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 ，普 通 Ｖｏｒｏｎｏｉ多边 形 为 Ｖｏｒｏｎｏｉ多 边形 。
Ｖｏｒｏｎｏｉ图概 念最早 源 于 以下 自然 问题 ：宇 航 员研 究 宇 宙 结 构 ；考古 学家 试 图识 别 不 同部 落 影 响下 的地 区 ；气象 学家在 仪 器不灵 时估 算 降雨 （雪 ）量 ；城 市规 划 者在 城 市 中进 行 公共 学 校定 位 ；物 流 园 区 范 围 的设 定 等 。它 们虽 然表 面涉 及 了完全 不 同的 现象 ，但 具 有 一 点共 同之 处 ，即都 可 以用 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 的 概 念来解 决 。
Ｎａｔｕｒｅ ｏｆ Ｖ ｏｒｏｎｏｉ Ｄｉａｇｒａｍ ａｎｄ Ｄｙｎａｍ ｉｃ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ
ＬＩＵ Ｘｉｎ， ＬＩ Ｈ ａｉ—ｍｉｎｇ，ＬＩＵ Ｙｉｎｇ—ｈｕａ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｓｏｃｉａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｃｈｅｎｇｄｅ Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ Ｃｏｌｌｅｇｅ，
刘 欣 ，李 海 明 ，刘 颖 华
（承德 石 油高等 专科 学校 社 科 与数理 部 ，河北 承 德 ０６７０００）
摘 要 ：本 文 给 出 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 的 背 景 和 定 义 以及 应 用 概 述 ，在 介 绍 传 统 算 法 的基 础 上 ，介 绍 扩 展 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 的离 散 构 造 算 法 ，即 直 接 从 离 散 的 生 成 元 点 出发 ，而 不 需 要 考 虑 生 成 元 的 具 体 形 状 ，避 免 了对 Ｖｏｒｏｎｏｉ边 的 形 状 的 计 算 ，对 使 用 计 算 机 算 法 提 供 了有 效 依 据 。 关键 词 ：Ｖｏｒｏｎｏｉ图 ；离散 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 ；离 散 构 造 中 图分 类 号 ：ＴＰ３９１．４１ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１００８—９４４６（２０１６）０２－００４１—０３
２０１６年 第 １８卷 第 ２期
给 出 的区域 为与 点 Ｐ 关 联 的普 通 平 面 Ｖｏｒｏｎｏｉ多边 形 ，由 Ｖｏｒ＝｛Ｖ（Ｐ ），… ，
Ｖ（Ｐ ）｝给 出 的 集 合 为 由 Ｐ 生 成 的 平 面 普 通 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 （或 简 称 Ｐ 的 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 ）。我 们 称 Ｖｏｒｏｎｏｉ多边 形 的顶 点 为 Ｖｏｒｏｎｏｉ顶 点 ，Ｖ（Ｐ ）中的 ｐ 为 生 成元 点 ，集合 Ｐ＝｛Ｐ 一，Ｐ ｝为 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 Ｖｏｒ的生成元 集 。
ＩＳＳＮ １Ｏ０８—９４４６
承 德 石 油 高 等 专 科 学 校 学 报 第 １８卷 第 ２期 ，２０１６年 ４ 月
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｅｎｇｄｅ Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｖｏ１．１８，Ｎｏ．２，Ａｐｒ． ２０１６
Ｖｏｒｏｎｏｉ图 的 性 质 及 离 散 构 造ｅｉ，Ｃｈｉｎａ）
Ａ ｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｔｈｅ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ａｎｄ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｖｏｒｏｎｏｉ ｄｉａｇｒａｍ ，ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ Ｏ— ｖｅｒｖｉｅｗ ｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ，ｉｔ ａｌｓｏ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｓ— ｃｒｅｔｅ Ｖｏｒｏｎｏｉ ｄｉａｇｒａｍ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Ｔｈａｔ ｉｓ， ｓｔａｒｔｉｎｇ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｆｒｏｍ ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ ａｔ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｐｏｉｎｔｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ｒｅｇａｒｄ ｔｏ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｇｅｎｅｒａｔｏｒ ｓｈａｐｅ，ｗｈｉｃｈ ａｖｏｉｄｓ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｖｏｒｏｎｏｉ ｅｄｇｅ ｓｈａｐｅ， ａｎｄ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａｎ ｅｆ ｉ ｃｉｅｎｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｃｏｍ ｐｕｔｉｎｇ． Ｋ ｅｙ ｗ ｏｒｄｓ：Ｖｏｒｏｎｏｉ ｄｉａｇｒａｍ ； ｄｙｎａｍ ｉｃ Ｖｏｒｏｎｏｉ ｄｉａｇｒａｍ ，ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ
下 面给 出精确 的数学语 言描 述 ： 定 义 设 Ｐ＝｛Ｐ 一，Ｐ ｝∈Ｒ ，２≤ｎ＜∞ ， ≠ （ ≠ ），ｉ， Ｅ， ＝｛１，… ，ｎ｝，称 由下式
ｖ（ｐ ）＝ ｛ Ｉ ｌＩｘ— ｌｌ≤ ｌＩｘ— ≠ ， ∈， ｝
基 金 项 目 ：承德 市 软科 学研 究计 划 项 目（基 于 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 的 承德 物 流 园 区 腹地 界 定 及 强 度 提 升 研 究 ）：２０１５３０１９；河 北 省 高 等 学 校 人 文 社 会 科 学 研 究 规 划 项 目（高 职 院 校 数 学 课 程 “模 块 化 一案 例 驱 动 一上 机 实 践 ”三 位 一 体 教 学 模 式 研 究 与 实 践 ）：ＧＨ１５１０１３；河 北 省 高 等 学 校 科 学 研 究 青 年 基 金 项 目 ：（高 职 高 专 高 等 数 学 分 级 教 学 的 研究 与 实 践 ）：ＳＱ１４１０１９
收 稿 日期 ：２０ｌ５．１１－ｏ１ 作 者 简 介 ：刘 欣 （１９７７一），女 ，河 北 承德 人 ，承 德 石 油 高等 专 科 学校 社科 与 数 理 部 副 教 授 ，硕 士 ，研 究 方 向 为 应 用 数 学 、计 算 几 何 、数 学 建 模 等 。
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承 德 石 油 高 等 专 科 学 校 学报
１．１ Ｖｏｒｏｎｏｉ图 的 定 义 给定 平 面上有 限个 （大 于 １个 ）孤 立点 的集 合 ，我 们 依 照欧 氏距离 将 平 面上 的所 有 位 置点 分 配 给点
集 中距 它最 近 的点 。结 果将 平 面分成 了一 个 网格 ，这个 网格 中的区域 与平 面给 出 的点集 有关 ，我 们 称这 个 网格 为 由这个点 集 生成 的平 面普通 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 ，形成 Ｖｏｒｏｎｏｉ图的 区域 为普 通 Ｖｏｒｏｎｏｉ多 边形 。在 不混 淆 的情 况下 ，简称 普通 Ｖｏｒｏｎｏｉ图为 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 ，普 通 Ｖｏｒｏｎｏｉ多边 形 为 Ｖｏｒｏｎｏｉ多 边形 。
Ｖｏｒｏｎｏｉ图概 念最早 源 于 以下 自然 问题 ：宇 航 员研 究 宇 宙 结 构 ；考古 学家 试 图识 别 不 同部 落 影 响下 的地 区 ；气象 学家在 仪 器不灵 时估 算 降雨 （雪 ）量 ；城 市规 划 者在 城 市 中进 行 公共 学 校定 位 ；物 流 园 区 范 围 的设 定 等 。它 们虽 然表 面涉 及 了完全 不 同的 现象 ，但 具 有 一 点共 同之 处 ，即都 可 以用 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 的 概 念来解 决 。
Ｎａｔｕｒｅ ｏｆ Ｖ ｏｒｏｎｏｉ Ｄｉａｇｒａｍ ａｎｄ Ｄｙｎａｍ ｉｃ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ
ＬＩＵ Ｘｉｎ， ＬＩ Ｈ ａｉ—ｍｉｎｇ，ＬＩＵ Ｙｉｎｇ—ｈｕａ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｓｏｃｉａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｃｈｅｎｇｄｅ Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ Ｃｏｌｌｅｇｅ，
刘 欣 ，李 海 明 ，刘 颖 华
（承德 石 油高等 专科 学校 社 科 与数理 部 ，河北 承 德 ０６７０００）
摘 要 ：本 文 给 出 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 的 背 景 和 定 义 以及 应 用 概 述 ，在 介 绍 传 统 算 法 的基 础 上 ，介 绍 扩 展 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 的离 散 构 造 算 法 ，即 直 接 从 离 散 的 生 成 元 点 出发 ，而 不 需 要 考 虑 生 成 元 的 具 体 形 状 ，避 免 了对 Ｖｏｒｏｎｏｉ边 的 形 状 的 计 算 ，对 使 用 计 算 机 算 法 提 供 了有 效 依 据 。 关键 词 ：Ｖｏｒｏｎｏｉ图 ；离散 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 ；离 散 构 造 中 图分 类 号 ：ＴＰ３９１．４１ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１００８—９４４６（２０１６）０２－００４１—０３
