相似三角形典型例题精选

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o M ，F ，BG⊥AC，垂足为G ，BG 交AE 于点H ．（1）找出与△ABH 相似的三角形，并证明；

（2）若E 是BC 中点，BC=2AB ，AB=2，求EM 的长．

例12、如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ，AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．

求证：（1）AE=CG ；（2）AN•DN=CN•MN ．

例13、如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，点M 在CD 上，DH⊥BM 且与AC 的延长线交于点E ．求证：

（1）△AED∽△CBM； （2）AE•CM=AC•CD ．

例14、如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F ．（1）求证：FD 2=FB•FC ；

（2）若G 是BC 的中点，连接GD ，GD 与EF 垂直吗？并说明理由．

例15、如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形.

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(1)⊿ACF 与⊿ACG 相似吗？说说你的理由.(2)求∠1+∠2的度数.

考点四：相似三角形的实际应用：

例16、如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？

（2）若这个矩形的长PQ 是宽PN 的2倍，则边长是多少？

例17、已知左，右并排的两棵大树的高分别是AB=8m 和CD=12m ，两树的根部的距离

BD=5m 。一个身高1.6m 的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点C ？

例18、两颗树的高度分别为AB=6m ，CD=8m ，两树的根部间的距离AC=4m ，小强沿着正对这

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s 两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m ，当小强与树AB 的距离小于多少时，就不能看到树CD 的树顶D ？

例19、小亮想利用太阳光下的影子测量校园内一棵大树的高，小亮发现因大树靠近学校围墙，大树的影子不全落在地面上，如图所示，经测量，墙上影高CD=1.5m ，地面影长BC=10m ．

若此时1米高的标杆的影长恰好为2m ．请你求出这棵大树AB 的高度．

例20、如图，九年级的数学活动课上，小明发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，求电线杆的高度．

例21、如图，有一路灯杆AB （底部B 不能直接到达），在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF=3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG=4m ，如果小明的身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度．

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考点五：相似三角形中的动点问题：

例22、在矩形ABCD 中，AB=12cm ，AD=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/秒的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t 为何值时，△APQ 与△ABD 相似？说明理由．

例23、如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P 以2米/秒的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动．同时，动点Q 以1米/秒的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．

（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ 的面积；②求△CPQ 的面积S （平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；

（2）在P ，Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，写出t 的值。

例24、如图所示，在△ABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x ．

（1）当x 为何值时，PQ∥BC；

（2）当S △BCQ :S △ABC =1:3 ，求S △BPQ :S △ABC 的值；

（3）△APQ 能否与△CQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由．