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2020-2021 中考数学易错题精选 -相似练习题含答案

一、相似

1．如图，在矩形ABCD 中， AB=18cm， AD=9cm，点M 沿AB 边从 A 点开始向 B 以2cm/s 的速度移动，点N 沿DA 边从 D 点开始向 A 以1cm/s的速度移动．如果点M、 N同时出

发，用 t（ s）表示移动时间（0≤t ≤9），求：

（1）当 t 为何值时，∠ ANM=45°？

（2）计算四边形 AMCN 的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论；

（3）当 t 为何值时，以点 M 、 N、 A 为顶点的三角形与△ BCD相似？

【答案】（1）解：对于任何时刻 t ， AM=2t ，DN=t， NA=9-t，当 AN=AM 时，△MAN 为等腰直角三角形，即： 9-t=2t ，

解得： t=3（ s），

所以，当t=3s 时，△ MAN 为等腰直角三角形

（2）解：在△ NAC 中， NA=9-t ， NA 边上的高DC=12，∴ S△NAC= NA?DC=（9-t）?18=81-

9t．

在△ AMC 中， AM=2t ， BC=9，

∴S△AMC= AM?BC=?2t?9=9t ．

∴S 四边形NAMC=S△NAC+S△AMC=81（ cm2）．

由计算结果发现：

在 M 、N 两点移动的过程中，四边形 NAMC 的面积始终保持不变．（也可提出： M 、N 两点到对角线 AC 的距离之和保持不变）

（ 3）解：根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：①当NA： AB=AM： BC 时，△ NAP∽ △ ABC，那么有：

（ 9-t ）： 18=2t ：9，解得 t=1.8 （s），

即当 t=1.8s 时，△ NAP∽ △ ABC；

②当 NA： BC=AM： AB 时，△ MAN ∽ △ABC，那么有：

（9-t ）： 9=2t ： 18，解得 t=4.5 （s），

即当 t=4.5s 时，△ MAN∽ △ ABC；

所以，当t=1.8s 或 4.5s 时，以点N、 A、M 为顶点的三角形与△ ABC相似

【解析】【分析】（ 1）根据题意可得：因为对于任何时刻t ， AM=2t ， DN=t， NA=9-t．当NA=AM 时，△ MAN 为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案。

（2）根据（ 1）中．在△ NAC 中， NA=9-t， NA 边上的高DC=18，利用三角形的面积公式，

可得 S△

NAC= =81-9t

△

．就可得出 S

四边形

NAMC=81，因此在M、 N 两点移动的过程， S AMC=9t

中，四边形NAMC 的面积始终保持不变。

（3）根据题意，在矩形 ABCD 中，可分为①当 NA： AB=AM： BC 时，△ NAP∽ △ ABC；②当 NA： BC=AM： AB 时，△ MAN ∽ △ABC 两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案。

2．如图，抛物线过点，．为线段

OA 上一个动点（点 M 与点 A 不重合），过点 M 作垂直于 x 轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于点 P、 N．

（1）求直线AB 的解析式和抛物线的解析式；

（2）如果点P 是 MN 的中点，那么求此时点N 的坐标；

（3）如果以B， P，N 为顶点的三角形与相似，求点M 的坐标．

【答案】（1）解：设直线的解析式为（）

∵，

∴解得

∴直线的解析式为

∵抛物线经过点，

∴解得

∴

（2）解：∵轴，则，

∴，

∵点是的中点

∴

∴

解得，（不合题意，舍去）

∴

（3）解：∵，，

∴，

∴

∵

∴当与相似时，存在以下两种情况：

∴解得

∴

∴,解得

∴

【解析】【分析】（ 1）运用待定系数法解答即可。

（2）由（ 1）可得直线表示的坐标，则可求得AB 的解析式和抛物线的解析式，由点

NP 与 PM，由 NP=PM 构造方程，解出

M（ m,0）可得点

m 的值即可。

N，P 用m

（3）在△ BPN 与△ APM 中，∠BPN=∠ APM，则有和含 m 的代数

式表示出 BP， PN， PM， PA，代入建立方程解答即可。

这两种情况，分别用

3．在平面直角坐标系中，二次函数

（1， 0）两点，与y 轴交于点 C．

的图象与轴交于A（－ 3， 0）， B

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）点 P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点 Q 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，过点Q 作 QE 垂直于轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、 Q、 E 为顶点的三角形与△ AOC相似？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；

【答案】（1）解：由抛物线过点A（－3，0），B（1，0），

则

解得

∴二次函数的关系解析式

（2）解：连接PO，作 PM⊥x 轴于 M， PN⊥ y 轴于 N．

设点 P 坐标为（ m， n），则．

PM =，，AO=3．

当时，＝2．

∴O C=2．

＝

＝＝．

∵＝－ 1＜ 0，∴ 当时，函数有最大值．

此时＝．

∴存在点，使△ ACP的面积最大．

（3）解：存在点Q，坐标为：，．

分△ BQE∽ △ AOC，△ EBQ∽ △ AOC，△ QEB∽△ AOC三种情况讨论可得出

【解析】【分析】（ 1）由题意知抛物线过点A（－ 3， 0）， B（1 ， 0），所以用待定系数

法即可求解；

（ 2）因为三角形ACP 是任意三角形，所以可做辅助线，连接PO，作PM⊥ x 轴于M ，

PN⊥ y 轴于 N．则三角形 ACP 的面积 =三角形 APM 的面积 +矩形 PMON 的面积 -三角形 AOC 的面

积 -三角形 PCN的面积。于是可设点 P 的横坐标为 m，则纵坐标可用含 m 的代数式表

示出来，即 M （ m,-- m + 2） ,

则三角形 ACP的面积可用含 m 的代数式表示，整理可得是一个二次函数，利用二次函数的性

质即可求解；

（3）根据对应顶点的不同分三种情况（△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽ △AOC）讨论即可求解。

4．如图，已知在△ ABC 中，∠ ACB=90°， BC=2， AC=4，点 D 在射线 BC 上，以点 D 为圆心，BD 为半径画弧交边 AB 于点 E，过点 E 作 EF⊥ AB 交边 AC 于点 F，射线 ED 交射线 AC 于点 G．