高等数学第八章数列与无穷级数8-9级数综合题PPT课件

n0
x12 4处收敛, 矛盾,
n0
故
an
x
2n1的收敛域为
2,2.
n0
例17
设幂级数
an
x
1n
在
x1
3
处发散 ,
n0
在 x2 1 处收敛, 指出其收敛半径,并证明之.
解
因 x1 3 处
a
n
3
1n
an
2n
发散,
n0
n0
故当 x 1 2 时,
anx
1n
发散.
n0
又当
x2
1 时，
an
1
1n
故原级数条件收敛 .
例11
判别
n1
1n1
2n
1
n
3
是否收敛
?
若收敛, 是绝对收敛 , 还是条件收敛 ?
解
设
un
1n1 n3
2n 1
,则
lim un1 n un
lim
n
n 13
2n1 1
2n n3
1
lim
n
1 2
1 2n
1 2n
1
1 n
3
1 2
1,
故 un 收敛, 原级数绝对收敛 .
5n
的敛散性.
解
(方法1) 记 un
6n 7n 5n
,
vn
6 7
n
,则
lim un
n vn
lim
n
6n 7n 5n
7n 6n
lim 1
n 1
5 7
n
1
又级数 vn
n1
n1
6 7
n
收敛, 故原级数收敛 .
(方法2)
因为 lim un1 n un
lim 6
n
7n 7n1
5n 5n1
lim
n
6
1 75
5 7
n
5 7
n
6 7
1.
由比值判别法知,原级数收敛 .
nn1
例7
n1
1
a0
a2 1 a1 1 a 2 1 a n1
(a 0) ,判断级数的敛散性.
n1n 2
解
l
lim un1 n un
lim
n
1
a0
a2 1 a1 1 an
1 a0
n
1 2n
,而
n1
1 2n
收敛,
故由比较法知
n1
2n
1 ln
n
收敛,
原级数为绝对收敛 .
例10
判别
n1
1n1
n2k 1
是否收敛
k
: 正实数 ?
若收敛, 是绝对收敛还是条件收 敛 ?
解
记 un 1n1
1, n 2k 1
当 k 1 时，un
1 n 2k 1
1 nk
,
而
n1
1 nk
收敛，由比较判别法知
un
n1
n1
1 收敛, 故原级数绝对收敛 . n2k 1
当0 k 1 时,
lim
n
un 1
lim
n
nk 1, n2k 1
nk
故 un 发散，但
n1
1 n2k 1
1
,
n 12k 1
且 lim 1 0, n n2k 1
由莱布尼茨判别法知 : 原级数收敛 ,
a
n
2n收敛，
故
x 1
2
n0
2 时,
an
x
n0
1n 收敛
.
n0
收敛半径为 R 2.
例18
设
an
x
1n
在 x 3 处条件收敛 ,
lim
n
2n 2n
1
1
例2
设 un
n1
un
0 的部分和为sn ,
vn
1 sn
,
且 vn收敛,试讨论 un的敛散性.
n1
n1
解
因为 vn收敛
n1
,
故
lim
n
vn
0.
于是
lim sn
n
lim 1 n vn
故级数 un 发散.
n1
例3 设 un n 12 1 n2 1,
判别 un的敛散性.
当 a 1 时, R 0,级数仅在 x 0 处收敛.
例16
若
an
x
n
的收敛域为
4,4, 试写出
an
x
n0
2n1 的收敛域
,
并说明理由.
n0
解
已知
an
4n
收敛.
当
x
2
时，
n0
an
x2n1
2
an
4 n收敛 ,
n0
n0
若
x1
2时
an
x 2n1收敛, 则
an
x 2n也收敛,
推得
an
n0
xn 在x
1 a1 1 a n1
nn1
a2
an1
lim n 1
an
0 a 1时，l 0, 原级数收敛 .
a 1时, l a 1, 原级数发散 .
a
1时,
l
1 2
, 级数收敛 .
例9
判别
n1
1n1
2n
1 ln
是否收敛 , n
如果收敛, 是绝对收敛还是条件收 敛 ?
解
因 un
2n
1 ln
故级数 un a 发散.
n1
例5 研究级数 3lnn a a 0的敛散性.
n1
解
因
3 lnn
a
是等比级数 (公比r
ln
a), 故
n1
当 1 a e 时，ln a 1,级数收敛。 e
当0 a e 或 a e 时, ln a 1 ,
此时, 级数发散 .
例6
判别级数
6n
n1
7
n
2
时，原级数为
1,
发散，
2
n1
故所求收敛域为 a 2 ,a 2
2
2
例15
求级数
n!
n1
a
n2
xn
a 0 的收敛域.
解
ρ lim an1 lim
n an
n
n 1 !
a n12
a n2 n!
lim
n
n1 a 2n1
0, ,
a 1; a 1,
故当 a 1时, R ,收敛域为 ,;
第九节 级数综合题
一、数项级数 二、幂级数 三、傅里叶级数
第十一章
一、数项级数
例1
设 un的部分和为
n1
sn
2n 1 2n
,
试写出该级数，并求和 .
解 un
u1
s1
1 2
sn sn1
2n 2n
1
2n1 2n1
1
1 2n
n 2
所求级数为
un
n1
1
n1
2n
所求级数的和为
s
lim
n
sn
故
an
bn
2
收敛.
n1
二、幂级数
例13
设幂级数
an
xn
的收敛半径 r
2,
试指出点
n0
2,1,0,1,2,3,4,5,
e,
1中,
哪些点
为幂级数
anx
3n
e 收敛点(发散点).
解
知
n0
an x n当
x
2时收敛，x
2时发散 .
n1
故
an
x
3n
当x
3
2时收敛 ,
x3
2时发散,
n0
于是2,e,3,4 (1,5)为收敛点,
2,1,0,
1 e
(,1)
(5,
)为发散点.
例14
求级数
2n
x
a
2n
的收敛域
.
n1
解 缺项级数,用比值法判 un ( x) .
n1
lim
n
un1
un
x x
lim
n
2n1 x 2n x
a 2n 2 a 2n
2 x a2 1
时,即 x (a
2 2
,a
2 2
)
时，级数收敛；
当 x a
n1
例12
若
an2
及
bn2
收敛,则
n1
n1
anbn
,
an
bn 2
也收敛 .
n1
n1
证
因 anbn
1 2
(an2
bn2 ) ,
而
an2
,
bn2
收敛,
n1 n1
故 anbn 收敛.又因
n1
an bn 2
an
bn
2
an2
2 anbn
bn2 ,
而
an2
,
bn2
,
anbn
都收敛 ,
n1 n1 n1
n1
解
因 lim
n
un
lim
n
1 n2 1
n2 1
lim
n
2n 1
n 12 1
n2 1 1
故级数 un发散.
n1
例4 设 un 收敛, a为非零常数 ,
n1
试判断 un a 的敛散性.
n1
解
因为 un
n1
收敛，故
Байду номын сангаас
lim
n
un
0.
从而nl imun a a 0,