北师大版八年级数学下册第6章 平行四边形的动点及存在性问题讲义(无答案)

平行四边形动点及存在性问题综合复习

【学习要点】

一、非坐标系下的平行四边形的动点及存在性

二、坐标系下的平行四边形的动点及存在性

三、一次函数中的平行四边形的动点及存在性

①、单动点型②、双动点型

【知识概括】

一、平行四边形ABCD，这样的命名说明平行四边形的四个顶点A、B、C、D是按顺时针或逆时针的顺序排列的；而A、B、C、D形成平行四边形，可能是平行四边形ABCD，可能是平行四边形ABDC，也可能是平行四边形ADBC等，这时，A、B、C、D四个字母的顺序是不确定的。

二、确定平行四边形：对于A、B、C三点固定，若存在动点D使得四边形ABCD 是平行四边形，则点D只有一种情况，如图①、若存在动点D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D有三种情况，如图②。

图①图②

三、压轴问题或存在性问题中常用的平行四边形的性质：①、对边平行且相等；②、对角线相互平分。

【方法思路分析】

非坐标系下，确定或证明平行四边形的存在性

一、必须明确以下情况：①、四边形ABCD是平行四边形，AC、BD一定是对角线，即明确字母顺序，那么对角线就确定了；②、以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，对角线不确定，则需要分类讨论。

二、动点问题，无论是单动点还是双动点，解决的策略是根据运动的速度大小及时间，算出运动走过的线段长度，并使用含时间t的代数式，再根据平行四边形的对边相等，对角线相互平分，建立相应的等量关系式，转化成含时间t的方程，解方程，就能确定相应的时间t的值。顺便指出，由于动点移动的过程，一般不会涉及角度，即使有角度，也是特殊角度问题。

在坐标系下，平行四边形的存在性。

一、平移法确定平行四边形

先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设第三个点为动点），再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标，最后根据题目的要求（动点在什么直线或函数解析式上），判定平行四边形的存在性。

二、关于中点坐标、直线解析式、两点之间的坐标表达等解析法的知识：

①、两点之间的距离公式：

若A ) ,(11y x ，B ) ,(22y x ，则2

12212)()(|AB |y y x x −+−=

特别地，若AB ∥x 轴，则||||12x x AB −=，若AB ∥y 轴，则||||12y y AB −= ②、一次函数中直线方程（解析式）求k 的方法：

若A ) ,(11y x ，B ) ,(22y x ，A 、B 不重合，并且在直线b kx y +=上， 则)(tan 212

212x x x x y y k ≠−−==θ（其中θ为直线的倾斜角，tan θ为正切值） ③、中点坐标公式：若A ) ,(11y x ，B ) ,(22y x ，则A 、B 的中点M )22(

2121y y x x ++， ④、设1l ：111b x k y +=，2l ：222b x k y +=

若两直线平行，则21k k =且21b b ≠，两直线重合：21k k =且21b b =

若两直线垂直，则121−=k k

三、代数法（解析法）确定平行四边形的存在性（主要确定四个顶点的坐标） 在ABCD 中，线段AC 、BD 为对角线，设四个顶点坐标分别是) (A A y x A ，，) (B B y x B ，，) (C C y x C ，，) (D D y x D ，，则D B C A x x x x +=+，D B C A y y y y +=+，简写：D B C A +=+（各点的横纵坐标之和）

变形：

⎩⎨⎧−=−−=−→⎩⎨⎧+=++=+C

D B A C D B A D B C A D B C A y y y y x x x x y y y y x x x x

A 、三定一动：

【示例】已知)3 ,1(A ，)4 ,6(B ，)6 ,4(C ，在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形。

【解析过程】按对角线相互平分，进行分类讨论：

设点D 的坐标为) ,(n m ，又)3 ,1(A ，)4 ,6(B ，)6 ,4(C ，

①、当AB 、CD 为对角线时，则D C B A x x x x +=+，D C B A y y y y +=+，得到： ⎩⎨⎧+=++=+n m 643461，解得⎩

⎨⎧==13n m ，此时，点D 的坐标为)1 ,3( ②、当AC 、BD 为对角线时，⎩⎨⎧+=++=+n m 463641，解得⎩⎨⎧=−=5

1n m ，点D 的坐标为)5 ,1(−；

③、当BC 、AD 为对角线时，⎩⎨

⎧+=++=+n m 364146，解得⎩⎨⎧==79n m ，点D 的坐标为)7 ,9(；

综上所述，D 的坐标为)1 ,3(、)5 ,1(−、)7 ,9(

B 、两定两动：（设A 、B 为定点；

C 、

D 为动点）

分两种情况，①、两个定点形成的线段AB 为平行四边形的边；②、两个定点的线段AB 为平行四边形的对角线。

【示例】已知)1 ,1(A 、)2 ,3(B ，点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、

D 四个点为顶点的四边形是平行四边形，求D C 、的坐标。

【解析过程】依旧按对角线相互平分，进行分类讨论：

设C 点的坐标为)0 (，

a ，D 点坐标为) 0(

b ， ∵ )1 ,1(A 、)2 ,3(B ，

∴ ①、当AB 、CD 为对角线时，

⎩⎨⎧+=++=+b a 021031，解得⎩

⎨⎧==34b a ，点C 的坐标为)0 ,4(，点D 的坐标为)3 ,0(； ②、当AC 、BD 为对角线时，

⎩⎨⎧+=++=+b a 201031，解得⎩⎨⎧−==1

2b a ，点C 的坐标为)0 ,2(，点D 的坐标为)1 ,0(−； ③、当AD 、BC 为对角线时，

⎩⎨⎧+=++=+021301b a ，解得⎩⎨⎧=−=1

2b a ，点C 的坐标为)0 ,2(−，点D 的坐标为)1 ,0(； 综上所述，所求的D C 、的坐标为)0 ,4(、)3 ,0(或)0 ,2(、)1 ,0(−或)0 ,2(−，)1 ,0(。