第五章 图与网络分析-最大流

t
( 3 1 , 19 )
,9)
3
(2,3)
(4,4)
4
8
SEU
多收发点的网络最大流
• 网络中存在多个发点和收点时：虚拟发点和收
点，虚拟发点和收点到各发点的弧的容量、各
收点的弧的容量为无穷大（不破坏发点、收点 产生、吸引流量能力无限的条件）
9
Vs1
Vt1 V2 13 6 4 9 V3 5 5 4 V4
弧旁注释（a,b）对应（弧容量，弧流量）
SEU
6.4.5 最小费用最大流
• 双权网路：每条弧不但有容量，还有单位流量的通过费用 • 两种解法：一种基于最小费用路径算法；一种基于可行弧集 的最大流算法 • 基于最小费用路径算法：总是在当前找到的最小费用的路径 上增广流；缺点是每次增广后要改变弧的费用，且出现负权 值费用的弧 • 基于可行弧集的最大流算法：从 0 费用弧集开始应用最大流 算法，然后根据计算信息提高费用的限界 P，使可行弧集增 大，再应用最大流算法，直至所有弧都进入可行弧集。这种 算法是一种主-对偶规划的解法。使用这种方法的还有运输 问题、匹配问题
(2)节点 t 获得标号，找到一条增广链，由节点 t 标号回溯可找出该增 广链；到第二步
5
SEU
最大流最小截的标号法步骤
第二步：增广过程
1、对增广链中的前向弧，令 f=f+q(t)，q(t) 为节点 t 的标记值 2、对增广链中的后向弧，令 f=fq(t) 3、非增广链上的所有支路流量保持不变
iV jV
(3,0) s (5,0)
2
(4,0) (1,0) (2,0)
4
(5,0) t
(1,0) 3
(3,0) 5 (2,0)
• 福特-富克森定理：网路的最大流等于最小截集容量
3
SEU
3 确定网路最大流的标号法
• 从任一个初始可行流出发，如 0 流 • 基本算法：找一条从 s 到 t 点的增广链(augmenting path)
第三步：抹除图上所有标号，回到第一步 • 以上算法是按广探法描述的，但在实际图上作业时，按深 探法进行更快捷 • 一次只找一条增广链，增广一次换一张图 • 最后一次用广探法，以便找出最小截集
6
SEU
最大流最小截集的标号法举例
(1 4) 1 , 4
1
(16,15)
(6,
(5,
5)
6)
(7,5)
(s+,)
B(vi)
vi
A(vi)
• 定义网路上支路的容量为其最大通过能力，记为 cij ， 支路上的实际流量记为 fij • 图中规定一个发点s，一个收点t • 节点没有容量限制，流在节点不会存储 • 容量限制条件：0 fij cij • 平衡条件：
v j A ( vi )

fij
v j B ( v i )
前向弧非饱和弧； 后向弧非零流弧。
• 最大流充要条件： 当且仅当不存在增广链时，可行流为最大流。
• 增广链中与 s 到 t 方向一致的弧称为前向弧，反之后向弧
s (5,1) (1,1) (1,1) (3,0) (5,3)
c ij f ij 前向弧 增广量 q = min qij q ij f ij 后向弧 = min (4,1,1,3,2)= 1 (5,2) (1,0) (1,0) (3,1) (5,4) s 2 3 4 5 t
qs2=4
2
q32=1
3
q43=1
4
q45=3
5
q5t=2
t
• 增广过程：前向弧 fij=fij +q , 后向弧 fij=fij q
• 增广后仍是可行流
4
SEU
最大流最小截的标号法步骤 第一步：标号过程，找一条增广链 1、给源点 s 标号[s+,q(s)=]，表示从 s 点有无限流出潜力
SEU
下图为某一城市道路网络，路段均为双向，图中 数据（a ）为道路通行能力（容量）。
求：从A、C两点到B点的最大网络运输能力（最大流量）。
(40) (10) (30)
A
(20) (10) (30) (20) (10)
B
(60)
1
(30)
(20)
C
(40)
(20)
SEU
1 网络与流
• 网路流一般在有向图上讨论
)
2 (12,10)
)
(1
3,1
(22
,2 2
)
+,2) (2 (5, 5
5
3) (6,
t (4+,2)
( 1 1 , 19 )
3
5)
,9)
(4,4)
4
(5,2)
7
SEU
最大流最小截集的标号法举例
) 4 1 4,
1
(16,15)
(3,1 )
(1 3,1
(1
6 ) 2
(7,5)
(22
,22
)
s
(15,10)
(4) (j, i)是后向弧，若 fji>0，则节点 j 标号为[i,q(j)]，表示从节点 j 流 向 i，可增广 q(j)=min[q(i), fji] ；
3、重复步骤 2，可能出现两种情况：
(1) 节点 t 尚未标号，但无法继续标记，说明网路中已不存在增广链， 当前流 v(f) 就是最大流；所有获标号的节点在 V 中，未获标号节 点在 V 中，V 与 V 间的弧即为最小截集；算法结束
2、找出与已标号节点 i 相的连所有未标号节点 j，若
(1) (i, j)是前向弧且饱和，则节点 j 不标号； (2) (i, j)是前向弧且未饱和，则节点 j 标号为[i+,q(j)]，表示从节点 i 正 向流出，可增广 q(j)=min[q(i), cijfij] ；
(3) (j, i)是后向弧，若 fji=0，则节点 j 不标号；
s
,9) (9
(15,9)
(s+,6)
(3,1
)
2 (12,10)
(1
3,1
6 2)
(22
,2 2
)
5
(6, 3)
t (4+,1)
( 0 1 , 19 )
3
(2,6)
4) 1 , 4
(4,3)
4
(3+,1)
6 2)
(7,5)
1
(16,15)
(1
(s+,)
s
(9
(15,10)
(6,
(s+,5)
(3,1
4
V5 5 Vt3 10 V6 Vt2
Vs3
5
5wk.baidu.com
Vs2
Vs
∞ ∞ Vs ∞
1
V2 Vs3 V3 Vs2 V4
V5
Vt1
∞ ∞
Vt3
Vt ∞
V6
Vt2
多收发点的最大流问题转化为单收发点的最大流问题
最大流问题作业
V2 (3,2) Vs (5,1) V3 (2,2) V6 (1,1) (1,1) (3,0) (2,1) (4,2) V5 (5,2) Vt
is v( f ) f ji 0 i s, t v( f ) i t
• 满足上述条件的网路流称为可行流，总存在最大可行流
• 当支路上 fij = cij ，称为饱和弧
• 最大流问题也是一个线性规划问题
2
SEU
2 截集与截集容量
定义：把网路分割为两个成分的弧的最小集合，其中一 个成分包含 s 点，另一个包含 t 点 。 • 一般包含 s 点的成分中的节点集合用V表示，包含 t 点 的成分中的节点集合用V表示 • 截集容量是指截集中正向弧的容量之和 C (V ,V ) cij
13
5)
2 (12,10)
(5, 5)
5
(6, 3)
t
( 1 1 , 19 )
最小截集
(1
,9) (9
3 1
(6,
(4,4) (16,15)
4
4) 1 , 4
(6,
(5,
5)
5)
(7,5)
(s+,)
s
(9
(15,12)
(s+,3)
(3,1
)
2 (12,12)
(1
3,1
6 2)
(22
,22
)
5
1) (6,