人教版高中数学必修4章末检测 第二章 平面向量

第二章章末检测

班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．

一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．下列各式叙述不正确的是( ) A ．若a ＝λ b ，则a 、b 共线

B ．若b ＝3a (a 为非零向量)，则a 、b 共线

C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝3

2

a －2

b ，则m ∥n

D ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c 答案：C

解析：根据共线向量定理及向量的线性运算易解． 2．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝a ·a B ．|a ·b |＝|a |·|b | C ．λ(a ·b )＝λa ·b D ．|a ·b |≤|a |·|b | 答案：B

解析：|a ·b |＝|a |·|b ||cos θ|，只有a 与b 共线时，才有|a ·b |＝|a ||b |，可知B 是错误的．

3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →

同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案：A

解析：AB →

＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →

|AB →|

＝15

(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →

＝0，那么( )

A.AO →＝OD →

B.AO →＝2OD →

C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 答案：A

解析：由于2OA →＋OB →＋OC →＝0，则OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →

.

所以12

(OB →＋OC →)＝AO →

，又D 为BC 边中点，

所以OD →＝12

(OB →＋OC →)．所以AO →＝OD →.

5．若|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案：C

解析：a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝1×6×cos θ－1＝2，cos θ＝12，θ∈[0，π]，故θ＝π

3

.

6．若四边形ABCD 满足：AB →＋CD →＝0，(AB →＋DA →)⊥AC →

，则该四边形一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．直角梯形 答案：B

解析：由AB →＋CD →＝0⇒AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，即四边形ABCD 是平行四边形，又(AB →＋DA →

)⊥AC →⇒AC →⊥DB →

，所以四边形ABCD 是菱形．

7．给定两个向量a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，若(a ＋x b )⊥(a －b )，则x 等于( ) A.1327 B.132 C.133 D.727 答案：D

解析：a ＋x b ＝(2,1)＋(－3x,4x )＝(2－3x,1＋4x )，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a

＋x b )⊥(a －b )，∴(2－3x )·5＋(1＋4x )·(－3)＝0，∴x ＝7

27

.

8．如图所示，在重600N 的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )

A ．300 3N,300 3N

B ．150N,150N

C ．300 3N,300N

D ．300N,300N 答案：C

解析：如图：作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，|OA →|＝|OC →

|cos30°＝300 3N.

|OB |→＝|OC →

|sin30°＝300N.

9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52

，则a 与c 的夹角为( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150° 答案：C

解析：由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝5

2

，

∴5×5·cos θ＝5

2，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°，∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相

反，∴a 与c 的夹角为120°.

10．若向量AB →＝(1，－2)，n ＝(1,3)，且n ·AC →＝6，则n ·BC →

等于( ) A ．－8 B ．9

C ．－10

D ．11 答案：D

解析：n ·AB →＝1－6＝－5，n ·AC →＝n ·(AB →＋BC →)＝n ·AB →＋n ·BC →＝6，∴n ·BC →

＝11.

11．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝13

BA →，E 是CA 的中点，则CD →·BE →

等于( )

A ．－12

B ．－23

C ．－13

D ．－16

答案：A

解析：建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，C ⎝⎛⎭

⎫0，32，依题意设D (x 1,0)，E (x 2，y 2)，∵BD →＝13BA →

，∴⎝⎛⎭⎫x 1－12，0＝13(－1,0)，∴x 1＝16

. ∵E 是CA 的中点，∴CE →＝12CA →，又CA →

＝⎝⎛⎭⎫－12

，－32，∴x 2＝－14，y 2＝34.

∴CD →·BE →＝⎝⎛⎭⎫1

6，－32·⎝⎛⎭⎫－34，34＝16×⎝⎛⎭⎫－34＋⎝⎛⎭⎫－32×34

＝－12.故选A. 12．已知|a |＝2 2，|b |＝3，a ，b 的夹角为π4

，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →

＝a －3b ，

且D 为BC 中点，则AD →

的长度为( )

A.152

B.152 C ．7 D ．8 答案：A

解析：AD →＝12(AB →＋AC →)＝1

2(5a ＋2b ＋a －3b )＝12(6a －b )

∴|AD →

|2＝14(36a 2－12ab ＋b 2)＝2254.

∴|AD →|＝152

.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则a ·b ＝________. 答案：3

解析：a ·b ＝2×3×3

2

＝3.

14．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________． 答案：[0,1]