材料力学 第八章 应力状态分析

5
8.1 应力状态的概念
F
F
F
A
F
A
F
构件上同一点在各个不同方截面方位的函
数。
6
8.1 应力状态的概念
3.一点应力状态的表示方法
单元体法：围绕一点取微小的正六面体，这 一无穷小的单元体就代表这个点。
当一个材料单元体的三个坐标平面上的应力 都已知时，总可以用截面法求出任意方位截面上 的应力，于是当单元体三个坐标平面的应力确定 时，就称该单元体的应力状态已确定。
5.主平面、主应力
z
z
x
zx
xz
zy
yz yx
xy
yy
1
x
2 3
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力
称为主应力，分别用 1, 2 , 3 表示，并且 1 2 3
该单元体称为主应力单元。
10
8.1 应力状态的概念
6.应力状态的分类
空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零
采用同样的方法：
x
y
2
sin
2
x
cos 2
令 d 0 d
tan
2α1
σx σy 2τ x
2.正负号规则
y
y
x
x
正应力：拉为正；反之为负
切应力：使微元顺时针方向 x 转动为正；反之为负。
y
a角：由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
x
x
y
t
y
n x
20
8.2 解析法分析二向应力状态
例2 如图所示单元体，求指定截面上的正应力和切 应力。
n
80MPa
x
60
20MPa
40MPa
21
8.2 解析法分析二向应力状态
解：由题示条件知：
x 80MPa y 40MPa x 20MPa y 20MPa
30
y
30
x
60
80MPa 20MPa
40MPa
22
8.2 解析法分析二向应力状态
30
x
y
2
x
y
2
cos 60
x sin 60
80 40 80 40 1 20 3
zx
xz
zy
yz yx
x
xy
yy
x
最一般的情况：九个应力分量，六个独立(切应力 互等)
最常见的情况：有一对方向面上的应力为零，有 一个主应力肯定为0，点处于平面应力状态。
16
8.2 解析法分析二向应力状态
1.斜截面上的应力
已知：x ，y ，x， y ；
求：任意斜截面的应力（面 ）
y
y
x
例1 下图a所示钢轨的轨头受车轮的静荷作用时， 其应力状态即为图b所示三向压应力状态。
F
3
1 2
2 1
3
14
(a)
(b)
8.1 应力状态的概念
讨论 1.决定一点的应力状态有哪些因素？ 2.研究一点应力状态的意义是什么？
15
8.2 解析法分析二向应力状态
z
z
应力状态分析：已知材料 单元体的三对互相垂直的 外表面上的应力，求任意 方向面上的应力。
8 应力状态分析
1
8 应力状态分析
8.1 应力状态的概念 8.2 用解析法分析二向应力状态 8.3 用图解法分析二向应力状态 8.4 三向应力状态下的应力分析 8.5 广义胡克定律 8.6 三向应力状态下的比能
2
8.1 应力状态的概念
1.问题的提出 铸铁
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
3
2
22
2
67.3MPa
30
x
y
2
sin 60
x sin 60
80 40 3 20 1
22
2
41.9MPa
80MPa
y 67.3MPa
30
x
60 41.9MPa
20MPa
40MPa
23
8.2 解析法分析二向应力状态
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
1 2
(
x
y)
1 2
(
tan 20
2 x x y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。
所以，最大和最小正应力分别为：
max
x y
2
x
2
y
2
2 x
min
x
y
2
x
2
y
2
2 x
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
25
8.2 解析法分析二向应力状态
4. 切应力极值和方向
x
y ) cos 2
x sin 2
d d
( x y )sin 2 2 x cos 2
设 0 时，上式值为零，即
( x y )sin 20 2 x cos 20 0
(σ 2
x
2
σ
y
)
sin
2α0
τx
cos 2α0
2τα0
0
即 0 时，切应力为零
24
8.2 解析法分析二向应力状态
18
8.2 解析法分析二向应力状态
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
2
sin2 1 (1 cos 2 )
2
2sin cos sin2
并注意到 y x 化简得
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin
2
x
y
2
sin 2
x cos 2
19
8.2 解析法分析二向应力状态
2
1
3
11
8.1 应力状态的概念
应力状态的分类
空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态：一个主应力为零
2
1
12
8.1 应力状态的概念
应力状态的分类
空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态：一个主应力为零 单向应力状态：两个主应力为零
1
13
8.1 应力状态的概念
n
x
x
x
x
dA y
t
y
y
Fn 0
Ft 0
17
8.2 解析法分析二向应力状态
列平衡方程
x
n
Fn 0
x
dA
y
t
dA x (dAcos)sin x (dAcos) cos
y
y (dAsin) cos y (dAsin)sin 0
Ft 0
dA x (dAcos) cos x (dAcos)sin y (dAsin)sin y (dAsin) cos 0
7
8.1 应力状态的概念
4.截取单元体的原则
一般来说，三对平行面的应力是可求的或给定的； 通常截取的一对平行平面是横截面。
F
A
F
A
横截面
8
8.1 应力状态的概念
B A
A
横截面
B
横截面
材料单元体上相对坐 标面上的应力大小相 等，方向相反。
材料单元体上任意 方向面上应力均匀 分布。
9
8.1 应力状态的概念
8.1 应力状态的概念
低碳钢
铸铁
脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
4
8.1 应力状态的概念
为了分析这些破环现象，为了建立组合变 形构件的强度条件，我们必须分析通过危险点的 斜截面上的应力情况，也就是说我们必须要研究 一点处的应力状态。
2.一点的应力状态
通过构件内某一点的各个不同方位的截面 上的应力的大小和方向，通常称为点的应力状态。