FFT实验讲义Rel

实验 计算机辅助光学傅立叶变换

周期的或非周期的信号分析在科学研究和工程技术中一直是最重要的和最基本的。对非电信号，也经常将其转变为电信号进行测量和分析。傅里叶分析是一种最常用的分析方法。 近三十年来，波动光学的一个重要发展，就是逐步形成了一个新的光学分支——傅里叶光学。把傅里叶变换引入光学，在形式和内容上都已成为现代光学发展的新起点，全息术和光学信息处理作为傅里叶光学的实际应用发展极为迅速。空间频谱与空间滤波是信息光学中最典型的基础实验。通过实验有助于加深对傅里叶光学中的一些基本概念和基本理论的理解，如空间频率、空间频谱、空间滤波和卷积等。通过实验还可验证阿贝成像理论，理解透镜成像的物理过程，进而掌握光学信息处理的实质。在CT 和磁共振成像等图象处理过程中，傅立叶变换起着关键作用。傅里叶变换具有许多重要性质，因而成为图象处理中最常用的变换。

对于大型的图像的处理,计算数据量巨大，计算时间仍然是一个主要问题。因此我们使用优化的快速傅里叶变换（FFT ）算法，从而大大减少图象处理时间。微型机算机的发展，为数字化分析开辟了广阔的前景，快速傅里叶变换(FFT)已经成为数字信号处理和线性系统分析的有力工具。

实验目的

了解傅里叶变换的数学原理和实验方法；了解快速傅里叶变换的应用方法；学会用傅立叶变换处理图像；学会用计算机快速傅立叶变换方法生成图像。

实验原理

任何波形的周期信号均可用傅里叶级数来表示。傅里叶级数的各项代表了不同频率的正弦或余弦信号，即任何波形的周期信号都可以看作是这些信号(谐波)的叠加。利用不同的方法，可以从信号中分解出它的各次谐波的幅值和相位。也可依据信号的傅里叶级数表达式，将各次谐波按表达式的要求叠加得到所期望的信号。用这种方法对信号进行分析，称为傅立叶分析。

1、傅里叶变换的数学基础

简单说来，一个波形的傅立叶变换就是把这个波形分解为许多不同频率的正弦波之和。一个给定波形f (t)的傅立叶变换FT 为：

⎰

∞∞--=dt e t f F t i πνν2)()( （1） 傅立叶逆变换IFT 为： ⎰∞∞-=ννπνd e F t f t i 2)()( （2）

任意一个函数都可以表示为傅里叶级数。离散傅立叶逆变换DFT 为：

∑-=-=10/2)(1

)(N n N nk i e n x N k X π （3）

x(n)称为时间序列，X(k)称为离散谱序列。K=0, 1, 2, …, N-1。离散傅立叶逆变换IDFT 为: 其中 K=0, 1, 2, …, N-1。

∑

-==1

0/2)()(N k N nk i e k X n x π （4）

快速傅立叶变换(简称FFT)是DFT 的一种快速算法。它是将整个时间序列分割成若干较短时间序列的变换，代替原始序列的DFT 。先算出较短序列的DFT ，然后把它们合并在一起，得出整个序列的DFT 。1965年, Cooley-Tukey 提出计算离散傅立叶变换的快速傅立叶变换FFT 方法，将计算量从O(n 2)下降到O(nlogn)。从而使FFT 在数字图象处理、气象报告、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中得到了广泛的应用。

图1 方波波形示意图

图1所示的方波，函数表达式为：

⎪⎩⎪⎨

⎧

<≤-<≤=02

20)(t T H T t H

t f （5） 其傅里叶级数展开为：

∑∞

=--=10)12sin()121(4)(n t n n h t f ωπ

)5sin 513sin 3

1(sin 4000 +++=t t t h ωωωπ （6）

其他形状函数的傅里叶级数，也可通过傅里叶展开得到。

2、二维傅里叶变换的数学基础

设有一个空间二维函数g (x ，y )，其二维傅里叶变换为：

⎰⎰

∞∞-+-=dxdy e y x g f f G y x yf xf i y x )(2),(),(π （7） 式中f x ，f y 分别为x 、y 方向的空间频率。g(x ，y)是G(f x ，f y )的逆傅里叶变换，即： ⎰⎰∞∞-+=y x yf xf i y x df df e f f G y x g y x )(2),(),(π （8）

上式表示：任意一个空间函数g(x ，y )可表示为无穷多个基元函数exp[i2π(xf x +yf y )]的线性叠加。G(f x ，f y )d f x d f y 是相应于空间频率为f x 、f y 的基元函数的权重，G(f x ，f y )称为g(x ，y )的空间频谱。

3、傅里叶光学变换

理论上可以证明，如果在焦距为f 的会聚透镜的前焦面上放一振幅透过率为g(x ，y )的图像作为物，并用波长为λ的单色平面波垂直照明图像，则在透镜后焦面(x ΄，y ΄)上的复振幅分布就是g(x ，y )的傅里叶变换G(f x ，f y )，其中空间频率f x 、f y 与坐标x ΄，y ΄的关系为：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧'='=f y f f x f y x λλ (9) 故(x ΄，y ΄)面称为频谱面(或傅氏面)。由此可见，复杂的二维傅里叶变换可以用一透镜来实现，称为光学傅里叶变换，频谱面上的光强分布，也就是物的夫琅禾费衍射图。

4、阿贝成像原理

阿贝(E.Abbe)在1873年提出了相干光照明下显微镜的成像原理。他认为，在相干光照明下，显微镜的成像可分为两个步骤：第一步是通过物的衍射光在物镜的后焦面上形成一个衍射图；第二步是物镜后焦面上的衍射图复合为(中间)像，这个像可以通过目镜观察到。

成像的这两个步骤本质上就是两次傅里叶变换。第一步把物面光场的空间分布g (x ，y )变为频谱面上空间频率分布G(f x ，f y )。第二步则是再作一次变换，又将G(f x ，f y )还原到空间分布g (x ，y )。

图2阿贝成像原理示意图

图2显示了成像步骤。我们假设物是一个一维光栅，单色平行光照在光栅上，经衍射分解成为不同方向的很多束平行光(每一束平行光相应于一定的空间频率)，经过物镜分别聚焦在后焦面上形成点阵．然后代表不同空间频率的光束又重新在像面上复合而成像．

如果这两次变换完全是理想的，即信息没有任何损失，则像和物应完全相似(可能有放大或缩小)。但一般说来像和物不可能完全相似，这是由于透镜的孔径是有限的，总有一部分衍射角度较大的高次成分(高频信息)，不能进入到物镜而被丢弃了。所以像的信息总是比物的信息要少一些。高频信息主要反映了物的细节，如果高频信息受到了孔径的限制而不能达到像平面，则无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像平面上显示出这些高频信息所反映的细节，这是显微镜分辨率受到限制的根本原因。特别当物的结构非常精细(如很密的光栅)或物镜孔径非常小时，有可能只有0级衍射(空间频率为0)能通过，则在像平面上完全不能形成像。

5、空间滤波

根据上面讨论，透镜成像过程可看作是两次傅里叶变换，即从空间函数g (x ，y )变为频谱函数G(f x ，f y )，再变回到空间函数g (x ，y ) (忽略放大率)。显然如果我们在频谱面(即透镜的后焦面)上放一些不同结构的光阑，以提取(或摒弃)某些频段的物信息，则必然使像面上的图像发生相应的变化，这样的图像处理称为空间滤波。频谱面上这种光阑称为滤波器。滤波器使频谱面上一个或一部分频率分量通过，而挡住其他频率分量，从而改变了像面上图像的