数学物理方法第四版(梁昆淼)期末总结ppt精品课件

o
1
2
x
z 4 2 i z 1
z 1


2 i 2
20
例2．下列积分不为零的是 ( C )。
1 A. dz z 0.5 z
C.
B.
1 z 0.5 z 2 dz

z
1 dz z 0.5
D.

z
1 dz 2 z 1 1 1 1 1 ( ) 2 z 1 2 z 1 z 1
k z 1) e z k 0 k !
1 2) zk 1 z k 0

( z )
( z 1)
1 3) (1)k z k 1 z k 0
( z 1)
z 2 k 1 4) sin z (1) (2k 1)! k 0
k
( z ) ( z )
* z1 z1 z 2 ( x1 iy1 )(x2 iy 2 ) * 2 2 z2 z 2 z 2 x2 y2
x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y2
3
(2)、乘法和除法 z1 1 (cos 1 i sin 1 ) 1ei
1 cos 2 2
f ( z ) 2 cos

2
C i 2 sin

2
2 (cos

i sin ) C 2 2
1 2

R( ) 0 R( ) C
2 (cos i sin ) C
2[ (cos i sin )] C
1 i ( ) e 2 两复数相除就是把模数相除, 辐角相减。
1 2
4
(3) 复数的乘方和开方
z n ( e i ) n
n e in
或
( n为正整数的情况)
n (cosn i sin n )
棣莫弗公式： (cos i sin ) n cosn i sin n
或虚部，通过C—R条件求出该解析函数的虚部或
实部，从而写出这个解析函数。
① 算偏导
② u或v 的全微分
③ 求积分
④ 表成 f ( z )
10
例 3：已知解析函数 f ( z ) 的实部u( x, y) x2 y2 xy, f (0) 0 ， 求虚部和这个解析函数。
解：
u u 2 x y, x 2 y x y
2
2、复数的运算: 加、减、乘、除、乘方、开方 (1)、加法和减法
z1 x1 iy1
(2)、乘法和除法
z1 z 2 ( x1 iy1 )(x2 iy2 )
z2 x2 iy2Βιβλιοθήκη Baidu
z1 z 2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 )


2
sin

2
d R( )
将上式两边对 求导，
u 1 cos R( ) 2 2
1 cos 2 2
15

sin d R( ) 2 2

2 R( )

2 cos
u 1 cos R( ) 2 2
*复数三种表示式之间的转换
实部：x Re z 模： z x 2 y 2
虚部：y Im z
0 arg z 2 ,
y 主辐角：arg z arctg ( x )
Argz arg z 2k (k 0,1,2,) 辐角： * z x iy z x iy 共轭复数:
1
k
ak
22
例1 求幂级数 k ( z i) 的收敛圆.
k k 0

解
ak k
ak k R lim lim 1 k k 1 k a k 1
收敛圆: z i 1
23
例2 幂级数
zk e k 0 k !
z

的收敛域。
解:
1 ak k! lim R lim k 1 k a k 1 (k 1)!
数 学 物 理 方 法
期末复习课件 教 材： 梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版] 第一篇 复变函数论 数学物理方程
内 容
第二篇
1
第一章
一、复数 1、复数的定义
复变函数
z x iy
——代数式
z (cos i sin ) ——三角式
z e i ——指数式
y 2k , k 0, 1, 2,
.
e z e x iy e x eiy
8
三、解析函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y)
1、柯西-黎曼方程
u v x y 直角坐标系： u v x y
u 1 v 极坐标系： 1 u v
f (0) 0
v 2 y x, x v 2x y y
C 0
1 2 z 2
12
f ( z) z 2 i
例4：已知解析函数 f (z)的虚部 v( x, y ) 求实部 u ( x, y ) 和这个解析函数 f (z) 。
x x2 y2 ，
提示：当给定的 u 或 v 中含有因子x2+y2，这种情
26
z 2k 5) cos z (1) (2k )! k 0
k

例3. 把f ( z) arctgz在z0 0邻域展成泰勒级数.
解： arctgz 1 2 dz
1 z
1 k 2k ( 1) z , z 1 2 1 z k 0
17
4、柯西公式

l
f ( z) dz 2 if ( ) z
高阶导数的柯西公式
f ( z) 2 i ( n ) l ( z )n1 dz n! f ( )
18
当被积函数在积分区域内有奇点时的回路积 分，可利用柯西公式来计算, f ( z) (1)把被积函数写成 的形式，f(z)在积 n 1 (z ) 分区域上解析, 为积分区域内一点；
况下采用极坐标处理比较方便，即令 2 x 2 y 2 。
解：
v cos
2
2 sin
2

