多元函数的基本概念ppt课件

边界上的点都是聚点也都属于集合．
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连通性：
设D是开集．如果对于D 内 任何两点，都可用属于D的折线 连结起来，则称开集D 是连通 的区．域：
连通的开集称为区域或开区 域． 闭区域：
开区域连同它的边界称为闭 区域．
E1 P1
P2
E2 P2
P1
E1和E2都是连通的． D = E1E2是不连通的． E1和E2都是区域． D = E1E2是不区域．
o
x
区域；否则，称为无界区域.
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有界点集和无界点集： 对于点集E如果存在正数K，使一切点PE与某一定点A间的
距离|AP|不超过K，即 |AP|K
对一切PE与成立，则称E为有界点集，否则称为无界点集． 例如 E={(x，y)|1≤x2y2≤4}是有界的， {(x，y)|x2y21}是
无界的． E
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例如， {x ( ,y)|1 x 2y2 4 }
记为 U ( P0 , )
P0
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2.区域
设E是平面上的一个点集，P是平面上的任 意一点. 如果存在点P的某一邻域U(P)，使
得 U(P) E, 则称P为E的内点。
如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有 不属于E的点，则称P点为E 的边界点
E的边界点的全体，称为E的边界，记作 E.
如果点 P 的任何一个邻域内总有无限多个 点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点.
y
有界闭区域；
o
x
{x ,(y )|x y 0 }为无界开区域．
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n维空间： 设n为取定的一个自然数，则称有序n元数组(x1，x2，···，xn)
的全体为n维空间，记为R n ．
n维空间中点： 每个有序n元数组(x1，x2，···，xn)称为n维空间中的一个点．
点的坐标： 数xi 称为点(x1，x2，···，xn)的第i 个坐标．
的二元函数.根据问题的实际意义,函数的定义域为
值域为
D r ,h r 0 ,h 0
Z V V r 2 h ,r ,h D
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例2
求二元函数
f (x, y) ln(x2 y2 1) 4x2 y2
的定义域.
解
由
x2 y2 1 0
4
x2
y2
0
可得定义域为
D{(x,y)1x2y24}
•P
E
•P
E
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说明： 内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；
例 {x ( ,y )|0 x 2 y 2 1 }
(0,0)既是边界点也是聚点． 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如, {x ( ,y )|0 x 2 y 2 1 }
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {x (,y)|x2y21 }
第九章
多元函数的基本概念
一、平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
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§ 9.1 多元函数的基本概念
一、平面区域
1．邻域
设 P0 (x0 , y0 )是 R 2 的一个点,δ是某一正数.与点 P 0
距离小于δ 的点
P ( x , y )的全体称为点
P
的δ邻域,简
0
称邻域,记为 U (P0 ,,)即
U (P 0 , ) { (x ,y ) (x x 0 )2 (y y 0 )2}
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U (P0 , ) 的几何意义为xOy平面上以点 P 0 为中心,
半径为δ 的圆的内部所有点 P ( x , y ) 的全体.
U (P0 , ) 中除去点 P 0 后剩余的
部分称为点 P 0 的去心δ 邻域.
o
高等数学
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• 第九章 多元函数微分学
▫ 9.1 多元函数的基本概念 ▫ 9.2 偏导数 ▫ 9.3 全微分 ▫ 9.4 多元复合函数的求导法则 ▫ 9.5 隐函数的求导公式 ▫ 9.6 多元函数微分学的几何应用 ▫ 9.7 方向导数与梯度 ▫ 9.8 多元函数的极值 ▫ 9.9 综合例题
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第一节
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例3
已知函数
f
(xy,
xy)
x2 x2
y2 y2
,求
f
(x,
y).
解
f(xy,xy)x x2 2 y y2 2(x2 (xy )2y )((x x y y))2
所以
f
(x,
y)
2xy x2 y2
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注:该方法主要是把右边的式子都凑成 f 里面的
两个量.
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sin( xy )
（2）找两种不同趋近方式，使limfLeabharlann Baidux,y)存在， xx0 yy0 但两者不相等，此时也可断言f(x,y)在点 P0(x0,y0)处极限不存在．
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四. 二元函数的连续性
定义3 设二元函数 z f (x, y) 在点 x0 , y0 的某
一邻域内有定义，如果
(x,y)l im (x0,y0)f(x,y)f(x0,y0)
E3
E3是闭区域．
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如果点集E中的每一点都是内点，且E中任何两点
可用全在E内的折线连结起来，则称E为开区域(简
称区域).
y
例如，{x (,y)|1x 2y24 }.
o
x
开 区 域 连 同 它 的 边 界 一 起 称 为 闭 区 域 .
例如，{x (,y)|1x 2y24 }.
y
若区域E包含在某个圆内，则称E为有界
例3. 求 lim (x, y)(3,0)
y
.
解 limsin(xy) limsin(xy)gx3
y (x,y) (3,0)
xy (x,y) (3,0)
根据二重极限的定义，需要特别注意以下两点：
(1) 二重极限存在，是指 P 以任何方式趋于P 0 时， 函数都无限接近于A.
(2) 如果当 P 以两种不同方式趋于 P 0 时，函数趋于 不同的值，则函数的极限不存在.
两点间的距离： n维空间中两点P(x1，x2，···，xn)及Q(y1，y2，···，yn)间的
距 离规定为 P ( Q y 1 x 1 ) 2 ( y 2 x 2 ) 2 ( y n x n ) 2
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例 1 设圆柱体的底面半径为 r, 高为 h ,则圆柱体体
积 V r2 h .这是一个以 r , h 为自变量, V为因变量
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例4
证明
x3 y
lim
x0
x6
y2
不存在．
y0
证 取 y kx3,
lim
x 0
x3 y x6 y2
y 0
lim
x0
x3 x6
kx3 k2x6
ykx3
1
k k
2
,
其值随k的不同而变化， 故极限不存在．
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确定极限不存在的方法：
（ 1 ） 令 P (x ,y ) 沿 y k 趋 向 x 于 P 0 (x 0 ,y 0 )， 若 极 限 值 与 k 有 关 ， 则 可 断 言 极 限 不 存 在 ；