材料力学 应力状态分析 )
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材料力学应力分析(共143张PPT)
Mz Wz
17
y
1
4
z
2
x
3
S平面
18
y
1
FQy
1
4
4 Mz
x
z
2
Mx
3
3
19
应力状态的概念
主平面：单元体中剪应力等于零的平面。
主单元体：在单元体各侧面只有正应力而
无剪应力
3
2
主应力：主平面上的正应力。
主方向：主平面的法线方向。
约定：
1
12 320
应力状态的分类
3
2
1
1
2
3
单向应力状态：三个主应力中，只有一个主应力不等于零的情况。
3
一、什么是应力状态？
〔一〕、应力的点的概念:
最大正应力所在的面上切应力一定是零； 它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好； 7-2 二向应力状态分析--解析法 面将单元体截为两局部， 并注意到 化简得 三、如何描述一点的应力状态 应力圆上一点( ， ) 7-8 广义胡克定律 该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为 解: 该单元体有一个主应力 例2：纯剪切状态的主应力 它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好；
5
F
F
A
F
co2s
2
sin2
过同一点不同方向面上的应力各不相同， 即应力的面的概念
6
应力的点的概念与面的概念
应力
指明
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
应力状态: ——过同一点不同方向面上应力的集合，称为
这一点的应力状态；
7
二、为什么要研究应力状态？
材料力学第8章应力状态分析
点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同 一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而 图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横 截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b） 中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体， 根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应 力。
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的 一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称 为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正
材料力学：第八章-应力应变状态分析
斜截面: // z 轴； 方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
材料力学应力状态分析强度理论
断裂力学
断裂力学用于研究材料发生断裂时的力学行为，包括断裂韧性和断裂韧性指标。
断裂模式分析
通过对材料断裂模式的分析，了解材料在受到外力作用时如何发生破裂。
材料的强度
应力。 材料在受力过程中开始产生塑性变形的应力值。
材料在受到大幅度应力作用时发生破裂的强度。
由强度理论推导的材料设计
根据材料的强度特性，可以进行材料设计，以确保材料在使用过程中不超过其强度极限。
考虑材料疲劳的应力分析
1
疲劳寿命评估
扭转应力分析
扭转应力是材料在受扭转力作 用下的应力分布，对材料的扭 转能力和疲劳寿命影响较大。
应力分布分析
1 梁的应力分布
梁的应力分布分析可以 帮助了解梁在受力过程 中的强度和变形情况。
2 压力容器的应力分析 3 板的应力分布
压力容器的应力分析是 为了确保容器在承受压 力时不会发生破裂或变 形。
板的应力分布分析可用 于评估板在受力状态下 的强度和变形性能。
材料力学应力状态分析强 度理论
材料力学应力状态分析强度理论是研究材料受力情况及其强度特性的理论体 系，包括弹性理论、横向状态分析、应力分布分析等内容。
弹性理论
基本原理
材料在受力过程中 会发生变形，弹性 理论用于描述材料 的弹性性质和应变 的产生与传递。
弹性模量
弹性模量是衡量材 料对应力的响应能 力，不同材料具有 不同的弹性模量。
应力-应变关 系
弹性理论可以通过 应力-应变关系来描 述材料受力后的变 形情况。
限制条件
弹性理论是在一定 条件下适用的，需 要考虑材料的线性 弹性和小变形假设。
横向状态分析
横向力
横向状态分析用于研究材料在 受横向力作用下的变形和应力 分布。
断裂力学用于研究材料发生断裂时的力学行为，包括断裂韧性和断裂韧性指标。
断裂模式分析
通过对材料断裂模式的分析，了解材料在受到外力作用时如何发生破裂。
材料的强度
应力。 材料在受力过程中开始产生塑性变形的应力值。
材料在受到大幅度应力作用时发生破裂的强度。
由强度理论推导的材料设计
根据材料的强度特性，可以进行材料设计，以确保材料在使用过程中不超过其强度极限。
考虑材料疲劳的应力分析
1
疲劳寿命评估
扭转应力分析
扭转应力是材料在受扭转力作 用下的应力分布，对材料的扭 转能力和疲劳寿命影响较大。
应力分布分析
1 梁的应力分布
梁的应力分布分析可以 帮助了解梁在受力过程 中的强度和变形情况。
2 压力容器的应力分析 3 板的应力分布
压力容器的应力分析是 为了确保容器在承受压 力时不会发生破裂或变 形。
板的应力分布分析可用 于评估板在受力状态下 的强度和变形性能。
材料力学应力状态分析强 度理论
材料力学应力状态分析强度理论是研究材料受力情况及其强度特性的理论体 系，包括弹性理论、横向状态分析、应力分布分析等内容。
弹性理论
基本原理
材料在受力过程中 会发生变形，弹性 理论用于描述材料 的弹性性质和应变 的产生与传递。
弹性模量
弹性模量是衡量材 料对应力的响应能 力，不同材料具有 不同的弹性模量。
应力-应变关 系
弹性理论可以通过 应力-应变关系来描 述材料受力后的变 形情况。
限制条件
弹性理论是在一定 条件下适用的，需 要考虑材料的线性 弹性和小变形假设。
横向状态分析
横向力
横向状态分析用于研究材料在 受横向力作用下的变形和应力 分布。
材料力学应力状态分析
的就是主应力；但除此之外，
图a所示单元体上平行于xy平面 的面上也是没有切应力的，所 以该截面也是主平面，只是其 上的主应力为零。
24
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第七章 应力状态和强度理论
在弹性力学中可以证明， 受力物体内一点处无论是什么 应力状态必定存在三个相互垂 直的主平面和相应的三个主应 力。对于一点处三个相互垂直
垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状
态(state of stress)可用一个单元体(element)及其上的应力 来表示。
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第七章 应力状态和强度理论
p cos 0 cos2 0 p sin sin 2
1
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第七章 应力状态和强度理论
§7-1 概述
在第二章和第三章中曾讲述过杆受拉压时和圆截面
杆受扭时杆件内一点处不同方位截面上的应力，并指出： 一点处不同方位截面上应力的集合(总体)称之为一点处 的应力状态。由于一点处任何方位截面上的应力均可根 据从该点处取出的微小正六面体── 单元体的三对相互
的主应力，根据惯例按它们的
代数值由大到小的次序记作1，
2，3。图b所示应力圆中标
出了1和2，而3=0。
25
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第七章 应力状态和强度理论
当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态； 平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示，可能是
1，也可能是2或3，这需要确定不等于零的两个主应力
状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力
圆(莫尔圆)(Mohr’s circle for stresses)来表示。 先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项 移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：
材料力学第9章 应力状态分析
B
方位角α, 对应于应力圆上为2 α
a τy σy τx e σα σx a ταf
n
c
τ
a
B 2a
τσx x x o C
角, 自起始半径旋转, 且与α转向 一致；
A 单元体上A、B面夹角α, σ 应力圆上弧长AB的圆心角
b
σyτy d
为2 α角, 且转向一致。
3、主应力、主平面与主单元体
t
图解法
tadA (t xdAcosa ) cosa (s xdAcosa )sina (t ydAsina )sina (s ydAsina) cosa 0
关系式
t x =t
(负号已包含在指向中）；
y
sin
2a
2 sin a
cosa；
cos2 a 1 cos 2a ； sin2 a 1 cos 2a
t
图解法
注意A1、A2点
σx
σ( 2,0)
A2 B2
σ τ E(
2a
Dα1，σ( xα,)τ x )
2a
数值 方位
τy τx
o
σ a C B1 A1 σ
( 1,0) 主点法
s1 = sx s y
s2
2
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 x
tan
2a0
2t x sx s
y
(σy ,Dτ2y) σy
K
s1的方位
作D1K⊥σ轴, 交圆与K点, 则A2K方向
2
2
sa、ta
计算公式
sa
ta
sx sx
sy
2
s y
材料力学应力状态分析
材料力学应力状态分析材料力学是研究物质内部力学性质和行为的学科，其中应力状态分析是材料力学中的重要内容之一。
应力状态分析是指对材料内部受力情况进行分析和研究，以揭示材料在外力作用下的应力分布规律和应力状态特征，为工程设计和材料选用提供依据。
本文将从应力状态的基本概念、分类和分析方法等方面展开讨论。
首先，我们来介绍一下应力状态的基本概念。
应力是指单位面积上的力，是描述物体内部受力情况的物理量。
在材料力学中，通常将应力分为正应力和剪应力两种基本类型。
正应力是指垂直于截面的应力，而剪应力是指平行于截面的应力。
在实际工程中，材料往往同时受到多种应力的作用，因此需要对应力状态进行综合分析。
其次，我们将对应力状态进行分类。
根据应力的作用方向和大小，可以将应力状态分为拉应力状态、压应力状态和剪应力状态三种基本类型。
拉应力状态是指材料内部受到拉力作用的状态，压应力状态是指材料内部受到压力作用的状态，而剪应力状态是指材料内部受到剪切力作用的状态。
这三种应力状态在工程实践中都具有重要的意义，需要我们进行深入的分析和研究。
接下来，我们将介绍应力状态分析的方法。
应力状态分析的方法有很多种，常用的有应力分析法、应变分析法和能量方法等。
应力分析法是通过应力分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，应变分析法则是通过应变分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，而能量方法则是通过能量原理和平衡条件来揭示应力状态的特征。
这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法进行分析。
最后，我们需要注意的是，在进行应力状态分析时，需要考虑材料的本构关系、边界条件和载荷情况等因素，以确保分析结果的准确性和可靠性。
同时，还需要注意应力状态分析的结果对工程实践的指导意义，以便更好地指导工程设计和材料选用。
总之，材料力学应力状态分析是一个复杂而重要的课题，需要我们进行深入的研究和分析。
只有深入理解应力状态的特征和规律，才能更好地指导工程实践，为实际工程问题的解决提供科学依据。
材料力学 第八章：应力状态分析
2 )2
材料力学
整理可得：
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
x2
(3)
(3)式为以 、为变量的圆方程。
圆心坐标
(
x
y
,0)
横坐标为平均应力
2
半径
(
x
2
y
)2
2 x
为最大剪应力
材料力学
x x
y
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
材料力学
方法一：
27.5
x
2
y
x
y
2
cos(2 27.5) x
sin(2 27.5)
70 70 cos55 50sin 55 22
96MPa
96MPa
27.5
70MPa
62.5 50MPa 26MPa
117.5
x
上的应力对应-坐标系中的Dy点。Dy
点的横坐标
OF
、纵坐标
y
FDy
y
;连接
Dx、Dy与轴的交点C为圆心 , CDx 或
CDy 为半径画一圆，这个圆是该单元
体所对应的应力圆。
材料力学
n
y
x
y
x
x
y
F o
Dy
(y,y)
Dx(x,x) CK
材料力学
证明：
DxCK DyCF (对顶角) Dy FC DxKC (直角)
材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)
