高中数学人教版必修五示范课件第一章解三角形复习课

故 cos B＝ 22，因此 B＝45°. (2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos45°＋cos 30°sin
45°＝
2＋ 4
6 .
故 a＝b·ssiinn AB＝1＋ 3. 由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°， c＝b·ssiinn CB＝2·ssiinn 6405°°＝ 6.
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2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
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3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
2 2 (cos
C
＋sin C)＝31010.
由正弦定理，得 BC＝siAnCB·sin A＝
10×3 2
1010＝3
2.
2
(2)由正弦定理，得 AB＝siAnCB·sin C＝
10× 2
55＝2.
2
BD＝12AB＝1.
由余弦定理，得 CD＝ BD2＋BC2－2BD·BCcos B＝
1＋18－2×1×3 2× 22＝ 13.
所以 cos C＝12>0， 又因为 C∈(0°，180°)，所以 C＝60°. 由 acos B＝bcos A，得 2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A(R 为△ABC 外接圆的半径)， 所以 sin(A－B)＝0， 又因为 A－B∈(－120°，120°)， 所以 A－B＝0°，所以 A＝B＝C＝60°， 所以△ABC 为等边三角形．
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4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
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5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
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6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
3.解三角形应用题的基本思路 解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角 形问题来解决．基本解题思路是：首先分析此题属于哪 种类型的问题(如测量距离、高度、角度等)，然后依题意 画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发 现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转 化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似 计算的要求．
3＝2sinA＋π3＋
3.
因为 0<A<π3，所以π3<A＋π3<23π. 所以 23<sinA＋π3≤1， 所以 2 3<2sinA＋π3＋ 3≤2＋ 3. 即△ABC 周长的取值范围是(2 3，2＋ 3 ]．
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1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
(2)在△ACD 中，∠DAC＝90°－60°＝30°，
sin ∠ DCA ＝ sin(180°－ ∠ ACB) ＝ sin ∠ ACB ＝ ABBC ＝
330＝130 10， 3
sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°) ＝sin∠ACB·cos 30°－cos∠ACB·sin 30°
＝130
10·23－12·
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7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
由正弦定理，得sinAC15°＝sinBC45°， 所以 AC＝20si2ns4in5°15°＝10( 6－ 2)． 故 A 到航线的最短距离为 AD＝ACsin 60°＝10( 6－ 2)× 23＝15 2－5 6(海里)． 因为 15 2－5 6>8，所以货轮无触礁危险．
归纳升华 正、余弦定理与三角函数的综合应用
(2)利用余弦定理讨论： 已知 a、b、A，由余弦定理 a2＝c2＋b2－2cbcos A，即 c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0，这 是关于 c 的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三 角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方 程有两不同正数解，则三角形有两解．
2．三角形形状的判定方法 判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理 和余弦定理化边为角(如：a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判
[变式训练] 在△ABC 中，设角 A，B，C 的对边分 别为 a，b，c，已知 cos2A＝sin2B＋cos2C＋sin Asin B.
(1)求角 C 的大小； (2)若 c＝ 3，求△ABC 周长的取值范围． 解：(1)由题意知 1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sin Asin B， 即 sin2A＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B， 由正弦定理得 a2＋b2－c2＝－ab，
1．以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角 恒等变换为手段来考查三角形问题是近年高考的热点．在具 体解题时，除了熟练使用正、余弦定理外，也要根据条件合 理选用三角函数公式，达到化简问题的目的．
2．解三角形问题的实质是将几何问题转化为代数问 题．在高考中，出题者有时会利用平面向量等知识给出某些 已知条件，这些知识一般只起到“点缀”作用，难度较小．
专题一 利用正、余弦定理解三角形(自主研析)
[例 1]
在△ABC 中，B＝45°，AC＝
10，cos
C＝2
5
5 .
(1)求 BC 边的长；
(2)求 AB 边上的中线 CD 的长．
解：(1)由 cos C＝255，得 sin C＝ 55，
sin
A＝sin(180°－45°－C)＝sin(135°－C)＝
解：因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
所以(a2＋b2)(sin Acos B－cos Asin B)＝(a2－b2)·(sin
Acos B＋cos Asin B)，
所以 2b2sin Acos B－2a2cos Asin B＝0，
所以ab22＝scions
Acos Asin
归纳升华 应用正、余弦定理需注意的三点
1．正弦定理和余弦定理提示了三角形边角之间的关 系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一．
2．统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换 及诱导公式进行变形；统一为“边”后，要注意正确利 用配方、因式分解等代数变换方法进行变形．
3．求值时注意方程思想的运用．
由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝－2aabb＝－12，
又因为 0<C<π，所以 C＝23π.
