数学考研试题(江苏大学)

机密★启用前

江苏大学2004年硕士研究生入学考试试题

考试科目：数学分析

考生注意：答案必须写在答题纸上，写在试题及草稿纸上无效！

1． 设0,0>>σa ，???

??+=

a a a σ211，???

? ??+=+n n n a a a σ211， ,2,1=n ，证明：数列{}n a 收敛，并求其极限。（12分）

2． 设f 在[)+∞,0上连续，满足()x x f o ≤≤，[)+∞∈,0x ，设,01≥a ()n n a f a =+1，

,2,1=n ，证明：（1）{}n a 为收敛数列；（2）设t a n n =∞

→lim ，则有()t t f =；（3）若条

件改为()x x f <≤0，()+∞∈,0x ，则0=t 。（14分）

3． 设()00=f ，f '在原点的某邻域内连续，且()00≠'f 。证明()

1lim 0

=+

→x f x x

。（10分）

4． 证明：若f 在[]b a ,上连续增，()()(]()???

??=∈-=?a

x a f b a x dt

t f a

x x F x

a

,,,1，则()x F 为[]b a ,上

的单调增函数。（10分）

5． 设f 为???

???1,21

上连续函数，证明：（1）(){}x f x n 在??

?

???1,21

上收敛；（2）(){}x f x n

在

??

?

???1,21上一致收敛的充要条件是()01=f 。（12分） 6． 设()()

()00,00,,222

222

>??

???=+≠++=p y x y x y x xy y x f p

，试讨论函数在()0,0处的连续性。

（10分）

7． 计算曲线积分：()()?

-+-AB

x

x

dy mx y e dx my y e

cos sin ，其中m 为常数，AB 为由

()a ,0到()0,0经过圆ax y

x 22

2

=+上半部的路线。（14分）

8． 设()y x f ,在[][]ππ,0,0?上连续，且恒取正值，求：()()()

??≤≤≤≤∞

→π

πσy x n

n d y x f x 001,sin lim

。

（12分）

9． 设周期为π2的可积函数()x ?与()x φ满足关系式：()()x x φ?-=-，则给出函数()x ?的

Fourier 系数n n b a ,与函数()x φ的 Fourier 系数n n βα,之间的关系。（14分）

10．

设函数f 定义在()+∞,a 上，f 在每一个有限区间()b a ,内有界，并满足

()()()A x f x f x =

-++∞

→1lim

，证明：()A x

x f x =+∞

→lim

。（8分）

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