辅助角公式应用

辅助角公式应用

在三角函数的学习过程中，有一个和差角公式的变形式：辅助角公式要引起重视。. 为便于研究，下文中辅助角公式一律化为正弦和角公式：()sin cos f x a x b x =+

sin cos x x ⎫=+

()x ϕ=+，[,)ϕππ∈-

其中cos ϕϕ=

=

（ϕ几何意义：(),p a b 所在终边对应的中心角）

当定义域为R 时，(

)f x ⎡∈⎣.

当定义域有限定时，要根据辅助角公式ϕ的几何意义得到ϕ的估计范围，再根据x ϕ+的区间范围及三角函数的单调性（或三角函数线）来作出判断，求出函数的最值或值域. 1.求函数()sin 2cos ,0,

2f x x x x π⎡⎤

=+∈⎢⎥⎣⎦

的值域. 【解析】由辅助角公式可得：(

)()f x x x x ϕ⎫

=+=+⎪⎭

，

（其中sin ϕϕ=

=. sin 0,cos 00,2πϕϕϕϕ⎛⎫

>>∴∈ ⎪⎝⎭

为第一象限角，可令

0,,22x x ππϕϕϕ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，又

+22ππϕπ<<,

[],0,2π

ϕϕπ⎡⎤

∴+⊆⎢⎥⎣⎦

， 而

sin cos 2πϕϕϕ⎛⎫

=

+==

⎪⎝⎭，()f x ⎤∴∈⎥⎦

. 2.求函数()22sin 3cos ,,63f x x x x ππ⎡⎤

=-∈⎢

⎥⎣⎦

的值域.

【解析】解法一：辅助角公式:(

)() sin cos13sin

1313

f

x x x xϕ

=+=+

⎪

⎭

.

其中sinϕϕ

==，ϕ为第四象限角.

又

1

sin sin

62

π

ϕ⎛⎫

<-=-

⎪

⎝⎭

，可令,

26

ππ

ϕ⎛⎫

∈--

⎪

⎝⎭

，

22

,,

6363

x x

ππππ

ϕϕϕ

⎡⎤⎡⎤

∈∴+∈++

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

，而

2

0,

632

πππ

ϕϕ

+<+

<.

函数sin,,

22

y x x

ππ

⎛⎫

=∈- ⎪

⎝⎭

单调递增，

2sin3cos1

6662

f

πππ

⎛⎫

=-=-

⎪

⎝⎭

，22

23

2sin3cos

33

32

f

πππ

⎛⎫

=-=+

⎪

⎝⎭

()3

1,

22

f x

⎡

∴∈-+

⎢

⎣

解法二：数形结合法:令()23

f

x t v u

==-

，如右

图圆弧与直线

31

22

v u t

=-有交点，则直线如右图

12

,l l位置过圆弧左右端点时是直线平移的界限.

圆弧两个端点坐标为

1

1

,,,

22

22

⎛⎫⎛⎫

-

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，

代入直线方程的

3

1,

22

t

⎡

∈-+

⎢

⎣

(

)3

1,

22

f x

⎡

∴∈-+

⎢

⎣

3.函数3cos 4sin ,[

,]63

y x x x ππ

=+∈的值域__________.

4[

,5]2+【解析】4sin 3cos 5sin()y x x x ϕ=+=+,其中34sin ,cos 55

ϕϕ== 且估算(

,)64ππ

ϕ∈,而[,]63x ππ∈,估算7()(,)312

x ππ

ϕ+∈

所以,当6

x π

=

时,函数有最小值min 43cos

4sin

6

6

2

y π

π

+=+=

当2

x π

ϕ+=

时,函数有最大值max 5y =,即函数值域4[

,5]2

y +∈ 4.设x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =+ 取得最大值，则cos θ=__________.

【解析】解法一：辅助角公式:由辅助角公式可得：()()sin 2cos f x x x x ϕ=+=+， 其中sin

ϕϕ=

=，当x θ=时，()f x 取得最大值. 则2,2

k k Z π

θϕπ+=+

∈，即2,2

k k Z π

θπϕ=+

-∈ .

cos cos sin

2πθϕϕ⎛⎫

=-== ⎪⎝⎭

.

解法二：导数法:()cos 2sin 0,f θθθ'=-= sin 2cos θθ+= ，得cos

θ=

解法三：解方程组:由条件可得()max f x =，即22

sin 2cos sin cos 1

θθθθ⎧+=⎪⎨

+=⎪⎩，消去sin θ

得

)

2

22cos cos 1θ

θ-+=，解得cos

θ=

.