t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半 径 = 2 t min
s x s y 2 2 （ ） t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面（单位：MPa）。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1
sx 面上的应力(s ，t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理： t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化 得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy
材料力学-7-应力状态分析
7.1 应力状态的基本概念
y
y
1 1 4
z
4
Mz
x
x
l
S FP
2
3
Mx
z
3
a
第7章 应力状态分析
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
一、方向角与应力分量的正负号约定
x
正应力
x
x
拉为正
压为负
x
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
？
第7章 应力状态分析 7.1 应力状态的基本概念
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法 7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法 7.4 应力圆及其应用——图解法
7.5 三向应力状态的特例分析
7.6 广义胡克定律
7.7 应变能密度
第7章 应力状态分析
tan 2q p＝－ 2 τ
xy
x y
主平面（principal plane）：切应力q＝0的方向面，用 qp表示。 主应力（principal stress）：主平面上的正应力。 主方向（principal directions）：主平面法线方向，用方 向角qp表示。
7.3 主应力、主平面与面内最大切应力 ——解析法
第7章 应力状态分析
第7章 应力状态分析
1
3
2
max
max
拉压、弯曲正应力 扭转、弯曲切应力
这些强度问题的共同特点是：
1、危险截面上的危险点只承受正应力 或切应力； 2、都是通过实验直接确定失效时的极限应力，并以此为依据建立强度 设计准则。 复杂受力：危险截面上危险点同时承受正 应力和切应力，或者危险点的其他面上同 时承受正应力或切应力。 → 强度条件
材料力学-应力状态分析
+
σ x σ y
2
cos 2α τ x sin 2α
sin 2α + τ x cos 2α
注意： 的正负号， 注意：1）σx 、σy 、τx 和 α的正负号， 2） 公式中的切应力是τx ，而非τy， 而非 的正负号。 3） 计算出的σα和τα 的正负号。
τα τ α>0
τα τ α<0
图示圆轴中， 已知圆轴直径d=100mm， 轴向拉 例 ： 图示圆轴中 ， 已知圆轴直径 ， 力 F=500kN，外力矩Me=7kNm。求 C点α = 30°截 ， 外力矩 。 点 ° 面上的应力。 面上的应力。 y
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
C
A1
σ
D
y
σ1 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y + 2
2 +τ x
2
2
σ2 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y 2 +τ x 2
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
2α0
C
A1
σ
D
y
2τ x 2α 0 = arctan σ x σ y
σ x σ y R= 2
+τ x2
2
σ x +σ y σ α 2
σy
σ x σ y 2 2 + τα = +τ x 2 τ
2 2
D
x
τx τy
σx
o
C D
y
σ
50MPa
材料力学《第七章》应力状态分析
上海交通大学
受力： sadA、 tadA 受力： sxdAcosa、 txydAcosa
受力： sydAsina、 tyxdAsina
n
sx
txy
a
sa a
a
x
ta
tyx
e
切线方向上： Σ Fτ 0
σx σy σx σy σα cos2α τ xy sin2α 2 2
b
sy
τα d A ( σ x d A cos α )sin α ( τ xy d A cos α )cos α ( σ y d A sin α )cos α ( τ yx d A sin α )sin α 0
s1
一个主应力为零，其他二个主应力不为零。
3. 三向应力状态(空间应力状态)： 三个主应力均不为零。
上海交通大学
一般要找出主应力后才能确定应力状态。
四、应力状态分析步骤
s2
1. 确定构件危险截面危险点；
2. 取危险点单元体；
s3
3. 计算单元体各面应力；
4. 截面法取部分单元体； 5. 由平衡条件确定单元体斜截面上的应力。 应力状态分析方法： 解析法、图解法。
上海交通大学
三、应力状态的分类 定义：单元体 上应力为零的面称为零应力面； 单元体上只有 s 而无 t 的面称为主平面。 主平面上的正应力 s 称为主应力。
s2
s3
单元体在某一特殊方向上，三个互相垂直的截面上只有 s，而 无 t ，即为单元体的三个主平面。 用 s1 ≥ s2 ≥ s3 表示三个主应力，此单元体称为主单元体。 1. 单向应力状态： 一个主应力不为零，其他二个主应力为零。如：轴向拉伸。 2. 二向应力状态(平面应力状态)：
材料力学：第九章 应力状态分析
Me
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到 ）、（2） ）、（ （1） 由（1）、（ ）式，可以求出单 ） 元体各个截面上的应力。（ 。（即 点 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力） ） 处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合， 定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且 横截面上只有正应力， 均匀分布 计算公式： 计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 横截面上只有切应力， 线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式： 计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无 为了研究 点处各个方向的应力，围绕 点取一个各边长均为无 点处各个方向的应力 限小的六面体（称为单元体）。 限小的六面体（称为单元体）。 径向截面
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到 ）、（2） ）、（ （1） 由（1）、（ ）式，可以求出单 ） 元体各个截面上的应力。（ 。（即 点 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力） ） 处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合， 定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且 横截面上只有正应力， 均匀分布 计算公式： 计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 横截面上只有切应力， 线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式： 计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无 为了研究 点处各个方向的应力，围绕 点取一个各边长均为无 点处各个方向的应力 限小的六面体（称为单元体）。 限小的六面体（称为单元体）。 径向截面
材料力学-应力状态分析
画出下列图中的A、B、C点的已知应力单元体图。
P
A y
P
σx
A
σx τ yx
B C z
P M x
σx
τzx
B
σx
τxz
C
τ xy
4、应力状态的分类
（1）、主平面与主应力 ）、主平面与主应力： 主平面与主应力：
σx
τy
σy τx
σx
主平面： 主平面：单元体中切应力为零的平面。 单元体中切应力为零的平面。 主应力： 主应力：作用于主平面上的正应力。 作用于主平面上的正应力。
圆心： 圆心：
(
σ x +σ y
2
,0)
半径：
R= (
σ x−σ y
2
) + τ xy
2
2
应力圆： 应力圆：
(σ α −
σ x +σ y
2
) +τ
2
2
α
=(
σ x −σ y
2
)2 + τ 2 xy
τ
R= (
σ x −σ y
2
)2 + τ 2 xy
R C
σ x +σ y
2
σ
二.应力圆的画法
y σ y
+ (σ y dA sin α ) cos α + (τ y dA sin α ) sin α = 0
b
由切应力互等定理和三角变换，可得：
n
σα
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ xy sin 2α
σx
材料力学课件第7章 应力状态分析
α+
2
（2）主应力值计算 ） 方法一： 方法一： σ x +σ y σ x −σ y + cos 2α 0 − τ xy sin 2α 0 σ α =
2 2 0 σ x +σ y σ x −σ y π π σ = + cos 2 α 0 + − τ xy sin 2 α 0 + α0 + π 2 2 2 2 2
2τ xy
σ x −σ y
2τ xy 1 可取： 可取： α 0 = arctan − σ −σ 2 x y
1 2τ xy , arctan − σ −σ x y 2
π + 2来自3、主应力： 、主应力： （1）性质： ）性质： ①主应力为各截面上正应力的极值。 主应力为各截面上正应力的极值。
∗ FS Sz τ= bIz
五、主平面、主应力 主平面、 1、主平面 、 •τ= 0的截面 的截面; 的截面 •过一点有三个相 过一点有三个相 互垂直的主平面. 互垂直的主平面 2、主应力 、 •主平面上的正应力 主平面上的正应力; 主平面上的正应力 •表示符号 1 、σ2、σ3（ σ1 ≥σ2≥σ3 ） 。 表示符号σ 表示符号 应力状态分类： 六、应力状态分类： 1、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 2、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 3、三向应力状态 ：三个主应力都不为零。 三个主应力都不为零。 、 4、简单应力状态：单向应力状态。 、简单应力状态：单向应力状态。 5、复杂应力状态：二向和三向应力状态。 、复杂应力状态：二向和三向应力状态。
2
（2）主应力值计算 ） 方法一： 方法一： σ x +σ y σ x −σ y + cos 2α 0 − τ xy sin 2α 0 σ α =
2 2 0 σ x +σ y σ x −σ y π π σ = + cos 2 α 0 + − τ xy sin 2 α 0 + α0 + π 2 2 2 2 2
2τ xy
σ x −σ y
2τ xy 1 可取： 可取： α 0 = arctan − σ −σ 2 x y
1 2τ xy , arctan − σ −σ x y 2
π + 2来自3、主应力： 、主应力： （1）性质： ）性质： ①主应力为各截面上正应力的极值。 主应力为各截面上正应力的极值。
∗ FS Sz τ= bIz
五、主平面、主应力 主平面、 1、主平面 、 •τ= 0的截面 的截面; 的截面 •过一点有三个相 过一点有三个相 互垂直的主平面. 互垂直的主平面 2、主应力 、 •主平面上的正应力 主平面上的正应力; 主平面上的正应力 •表示符号 1 、σ2、σ3（ σ1 ≥σ2≥σ3 ） 。 表示符号σ 表示符号 应力状态分类： 六、应力状态分类： 1、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 2、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 3、三向应力状态 ：三个主应力都不为零。 三个主应力都不为零。 、 4、简单应力状态：单向应力状态。 、简单应力状态：单向应力状态。 5、复杂应力状态：二向和三向应力状态。 、复杂应力状态：二向和三向应力状态。
材料力学 第八章 应力状态分析
Page 9
第八章 例 求图示 ， 已知 x 80 MPa
x 60 MPa
应力状态分析
y 30 MPa
210
60 80 30
解：
x y x y cos2 x sin2 2 2
80 30 80 30 cos60 (-60)sin60 104.46MPa 2 2
单位：MPa
x y
2
sin2 x cos2
80 30 sin60 60 cos60 =8.35MPa 2
问 可取何值
150 ;
30（x轴向左）
Page10
第八章
应力状态分析
§8-3
一、应力圆
应力圆
应力转轴公式 x y x y cos2 x sin2
a 点处: 纯剪切；c , d 点处: 单向应力； b 点处:
, 联合作用
复杂应力状态下，如何 建立强度条件 ？
分别满足 ? 做实验的工作量与难度 ?
Page 5
第八章
应力状态分析
建立复杂应力状态强度条件的研究思路：
材料物质点应力状况· 应力微体 材料失效机理 •应力状态 通过构件内一点，所作各微截面的 应力状况，称为该点处的应力状态 •应变状态 构件内一点在各个不同方位的应 变状况，称为该点处的应变状态
min
2
x tan2 x y max x y 0 2 x y CF OC CA x min 2 2 2 x x FD max x y 2 tan 0 CK x 2 x min max y BF min
材料力学应力分析
应力状态
-
yx
即又一次证明了切应力的互等定理。
xy
y
§2 平面应力状态分析
应力状态
３、平面应力状态的极值与主应力
x
+ y
2
+ x
- y
2
cos 2
- xy sin 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
x
- y sin
2
tan 20
2 -
+ xy cos 2 xy
x - y
2＝0
得到xy 的极值
＝ 1 2
x
- y
2
+
4
2 xy
应力状态
需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直 于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应 力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有 方向面中切应力的最大和最小值。
§2 平面应力状态分析
应力状态
过一点所有方向面中的最大切应力
为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以
(
-
x
+
2
y
)
x
-
2
y
cos 2
-
xy
sin
2
(1)
x
- y
2
sin 2
+ xy
cos 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
(2)
§2 平面应力状态分析
应力状态
(
-x
+ y
2
)2
+
2
a( a , a )
材料力学——应力分析
,则α1
405(τx0) 405(τx0)
7-2 二向应力状态分析--解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MP，a txy 30MPa, y 40MP,a 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
y t xy
x
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
t
ty(xdsAin)co sy(dsAin)sin0
y
Ft 0
td Atx(ydc Ao )sco sx(dc Ao )ssin ty(xdsAin)siny(dsAin)co s0
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
{ 利用三角函数公式
co2 s 1(1co2s)
2
sin 21(1co2s)
d d (x y)si2 n2 txc y o 2 s
设α＝α0 时，上式值为零，即
t (xy )s2 i0 n 2xc y 2 o 0 s 0
2 (x σ 2 σ y) si0n τ x 2 c yα o0s 2 2α α 0 τ 0
即α＝α0 时，切应力为零 目录
2
2 s ic n o s si2 n
并注意到 t yx t xy 化简得
t 1
1
2 (xy) 2 (xy)c2 o s xs y 2 in
t1 2(xy)si2 ntxy co 2s
目录
7-2 二向应力状态分析--解析法
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
t 1 2 (xy ) 1 2 (xy )c2 o s xs y 2 in
（2）主平面的位置
tg2α0
2τ xy σx σy
材料力学应力状态分析和强度理论
材料力学应力状态分析和强度理论材料力学是一门研究物质内部各个部分之间的相互作用关系的科学。
在材料力学中，应力状态分析和强度理论是非常重要的概念和方法，用来描述和分析材料的力学行为和变形性能。
材料的应力状态是指在外力作用下，物体内部各个部分所受到的力的分布情况。
应力有三个分量：法向应力、剪应力和旋转应力。
法向应力是垂直于物体表面的作用力，剪应力是平行于物体表面的作用力，旋转应力则是物体受到扭转力产生的应力分量。
应力状态的描述可以用应力矢量来表示。
应力状态分析的目的是确定材料内部各个部分的应力分布情况，进而推导出物体的变形和破坏行为。
常用的应力状态分析方法有平面应力问题、平面应变问题和三维应力问题。
平面应力问题是指在一个平面上的应变为零，而垂直于该平面的应力不为零；平面应变问题是指在一个平面上的变形为零，而垂直于该平面的应力不为零；三维应力问题则是指在空间中3个方向的应力都不为零。
强度理论是指根据材料的内部应力状态来评估其抗拉强度、抗压强度和抗剪强度等，以判断材料是否能够承受外力而不发生破坏。
常见的强度理论有最大正应力理论、最大剪应力理论和最大扭转应力理论。
最大正应力理论是指在材料的任何一个点，其法向应力都不能超过材料的抗拉强度；最大剪应力理论则是指剪应力不能超过材料的抗剪强度；最大扭转应力理论则是指旋转应力不能超过材料的极限扭转强度。
实际应用中，强度理论通常与材料的断裂理论结合起来，以评估材料的破坏行为。
材料断裂的主要原因是应力超过了材料的强度极限，从而导致材料的破坏。
为了提高材料的强度和抗拉性能，可以通过选择合适的材料、改变材料的结构和制造工艺等方法来实现。
综上所述，材料力学应力状态分析和强度理论是描述和分析材料力学行为和变形性能的重要理论和方法。
通过深入研究应力状态、应力分析和强度理论，可以为材料的设计和制造提供指导和支持，从而提高材料的强度和抗拉性能。
材料力学课件第七章 应力状态分析1-2
G2 "
3.应力圆的应用
①应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；
②应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转过a,且转向相同;
③圆心为平均正应力，为不变量。 ④ 半径对应极值切应力。
y yx
xy x
n
a
a x a xy
yx y
(a,a)E
B1 B O "
D' (y, yx)
G1'
D(x, xy) 2a
x
2
y
2
2 xy
②取x面，定出D( x ,xy )点；取y面，定出D'( y ,yx )点；
③连DD'交轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；
y y yx
xy x
n
a
a x x a xy
yx y
(a,a)E
B1 B O "
G1'
D(x, xy) 2a
2a0 A A1
C
'
D' (y, yx)
1. ①主平面：单元体上切应力为零的面；
②主应力：主平面上的正应力，用1、2、3 表示， 有1≥2≥3。
y
z
yx
yz
xy
zy
x x
z zx xz z
x' 1
旋转
z' 3
2 y'
2.应力状态按主应力分类：
①只有一个主应力不为零称单向应力状态；
②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)； ③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)；
③主应力大小：
max min
x
y
2
x
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y
主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：
s1 s a0
x
s1
(c)
2、解析法 ：
s1
s x s y
2
s2 0
s3 s x s y
2
s x s y 2 2 t x 110MPa
2
s x s y 2 2 t x 40MPa
单元体如何取？ 在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平 面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量 dx、dy和dz，如下图所示。
y
dz dx dy x
z
单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的 性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上 的应力。
§13-2 平面应力状态分析•主应力
对图 a 所示悬臂梁上 A 点处单元体上的应力分 布（图 b ）可见：有一对平面上的应力等于零，而 不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。
s E OF OC CF OC CE cos2a 2a 0
OC CE cos 2a 0cos 2a CE sin 2a 0sin 2a
即： s E
s x s y
2
s x s y
2
cos 2a t x sin 2a s a
同理可得E点的纵坐标为：
sx
b
sx
f
tx
c
x
z
b
c
(a)
sy t y
(b)
可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上 应力。如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹角 为a，称为a截面。
应力的正负和斜截面夹角的正负规定： 1）正应力s拉为正，压为负； 2 ）切应力 t 使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反 之为负； 3）对a角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法 线重合时，其值为正；反之为负。 取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面 上应力和斜截面夹角均为正。
s
-30
s ° tx
x
x
30° n
s 30
sx 0 sx 0
2 2 16.9MPa
cos 60 t x sin 60
t 30
sx 0
2
sin 2a t x cos 2a 45.4MPa
2、应力圆
由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：
sa
按一定比例，作出应 力圆，并找到斜截面对应 的点，量取其坐标可得：
s 30 17MPa
t 30 46MPa
3、主平面和主应力 对图a所示应力状态，作出应力圆（图b）。
sy s2 tx a0 s1
(a) s1
可见： A1 s max , 0
A2 s min , 0
主平面：剪应力t =0的平面；
t
D1 s x ,t x
C
D2 s y ,t y
s
• 以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应 力圆。
t
D1 s x ,t x
C
D2 s y ,t y
s
• 从D1点按斜截面角a的转向转 动 2a 得到 E 点，该点的坐标值 即为斜截面上的应力分量值。 2）证明 对下图所示应力圆可见C点的 横坐标为： t
2
2t x 2 40 8 tan2a 0 s x s y 100 30 13
所以： 2a 0 3016'
⇒
a 0 158'
§13-3 空间应力状态的概念
下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况， 称为一般的空间应力状态。
y
O z
tyx tyz s z tzx sx t t tzy txy sx xz xy tzx txz txy sz dy tyx tyz dz sy
1）应力图的画法
已知sx、sy、tx、ty， 如右图，假定sx>sy。
a
y
t y sy
d e
n
tx sx
b
sx tx
f x
a sy t y
c
• 在s、t 坐标系内按比例尺确定两点：
D1 s x ,t x
t
D1 s x ,t x
D2 s y ,t y
s
D2 s y ,t y
• 连接D1、D2两点，线段D1D2与s轴交于C点。
第13章
应力状态分析
§13-1 引言
低碳钢和铸铁的拉伸实验 铸 铁 低碳钢
•二者都容易由实验建立强度条件。 •铸铁断口与轴线垂直，低碳钢断口 有何不同，为什么？
低碳钢和铸铁的扭转实验
低碳钢 铸 铁
•容易由实验建立强度条件。 •与拉伸断口有何不同，为什么？ •拉伸与扭转强度条件是否有关联？
工字梁:
x
x
(a)
(b)
解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：
F 50010 sx 63.7 MP a A π 1002 4
3
Me 7 10 tx 35.7 MP a π WP 3 100 16
6
y ty
图示斜截面上应力分量为：
s tx
x
C
t-30 ° ty