2
cos
(1 cos )
2 sin

2
13
v 2 sin
v 1 2 sin 2 2
1 2
ak ( z z0 )k
a (z z )
k 0 k 0

k
a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2
ak R lim k a k 1
方法1：比值判别法
方法2 ：根值判别法 R lim k 收敛圆： z z0 R 收敛域：z z0 R
2、解析函数性质： (1)、若 f ( z) u( x, y) iv( x, y) 是解析函数，则 u v 0 。 (2)、若函数 f ( z) u iv 在区域 B上解析，则 u和v 必为B上的相互共轭调和函数。
9
3、构建解析函数： 给出一个二元调和函数作为解析函数的实部
f ( z) 2i ( n ) dz f ( ) (2) 利用柯西公式 l n 1 n! (z )
来计算积分.
19
例1.

c
sin(
z) 4 dz, 其中c : ( x 1) 2 y 2 1 z2 1

y
I

c
sin( z ) 4 dz z 1 z 1
sin
根据C-R条件，
v u v u 2 y x, 2x y x y y x
v v 1 dx ( y ) (2 y x)dx ( y ) 2 xy x 2 ( y ) x 2
11
v
v 1 dx ( y ) (2 y x)dx ( y ) 2 xy x 2 ( y ) x 2
1. 幂函数
n
周期为2i， 3. 三角函数
eiz eiz cos z , 2
eiz eiz sin z , 2i
周期为2
6
4、双曲函数 e z ez shz 2 5、根式函数
e z ez chz 2
周期为2i
z e i
w n e
i
2 k
n
k 0,1,2,(n 1)
6、对数函数
w ln z ln
z iArgz
Argz arg z 2k
k 0,1,
7
zz 例1：已知 z 2 3i ，则
13
。
zz 2 x2 y 2 13
例2：复数ez
的模为
e x ，辐角为
v 2 x ( y ) y
( y) y
1 2 y C 2 1 v 2 xy ( y 2 x 2 ) C 2 1 f ( z ) u iv x 2 y 2 xy i[2 xy ( y 2 x 2 )] iC 2 1 ( x iy ) 2 i ( x iy ) 2 iC 2 1 z 2 i z 2 iC 2 ( y )
u v 1 sin sin 2 2 2 2
14
u 1 cos 2 2
u sin 2 2
将上面第二式对 积分， 视作参数，有
u u d R ( )
其中 R ( ) 为 的任意函数。
z1z2 12[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
1
z2 2 (cos 2 i sin 2 ) 2ei2
1 2 e
i (1 2 )
• 两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加;
z1 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 2
n
2kπ 2kπ z cos i sin n n
1 n
n e
i
2 k
n
( k 0, 1, 2, , n 1 )
复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式 或指数式往往比代数式来得方便。
5
二、六种初等复变函数：
w z z 2 .指数函数 w e

l
(l不包围 ) 1 0 dz z 2 i (l包围 )

z
1 1 1 1 dz ( dz dz ) 2 z z z 1 2 z 1 z 1 1 (2 i 2 i ) 2 0
21
第三章
一、收敛半径
幂级数展开

2
u 1 v 1 u v
1 sin 2 2

2 cos
v 1 2 cos 2 2

2
u 1 v 1 1 cos cos 2 2 2 2
1 2
u 2 cos

2
C
2z C
16
第二章
复变函数积分
一、复变函数积分的性质： ——P23
二、计算复变函数回路积分
1、单通区域柯西定理：P24 2、复通区域柯西定理：P25 3、重要公式应用（P28）
1 0 l z dz 2i (l不包围 ) (l包围 )
lim k 1 , k
收敛域:
z
24
二、把圆域或环域或某一点的邻域上解析函数展
成幂级数
根据解析函数泰勒级数和洛朗级数展 间接展开法： 开的唯一性，一般可利用熟知的泰勒展开式，通过 变量变换，结合级数的四则运算、逐项求导和积分、
分解成最简分式等方法去展开 。
25
常见函数的泰勒展开式: