两角和与差正弦公式与余弦公式

都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广sin( - α) = cos α 时，

先反向应用例 3 中的结论 cos( - α ) = sin α ，然后再利用公式 cos(α - β ) ，最后整理得到公

式．教学关键是引导学生将 (α + β ) 看做整体，这样才能应用公式 cos( - α ) ．逆向使用公式，

【课题】 1．1 两角和与差的正弦公式与余弦公式（一）

【教学目标】

知识目标：

理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的

计算和化简．

能力目标：

学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高．

【教学重点】

本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式．

【教学难点】

难点是公式的推导和运用．

【教学设计】

在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到

cos(60︒ - 30︒) ≠ cos60 ︒ - cos30 ︒ ，

然后提出如何计算 cos(α - β ) 的问题．利用矢量论证 cos(α - β ) 的公式，使得公式推导过

程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例 1 和例 2

π

2

用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin(α + β ) 的推导过程是，首

π

2

π

2

培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学

上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos(α - β ) 是最基本的公式，要求学生理 解其他公式的推导过程，同时将公式 sin(α ± β ) 和公式 cos(α ± β ) 相对比进行记忆．要帮助 学生总结公式中角 α 和角 β 以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特

点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．例 4 利用

15︒ = 60︒ - 45︒ 求解，还可以利用15︒ = 45︒ - 30︒ 求解．例 5 通过逆向使用公式来巩固知识，

这种方法在三角式的变形中经常使用．例 6 是三角证明题．教材给出了两种证明方法，体现

了正向与逆向使用公式的思路．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得

学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力．

【教学备品】

教学课件．两课时

【课时安排】

问题 我们知道， cos 60︒ = ，cos30 ︒ = ，

2 课时．(90 分钟)

【教学过程】

教

学 过

程

*揭示课题

教师 学生 教学 时

行为 行为 意图 间

1．1 两角和与差的正弦公式与余弦公式． 介绍

了解

*创设情境 兴趣导入

1 3

2 2

显然

播放

课件 观看

课件 引导

启发

cos (60︒ - 30︒) ≠ cos60 ︒- cos30 ︒．

由此可知 cos (α - β ) ≠ cos α - cos β．

质疑

思考

学生

得出

结果

5

*动脑思考 探索新知

思考

在单位圆（如图1 - 1）中，设向量 OA 、 OB 与 x 轴正半

轴 的 夹 角 分 别 为 α 和 β ， 则 点 A （ cos α ,sin α ）， 点 B

（ cos β ,sin β ）．

因 此 向 量 OA = (cos α,sin α ) ， 向 量 OB = (cos β ,sin β ) ， 且

总结 归纳

OA = 1 , OB = 1．

于是

OA ⋅ OB = OA ⋅ OB ⋅ cos(α - β ) = cos(α - β ) ，

又 OA ⋅ OB = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β ，

所以 cos(α - β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β ．

（1）

又

cos(α + β ) = cos [α - (-β )]

启发

引导 学生 发现 解决 问题

的方

法

= cos α ⋅ cos(-β ) + sin α ⋅ sin(-β )

仔细

分析

理解

6 - 2

例 2 设 cos α = ，cos β = ，并且 α 和 β 都是锐角，求 解 因为 cos α = ， cos β = ，并且 α 和 β 都是锐角，

所以 sin α = 1 - cos 2 α = ， sin β = 1 - cos 2 β = ，

= ⨯ - ⨯ = 0 .

= cos α ⋅ cos β - sin α ⋅ sin β．

（2）

利用诱导公式可以证明，(1)、(2)两式对任意角都成立（证

明略）．由此得到两角和与差的余弦公式

cos(α + β ) = cos α ⋅ cos β - sin α ⋅ s in β （1.1）

cos(α - β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ s in β ,

（1.2）

公式（１.１）反映了 α + β 的余弦函数与 α ， β 的三角

函数值之间的关系；公式（１.2）反映了α - β 的余弦函数与

α ， β 的三角函数值之间的关系．

*巩固知识 典型例题

讲解 关键 词语

记忆

15

例 1 求 cos 75︒ 的值．

分析 可利用公式（1.1），将 75°角看作 45°角与 30°

角之和．

解

cos75 ︒ = cos(45 ︒ + 30︒)

= cos 45︒ cos30 ︒ - sin 45︒ s in 30︒

引领

讲解

观察

思考

= 2 3 2 1 ⨯ - ⨯

2 2 2 2 说明

主动

注意

=

．

4

3 4 5 5

cos(α + β ) 的值．

分析 可以利用公式（1.1），但是需要首先求出 s in α 与

sin β 的值．

3 4

5 5

4 3

5 5

因此 cos(α + β ) = cos α cos β - sin α sin β ，

3 4 4 3

5 5 5 5

引领

分析

说明

求解

观察

思考

观察

学生 是否 理解 知识

点