2
s x s y
2
cos 2a t x sin 2a
ta
s x s y
2
sin 2a t x cos 2a
例：图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉 力F=500kN，外力矩Me=7kN· m。求C点a =30°截面 上的应力。
y F T T
ty
F x
C
s tx
x
C
s tx ty
s2
(b) t
A2 Dy
2a0
主应力：主平面上的正应力。
Dx
C A1 s
可证明： s 1 s 2 s 3
并规定： s 1 s 2 s 3
O
具体值可在应力圆上量取，即：
OA1 s 1；OA2 s 2； s 3 0
主平面位置：图a中s1主平面的方位角a0对应于应力 圆（图b）上的圆心角2a0。 主应力值和主应力平面的计算： 由图b可见，A1、A2两点的横坐标为：
(c)
e
tx
sx
b
sa
ta
f
sy
ty
由图 d 所示体元上各面上的力的平衡，参考法 线n和切线t方向可得：
(d)
e
txdA cosa
s adA tadA
f t
n
sxdA cosa
b ty dA sina
s y dA sBiblioteka nan 0⇒s a dA s x dA cosa cosa t x dA cosa sin a s y dA sin a sin a t y dA sin a cosa 0
t y 40MPa
所以：
s
A3
2a0 A1
Dx
Dx 100,40
Dy 30,40
按一定比例作出应力圆（图b）。
(b)
由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大 小关系可得：
s 1 110MPa
2a 0 3016'
由此可得：
s2 0
s 3 40MPa
a 0 15 8'
sx s1
tx tx tana 0 s x s min s max s y
例 求图a所示应力状态的主应力及方向。 y 解： 1 、应力圆图解法： 30MPa
t x =40MPa
100MPa
因为： s x 100MPa
x
t x 40MPa
t
D
y
(a)
s y 30MPa
微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端 微体平行对边, 对应应力圆同一点
由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量 值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子 量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量，此即称为 图解法。 例：用图解法求图示a =30°斜截面上的应力值。
y
tx=35.7MPa
解：按一定比例画出应力圆。 因为图示应力状态有：
建立复杂应力状态强度条件的研究思路：
材料物质点应力状况· 应力微体 材料失效机理 •应力状态 通过构件内一点，所作各微截面的应 力状况，称为该点处的应力状态。可 s 由围绕该点的一个单元体面上的应力 x 表示。 •应变状态 强度条件 y
s
ty y
dx
dy
x
tx
dz
s
x
z
s
y
构件内一点在各个不同方位的应变 状况，称为该点处的应变状态。
t
E
2a C
D2 s y ,t y
E
D1 s x ,t x
s
OC OB2 B2C
由于
O
s2
A2 B 2
D1
D2 B2C D1B1C
可得：
ty
a0
2a 0
C F
tx
s
B1 A 1
sy
D2
sx s1
B2C B1C
则：
OC OB2 B1 B2 / 2 s y
d
s C ,max
s1
t1
a
b
t max
s1
C
z
a
t max
s1
O
t max
t1
y
t
t1
c
d
s t ,max
s C ,max
主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：
s1 s a0
x
s1
(c)
2、解析法 ：
s1
s x s y
2
s2 0
s3 s x s y
2
s x s y 2 2 t x 110MPa
2
s x s y 2 2 t x 40MPa
单元体如何取？ 在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平 面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量 dx、dy和dz，如下图所示。
y
dz dx dy x
z
单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的 性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上 的应力。
§13-2 平面应力状态分析•主应力
对图 a 所示悬臂梁上 A 点处单元体上的应力分 布（图 b ）可见：有一对平面上的应力等于零，而 不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。
s E OF OC CF OC CE cos2a 2a 0
OC CE cos 2a 0cos 2a CE sin 2a 0sin 2a
即： s E
s x s y
2
s x s y
2
cos 2a t x sin 2a s a
同理可得E点的纵坐标为：
sx
b
sx
f
tx
c
x
z
b
c
(a)
sy t y
(b)
可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上 应力。如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹角 为a，称为a截面。
应力的正负和斜截面夹角的正负规定： 1）正应力s拉为正，压为负； 2 ）切应力 t 使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反 之为负； 3）对a角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法 线重合时，其值为正；反之为负。 取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面 上应力和斜截面夹角均为正。
s
-30
s ° tx
x
x
30° n
s 30
sx 0 sx 0
2 2 16.9MPa
cos 60 t x sin 60
t 30
sx 0
2
