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反例在数学教学中的应用

【摘要】本文就反例在数学教学中的应用及应用反例教学时应注意的问题提出了几点看法。

【关键词】反例；反例教学；应用

1引言

著名的数学家盖儿鲍姆（ Gel Baum）曾说数学由两大类───证明和反例组成。而数学的发展

也是朝着这两个主要目标—提出证明或构造反例。当某些问题经人们绞尽脑汁去推演却仍悬而未决

时（即使这种不彻底的推理并无差错）。则应允许人们对此命题的真伪产生怀疑，这就需要去寻找符

合题设条件而与命题相悖的反例。反例因其具有简明、直观、说服力强等特点, 决定了他在数学教学和数学的发展中起着不可替代的作用。在教学过程中适当运用反例对提高学生的创造能力有良好的

诱导作用，从而也会给数学教学带来美妙的感受和良好的效果。

教师在日常教学中，可经常选择一些发散性强的典型数学知识或问题，通过创设问题情景，引

导学生构建反例，引导学生敢于和善于发现问题或提出问题，从而提高学生思维的发散性. 那么在教学的过程中反例的运用、构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动，是培养学

生创新精神、诱发学生创造力的一种很好的载体。反例教学在数学教学中的重要性已越来越被人们重

视和认可 . 通过反例教学，加深了学生对数学中概念的理解，同时也解决了教学中的重点、难点问

题，使学生在认识上产生了质的飞跃，从而提高了教学的有效性。

2反例在数学教学中的作用

2.1 利用反例加深对数学概念的理解

数学概念本身是抽象的，引入概念之后，还必须有一个去粗取精、去伪存真的过程，必须在感

性认识的基础上对概念作辨证的分析，用不同的方式进一步揭示概念的本质属性。通过构造反例，

往往能够从反面消除一些容易出现的模糊认识，把握概念的要素和本质，从而达到学好的效果。

例 2.1 人教版必修1《函数的基本性质》一节中，对函数的奇偶性这样定义：一般地，如果

对于函数f ( x)

的定义域内任意一个 x ，都有

f (

x) f (x) 那么函数

f ( x)

就叫做偶函数。一般地，

如果对于函数f ( x)

的定义域内任意一个 x ，都有

f ( x) f (x)

那么函数

f ( x)

就叫做奇函数。学

生利用定义判断函数的奇偶性时往往忽略“定义域内任意一个x

，”直接去利用

f (

x) 与 f ( x) 之间的

关系去判断，从而得出错误的结论。如果教师只是从正面去解释“定义域内任意一个x ”学生就会感觉很抽象。若教师利用反例会使学生感觉更直、更观容易理解。例如判断

f ( x) x2 2,2 的奇偶性。

若忽略“定义域内任意一个 x ”这个大前提就会得到 f ( x) ( x) 2 x2 f ( x)

从而得出此函数是

偶函数的结论，而实际2

是不在定义域内，所以此函数是非奇非偶函数。又例如：在等差数列的定

义中，举出例子：（ 1）2，4， 6， 7，8 （2 ） -6 ， -4， -3 ， -1 ，1让学生理解“第二项起”，“同一”常数的含义。

2.2 反例是理解定理、法则的有利工具

例 2.2 初中在教三角形全等的判定定理时，三角形三边和三个角六个元素中，一般需要三个

元素对应相等（但其中至少有一边）比如两角和夹边（ASA ），两边和夹角（ SAS ），三边对应相等（ SSS ）两角和一对边（AAS ）。特别强调“对应、”“夹边、”“夹角。”为了对定理的深刻理解可以采用反例教学，去掉“夹角”，如有两边及其其中一边所对的角对应相等(SSA) 的两个三角形是否全等。构造

反例可以先固定A

A/,AC A/C/ ,在此基础上引导学生进一步思考若BC B/C /

a

说明

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BC或B/C

/ 可以通过以下作图方法来画出：以C或者 C/ 为圆心，a

为半径画弧，

a

只要满足一定

的条件，此时所画的弧就很可能与AB或A/B/ ’所在的直线有两个交点，这是再构造出不全等的三角

形就减少了难度。

另外可以进一步讨论去掉“对应”，六个元素中已知三个元素相等能否判断两个三角形全等，六个元素中已知四个元素相等能否判断两个三角形全等，六个元素中已知五个元素相等能否判断两个三

角形全等。

六个元素中已知三个元素相等两个三角形全等三角的反例比较容易列举，例如边长不等的两个

等边三角形，三个角分别相等但两个三角形不全等。六个元素中已知四个元素相等两个三角形全等

三角的反例也比较容易列举，

例如边长为 1 和边长为 2 的两个等腰直角三角形，三个角分别相等，斜边与另一三角形的直角

边相等但两个三角形不全等。

判断五个元素对应相等的两三角形全等是否正确.对于这个问题，很多初中学生感到模棱两可. 反例也较难列举，比如三角形三边分别是a, b, c 和 b,c, d 的两个三角形，这里 a : b b : c c : d ,则他们相似，故有三个角相等，加之b, c 两边，该三角形共有五个元素分别相等，但是两个三角形却

不等 .如a8, b 12,c 18, d27 ．

反例的给出让学生对三角形的全等条件有了进一步的了解和掌握，使学生注意到两个全等三角形

中“边”相等不是任意给出的 . 那么在这道题中，反例的及时出现给学生眼前一亮的感觉。让学生体会

到反例在数学教学中的作用是不可忽视的，加深对三角形全等判定定理的理解。

2.3 利用反例可以激发学生学习的兴趣，提高教学效果

一个问题的解答，通常我们会用各种方式验证结果，反例将会引导我们追寻问题的所在，从反

例中修补相关知识，从而获得正确结论和解答 . 那么恰当的引导学生使用反例可以更好的提高学生学习

兴趣。

例 2.3 试问：在三角形中，边长越长，面积越大吗？

分析：在三角形中若知道其三边，便可以计算其面积，这个事实早在两千多年前已为古希腊学

者海伦所发现，他给出公式：S ABC p( p a)( p b)( p c) （海伦公式）其中a, b, c 为三角形

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