(2)由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C＝2，
所以 a＝2sin A，b＝2sin B，
则△ABC 的周长为 L＝a＋b＋c＝2(sin A＋sin B)＋
3＝2sin
A＋sinπ3－A＋
专题二 判断三角形的形状问题 [例 2] 已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分 别为 a，b，c，aa3＋＋bb3－－cc3＝c2，且 acos B＝bcos A，试判 断△ABC 的形状． 解：由aa3＋＋bb3－－cc3＝c2， 得 a3＋b3－c3＝c2(a＋b)－c3， 所以 a2＋b2－ab＝c2，
[变式训练] △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为
a，b，c，asin A＋csin C－ 2asin C＝bsin B.
(1)求角 BLeabharlann Baidu的大小；
(2)若 A＝75°，b＝2，求 a，c.
解：(1)由正弦定理得 a2＋c2－ 2ac＝b2. 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B.
断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关 系．如：sin A＝sin B⇔A＝B；sin (A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B 或 A＋B＝π2等．二是利用正弦定理、 余弦定理化角为边，如：sin A＝2aR(R 为△ABC 外接圆半 径)，cos A＝b2＋2cb2c－a2等，通过代数恒等变换求出三条边 之间的关系进行判断．
归纳升华 利用正、余弦定理判断三角形形状的方法
主要有两种方法：方法一，通过边之间的关系判断 形状；方法二，通过角之间的关系判断形状．
利用正、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化， 把条件转化为边的关系或转化为角的关系．
[变式训练] 在△ABC 中，若(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2
－b2)sin(A＋B)，请判断三角形的形状．
第一章 解三角形
章末复习课 [整合·网络构建]
[警示·易错提醒] 1．三角形解的个数的确定(易错点) 已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解 这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时 应结合“三角形中大边对大角”的知识进行求解．解答过 程中一般用正弦定理，但也可用余弦定理． (1)利用正弦定理讨论：若已知 a、b、A，由正弦定 理sina A＝sinb B，得 sin B＝bsian A.若 sin B＞1，无解；若 sin B＝1，一解；若 sin B＜1，当 b＞a 时，两解．
1－225＝
23 5.
(2)由题设及(1)知，
cos
∠BDC＝sin
∠ADB＝
2 5.
在△BCD 中，由余弦定理得： BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos ∠BDC＝25＋8－2 ×5×2 2× 52＝25. 所以 BC＝5.
归纳升华 与函数思想相联系的就是方程思想．所谓方程思想， 就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉 及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数 及各量的值，使问题得以解决．方程可以看作未知量与 已知量相互制约的条件，它建设了由已知探索未知的桥 梁．在利用正弦、余弦定理求角或边长时，往往渗透着 函数与方程思想．
解：(1)在 Rt△PAB 中，∠APB＝60°，PA＝1，所以
AB＝ 3.
在 Rt△PAC 中，∠APC＝30°，
所以 AC＝ 33.在△ACB 中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，
所以 BC＝ AC2＋AB2＝
332＋（
3）2＝
30 3.
则船的航行速度为 330÷16＝2 30(千米/时)．
[变式训练] 如图，在海岛 A 上有一 座海拔 1 千米的山，山顶设有一个观察站 P，上午 11 时，测得一轮船在岛北偏东 30°，俯角为 30°的 B 处，到 11 时 10 分又测得该船在岛 北偏西 60°，俯角为 60°的 C 处．
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？ (2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的 D 处，问此时船距岛 A 有多远？
1－130
102
＝（3
3－1） 20
10 .
由正弦定理得sin∠ADDCA＝sin∠ACCDA，
所以 AD＝ACsi·nsi∠n∠CDDACA＝（3
33·3 1010 3－1）
10＝9＋13
3 .
20
故此时船距岛 A 有9＋13 3千米．
专题四：三角函数的综合应用
[例 4] (2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形 ABCD 中，∠
BB，
又由正弦定理可得ab22＝ssiinn22AB，
所以scions
Acos Asin
BB＝ssiinn22AB，
所以ccooss BA＝ssiinn AB，所以 sin 2A＝sin 2B.
又因为 A∈(0，π)，B∈(0，π)，
所以 2A＝2B 或 2A＋2B＝π，
即 A＝B 或 A＋B＝π2，
ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求 cos∠ADB；
(2)若 DC＝2 2，求 BC.
解 ： (1) 在 △ ABD
中
，
由
正
弦
定
理
得
BD sin ∠A
＝
AB sin ∠ADB.
即sin545°＝sin ∠2ADB，
所以 sin
∠ADB＝
2 5.
由题设知，∠ADB＜90°，
所以 cos ∠ADB＝
所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
专题三 正、余弦定理的实际应用 [例 3] 已知海岛 A 四周 8 海里内有暗礁，有一货轮 由西向东航行，望见岛 A 在北偏东 75°，航行 20 2海里 后，见此岛在北偏东 30°，若货轮不改变航向继续前进， 有无触礁危险？ 解：如图所示，在△ABC 中，依题意 得 BC＝20 2海里， ∠ABC＝90°－75°＝15°， ∠BAC＝60°－∠ABC＝45°.