２０１６年 第 １８卷 第 ２期
给 出 的区域 为与 点 Ｐ 关 联 的普 通 平 面 Ｖｏｒｏｎｏｉ多边 形 ，由 Ｖｏｒ＝｛Ｖ（Ｐ ），… ，
Ｖ（Ｐ ）｝给 出 的 集 合 为 由 Ｐ 生 成 的 平 面 普 通 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 （或 简 称 Ｐ 的 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 ）。我 们 称 Ｖｏｒｏｎｏｉ多边 形 的顶 点 为 Ｖｏｒｏｎｏｉ顶 点 ，Ｖ（Ｐ ）中的 ｐ 为 生 成元 点 ，集合 Ｐ＝｛Ｐ 一，Ｐ ｝为 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 Ｖｏｒ的生成元 集 。
ＩＳＳＮ １Ｏ０８—９４４６
承 德 石 油 高 等 专 科 学 校 学 报 第 １８卷 第 ２期 ，２０１６年 ４ 月
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｅｎｇｄｅ Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｖｏ１．１８，Ｎｏ．２，Ａｐｒ． ２０１６
Ｖｏｒｏｎｏｉ图 的 性 质 及 离 散 构 造ｅｉ，Ｃｈｉｎａ）
Ａ ｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ｔｈｅ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ａｎｄ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｖｏｒｏｎｏｉ ｄｉａｇｒａｍ ，ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ Ｏ— ｖｅｒｖｉｅｗ ｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ，ｉｔ ａｌｓｏ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｓ— ｃｒｅｔｅ Ｖｏｒｏｎｏｉ ｄｉａｇｒａｍ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Ｔｈａｔ ｉｓ， ｓｔａｒｔｉｎｇ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｆｒｏｍ ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ ａｔ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｐｏｉｎｔｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ｒｅｇａｒｄ ｔｏ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｇｅｎｅｒａｔｏｒ ｓｈａｐｅ，ｗｈｉｃｈ ａｖｏｉｄｓ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｖｏｒｏｎｏｉ ｅｄｇｅ ｓｈａｐｅ， ａｎｄ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａｎ ｅｆ ｉ ｃｉｅｎｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｃｏｍ ｐｕｔｉｎｇ． Ｋ ｅｙ ｗ ｏｒｄｓ：Ｖｏｒｏｎｏｉ ｄｉａｇｒａｍ ； ｄｙｎａｍ ｉｃ Ｖｏｒｏｎｏｉ ｄｉａｇｒａｍ ，ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ
下 面给 出精确 的数学语 言描 述 ： 定 义 设 Ｐ＝｛Ｐ 一，Ｐ ｝∈Ｒ ，２≤ｎ＜∞ ， ≠ （ ≠ ），ｉ， Ｅ， ＝｛１，… ，ｎ｝，称 由下式
ｖ（ｐ ）＝ ｛ Ｉ ｌＩｘ— ｌｌ≤ ｌＩｘ— ≠ ， ∈， ｝
基 金 项 目 ：承德 市 软科 学研 究计 划 项 目（基 于 Ｖｏｒｏｎｏｉ图 的 承德 物 流 园 区 腹地 界 定 及 强 度 提 升 研 究 ）：２０１５３０１９；河 北 省 高 等 学 校 人 文 社 会 科 学 研 究 规 划 项 目（高 职 院 校 数 学 课 程 “模 块 化 一案 例 驱 动 一上 机 实 践 ”三 位 一 体 教 学 模 式 研 究 与 实 践 ）：ＧＨ１５１０１３；河 北 省 高 等 学 校 科 学 研 究 青 年 基 金 项 目 ：（高 职 高 专 高 等 数 学 分 级 教 学 的 研究 与 实 践 ）：ＳＱ１４１０１９
收 稿 日期 ：２０ｌ５．１１－ｏ１ 作 者 简 介 ：刘 欣 （１９７７一），女 ，河 北 承德 人 ，承 德 石 油 高等 专 科 学校 社科 与 数 理 部 副 教 授 ，硕 士 ，研 究 方 向 为 应 用 数 学 、计 算 几 何 、数 学 建 模 等 。
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承 德 石 油 高 等 专 科 学 校 学报