离散数学-第五章 函数-内容提要

(2)若 Vj∈ ranr都 存在唯一的J∈ A使 得r(r)=y,则 称 r:A_B是 单射的。 (3)若 /:4亠 B既 是满射又是单射的,则 ∷ 称 r:A△ 刀是双射的。
6.函 数合成与反函数 定理 s。
I 设 r、 g是 函数 ,则 /og也 是函数 ,且 满足
:
(1)do” (r?g)丁 (J|J∈ do血 r∧ r(1)∈ domg⒈ (2)VJ∈ dom(rog)有 r° g(J)=g(r(J))。
r(J)∈
注意函数的值与函数的像之间的区别 ,函 数值 /(J)∈ B,而 像 /(Al)匚 B。 一般说来 ,函 数的像和完全原像满足 Al∈ rl(r(Al))和 r(卢 l(Bl))∈ Bl。
⒌ 函数的性质 设 r:A亠>B,则 ′ (l)若 rany、 =B,则 称 r:A→ B是 满射的。 ∫ ∷
(2)V△ ∈domr=domg都 有 r(i)=g(J)。
∷
∷
3.特 殊的函数
B的 函数 F:A→ B,其 中 A、 B为 集合 ,r为 函数 ,domr=A,ranr∈ 所有从 A到 B的 函数的集合 ,记 作 BA,符 号化表示为 B4≡ (爿 r:A→ B)。
从 A到
B.
特殊函数 F:A→ B。 (1)如 果存在 c∈ B使 得对所有的J∈ A都 有 r(J)=c,则 称 r|A→ B是 常函数。
了 解 解 可
(2)A上 的恒等函数 rA,对 所有的 J∈ A都 有 FA(J)=J。
(3)设 〈 A,《 〉 刀 〉 ,〈 ,《 为偏序集 ,r:A→ △ 如果对任意的 Jl,奶 ∈ A,Jl<J2,就 有r【 J1)≤ 只奶),则 称 r为 单调递增的 ;如 果对任意的 Jl,疵 ∈A,J!《 奶 ,就 有 r(Jl) 《rcJz),则 称 r为 严格单调递增的。 类似地也可以定义单调递减和严格单调递减的 函数。 (4)设 A为 集合 ,对 于任意的 A′ ∈A,
g)。 和 为 推论 I 设 /、 g、 凡 函数 ,则 (y、 。 九 r° (g° 九 是函数 ,且 )都
(r° g)o九
=r° (go九
)
推论 2 设 r:A亠 B,g:B→ C,则
r。
g:A→ c,且 VJ∈ A都 有 rog(J)=宫 (F(J))。 g:A→ c也 是满射的。 g:A→ c也 是单射的。
定理 5.2 设
r。 r° r。
o置
9
∵
r:A→
A,则
r=r°
FA=FAor。
A也 是双射的。 牢理 5.4 设 r:A→ B是 双射的 ,则 对于双射函数 r:A→ B,称 r_l:B→ A是 它的反函数。 '^l:B→
定理 5.5 设 r:A艹 B是 双射的,则
rT1。
r=r:, r° r-l=rA
:A亠 c也 是双射的。 毖
B,g:B→ C。 (1)如 果 r:A亠 B,g:B亠 C都 是满射的,则 ':A→ (2)如 果 r:A→ B,g:B→ C都 是单射的,则 (3)如 果 r:A亠 B,查 :B→ C都 是双射的,则
定理 5?3,设 r:A→ B,则 r=r° r:亠 FA
推 诊 设
艹 弗
土 早
5。
Baidu Nhomakorabea1内
・
容提要
,
I。
函数
设 r是 二元关系 ,如 果对于任意 J∈ domr,都 存在唯一的 y∈ ranF,使 得 ・ ry成 立 则称 r为 函数(或 者映射 这时也称 y为 r在 J的 值 ,记 作 y=/(J), 冫 2.函 数相等
)。
设 r,g为 函数 ,则 r≡ g⑶ r匚 g∧ g∈ 正 两个函数 r和 g相 等 ,一 定满足下面两个条件 : (1)domr=dOmg・
xA`(况
x〃
(Ω
A′
的特征函 x':4亠 (0,1}定 义为 数
Ω A′ ∈ Ω A— A′ ∈ ∷
)=1
)=0
(5)设 R是 A上 的等价关系 ,令
离 散 奴
丁 刁 咫 扦 合 刁 卞 勹 九
v`刁 ˇ ∴
,~
⒏A→ A/R
g(α )=[ε ],
A Vε ∈
称 g是 从 A到 商集 A/R的 自然映射。 4.函 数的像与完全原像 设函数 r:A→ B,Al∈ A,Bl匚 B。 (1)Al在 /下 的像r(Al)=(r(J)|J∈ Al),当 Al=A时 ,F【 A)称 为函数的像。 (2)Bl在 F下 的完全原像 rl(Bl)={J|J∈ A∧ Bl}。