多目标规划应用实例

13 200x11 11 400x12 10 800x13 12 000x21 10 200x22 9 000x23
11
200x31
9
600x32
8
000x33
d
2
d2
6
600
000
除了目标约束以外，该模型的约束条件， 还包括硬约束和非负约束的限制。其中，硬 约束包括耕地面积约束（6.4.3）式和最低收 获量约束（6.4.4）式；非负约束，不但包括 决策变量的非负约束（6.4.5）式，还包括正、 负偏差变量的非负约束
取 xij为决策变量，它表示在第 j 等 级的耕地上种植第i种作物的面积。如果 追求总产量最大和总产值最大双重目标 ，那么就有两个目标函数，它们是：
①追求总产量最大
ma xf1( X ) = 11 000x11 9 500x12 9 000x13 + 8 000x21 6 800x22 6 000x23 +14 000x31 12 000x32 10 000x33
f1* 6 100 000（kg）
f
* 2
6
600
000（元）
并将两个目标视为相同的优先级。
如果
d
1
、d1
分别表示对应第1个目标期
望值的正、负偏差变量，d
2
、d
2
分别表示对
应于第2个目标期望值的正、负偏差变量，而
且将每一个目标的正、负偏差变量同等看待
（即可将它们的权系数都赋为1），那么，该
第4节 多目标规划应用实例
➢土地利用问题 ➢生产计划问题 ➢投资问题
一、土地利用问题
在本章第1节中，我们运用线性规划方 法讨论了表6.1.4所描述的农场作物种植计 划的问题。但是，由于线性规划只有单一 的目标函数，所以当时我们建立的作物种 植计划模型属于单目标规划模型，给出的 种植计划方案，要么使总产量最大，要么 使总产值最大；两个目标无法兼得。那么， 究竟怎样制定作物种植计划，才能兼顾总 产量和总产值双重目标呢？下面我们用多 目标规划的思想方法解决这个问题。
非负约束
xij 0 (i 1,2,3; j 1,2,3) （6.4.5）
对上述多目标规划问题，我们可以采
用如下方法，求其非劣解。
用线性加权方法
取 1 2 0.5 ，重新构造目标函数
max Z 0.5 f1( X ) 0.5 f2(X ) 12 100x11 10 450x12 9 900x13 10 000x21 9 000x22 7 500x23 12 600x31 10 800x32 9 000x33
该问题是一个线性多目标规划问题。如 果计划决策变量用 x1和 x2 表示，它们分别代 表A、B产品每月的生产量（单位：t）； f1(x1, x2 ) 表示生产A、B两种产品的总投资费 用（单位：元）；f2 (x1, x2 ) 表示生产A、B两种 产品获得的总利润（单位：元）。那么，该
目标规划问题的目标函数为
min
Z
d1
d1
d
2
d
2
对应的两个目标约束为
f1(X) d1- d1 6 100 000
（6.4.8）
f2 (X)
d
2
d
2
6
600
000
（6.4.9）
即
11 000x11 9 500x12 9 000x13 + 8 000x21 6 800x22 6 000x23 +14 000x31 12 000x32 10 000x33 d1 d1 6 100 000
（6.4.2）
根据题意，约束方程包括：
耕地面积约束
x11 x21 x31 100
x12 x22 x32 300 （6.4.3）
x13 x23 x33 200
最低收获量约束
11 000x11 9 500x12 9 000x13 190 000 8 000x21 6 800x22 6 000x23 130 000 （6.4.4） 14 000x31 12 000x32 10 000x33 350 000
这样，就将多目标规划转化为单目标 线性规划。
用单纯形方法对该问题求解，可以得到 一个满意解（非劣解）方案，结果见表 6.4.1。
此方案是：III等耕地全部种植水稻，I 等耕地全部种植玉米，II等耕地种植大豆 19.117 6 hm2、种植玉米280.882 4 hm2。在 此方案下，线性加权目标函数的最大取值 为6 445 600。
d1
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0, d1
0,
d
2
0,
d
2
0
解上述目标规划问题，可以得到一个非劣 解方案，详见表6.4.2。
表6.4.2 目标规划的非劣解方案（单位:hm2）
水稻 大豆 玉米
I等耕地 24.338 2
0 75.661 8
II等耕地 III等耕地
211.029 4 200
19.117 6
0
69.852 9
0
表6.4.1 线性加权目标下的非劣解方案（单位：hm2）
I等耕地 II等耕地 III等耕地
水稻
0
0
200
大豆
0
19.117 6
0
玉米
100 280.882 4
0
目标规划方法
实际上，除了线性加权求和法以外，我们
还可以用目标规划方法求解上述多目标规划问
题。
如果我们对总产量 f1(X ) 和总产值 f2 (X ) ， 分别提出一个期望目标值
（6.4.1）
②追求总产值最大
maxf2 (X) = 1.20×(11 000x11 9 500x12 9 000x13 ) +1.50×(8 000x21 6 800x22 6 000x23 ) + 0.80×(14 000x31 12 000x32 10 000x33) 13 200x11 11 400x12 10 800x13 12 000x21 10 200x22 9 000x23 11 200x31 9 600x32 8 000x33
在此非劣解方案下，两个目标的正、负
差变量分为
d1
0，d1
0，d
2
0
，d
2
0
。
二、生产计划问题
某企业拟生产A和B两种产品，其生 产投资费用分别为2 100元/t和4 800元/t。 A、B两种产品的利润分别为3 600元/t和 6 500元/t。A、B产品每月的最大生产能力 分别为5 t和8 t；市场对这两种产品总量的 需求每月不少于9 t。试问该企业应该如何 安排生产计划，才能既能满足市场需求， 又节约投资，而且使生产利润达到最大?