sin 2a t x cos 2a 45.4MPa
2、应力圆
由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：
sa
按一定比例，作出应 力圆，并找到斜截面对应 的点，量取其坐标可得：
s 30 17MPa
t 30 46MPa
3、主平面和主应力 对图a所示应力状态，作出应力圆（图b）。
sy s2 tx a0 s1
(a) s1
可见： A1 s max , 0
A2 s min , 0
主平面：剪应力t =0的平面；
t
D1 s x ,t x
C
D2 s y ,t y
s
• 以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应 力圆。
t
D1 s x ,t x
C
D2 s y ,t y
s
• 从D1点按斜截面角a的转向转 动 2a 得到 E 点，该点的坐标值 即为斜截面上的应力分量值。 2）证明 对下图所示应力圆可见C点的 横坐标为： t
2
2t x 2 40 8 tan2a 0 s x s y 100 30 13
所以： 2a 0 3016'
⇒
a 0 158'
§13-3 空间应力状态的概念
下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况， 称为一般的空间应力状态。
y
O z
tyx tyz s z tzx sx t t tzy txy sx xz xy tzx txz txy sz dy tyx tyz dz sy
1）应力图的画法
已知sx、sy、tx、ty， 如右图，假定sx>sy。
a
y
t y sy
d e
n
tx sx
b
sx tx
f x
a sy t y
c
• 在s、t 坐标系内按比例尺确定两点：
D1 s x ,t x
t
D1 s x ,t x
D2 s y ,t y
s
D2 s y ,t y
• 连接D1、D2两点，线段D1D2与s轴交于C点。
第13章
应力状态分析
§13-1 引言
低碳钢和铸铁的拉伸实验 铸 铁 低碳钢
•二者都容易由实验建立强度条件。 •铸铁断口与轴线垂直，低碳钢断口 有何不同，为什么？
低碳钢和铸铁的扭转实验
低碳钢 铸 铁
•容易由实验建立强度条件。 •与拉伸断口有何不同，为什么？ •拉伸与扭转强度条件是否有关联？
工字梁:
x
x
(a)
(b)
解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：
F 50010 sx 63.7 MP a A π 1002 4
3
Me 7 10 tx 35.7 MP a π WP 3 100 16
6
y ty
图示斜截面上应力分量为：
s tx
x
C
t-30 ° ty
2
s x s y
2
cos 2a t x sin 2a
ta
s x s y
2
sin 2a t x cos 2a
例：图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉 力F=500kN，外力矩Me=7kN· m。求C点a =30°截面 上的应力。
y F T T
ty
F x
C
s tx
x
C
s tx ty
s2
(b) t
A2 Dy
2a0
主应力：主平面上的正应力。
Dx
C A1 s
可证明： s 1 s 2 s 3
并规定： s 1 s 2 s 3
O
具体值可在应力圆上量取，即：
OA1 s 1；OA2 s 2； s 3 0
主平面位置：图a中s1主平面的方位角a0对应于应力 圆（图b）上的圆心角2a0。 主应力值和主应力平面的计算： 由图b可见，A1、A2两点的横坐标为：
(c)
e
tx
sx
b
sa
ta
f
sy
ty
由图 d 所示体元上各面上的力的平衡，参考法 线n和切线t方向可得：
(d)
e
txdA cosa
s adA tadA
f t
n
sxdA cosa
b ty dA sina
s y dA sBiblioteka nan 0⇒s a dA s x dA cosa cosa t x dA cosa sin a s y dA sin a sin a t y dA sin a cosa 0
t y 40MPa
所以：
s
A3
2a0 A1
Dx
Dx 100,40
Dy 30,40
按一定比例作出应力圆（图b）。
(b)
由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大 小关系可得：
s 1 110MPa
2a 0 3016'
由此可得：
s2 0
s 3 40MPa
a 0 15 8'
sx s1
tx tx tana 0 s x s min s max s y
例 求图a所示应力状态的主应力及方向。 y 解： 1 、应力圆图解法： 30MPa
t x =40MPa
100MPa
因为： s x 100MPa
x
t x 40MPa
t
D
y
(a)
s y 30MPa
微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端 微体平行对边, 对应应力圆同一点
由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量 值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子 量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量，此即称为 图解法。 例：用图解法求图示a =30°斜截面上的应力值。
y
tx=35.7MPa
解：按一定比例画出应力圆。 因为图示应力状态有：
建立复杂应力状态强度条件的研究思路：
材料物质点应力状况· 应力微体 材料失效机理 •应力状态 通过构件内一点，所作各微截面的应 力状况，称为该点处的应力状态。可 s 由围绕该点的一个单元体面上的应力 x 表示。 •应变状态 强度条件 y
s
ty y
dx
dy
x
tx
dz
s
x
z
s
y
构件内一点在各个不同方位的应变 状况，称为该点处的应变状态。
t
E
2a C
D2 s y ,t y
E
D1 s x ,t x
s
OC OB2 B2C
由于
O
s2
A2 B 2
D1
D2 B2C D1B1C
可得：
ty
a0
2a 0
C F
tx
s
B1 A 1
sy
D2
sx s1
B2C B1C
则：
OC OB2 B1 B2 / 2 s y
d
s C ,max
s1
t1
a
b
t max
s1
C
z
a
t max
s1
O
t max
t1
y
t
t1
c
d
s t ,max
s C ,max