廿一世纪的数学展望_PPT课件
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14
二十世纪的数论学家透过代数几何的方法已 经将整数方程与几何结合，群表示理论则提 供数论和几何学结合最重要的工具。在数论 里的Galois群和在几何学里的规范群，都与 群表示有关。五十年来，我们看到数论和几 何的研究从可交换群发展到非交换群的表示 理论。产生了Langlands理论和Yang－Mills理 论。他们都在现代数学上占有重要地位置。
15
在Langlands理论的想法中，一般算 术流形上的L函数可由所谓Shimura 流形的L函数生成。在椭圆曲线的特 殊情形下推出所谓Shimura－ Tanniyama－Weil猜测。而这个猜 测由Andrew Wiles十年前证明，他 透过Frey，Serre和Ribet的贡献将困扰了数学界近三 百多年的Fermat猜测完全解决。就是说以下方程:
8
数学的发展
数学的发展由一个变量到多个变量，由一维 到高维空间，由可换群到非交换群，由低次 方程到高次方程，由线性方程到非线性方程， 都是不可逆转的趋势。凡此种种，都随自然 而生，始得华茂。有些数学家逆时发展一些 数学结构，难以得到丰盛的果实。
9ห้องสมุดไป่ตู้
中国古代哲学家就主张一切事物的发展都须顺应自 然。
13
Swinnerton － Dyer － Birch 猜 想 可 以 用 来 解 决 一些难题。一个数学上最古老的问题就可由 它来解决:
找出所有正整数n，使得它是一个有理直角 三角形（三个边的长度都是有理数）的面积。 例如6=4×3/2，而{3, 4, 5}是直角三角形的边 的长度。
这个问题由Tunnel在八十年代解决，但他需 要假定Swinnerton-Dyer-Birch猜想的真实性。
xnyn zn
在n≧3时的整数解必定在{0,-1,1}的集合中。
16
Taylor是Wiles的学生，除了对上述Shimura－ Tanniyama－Weil猜测工作有重要的贡献外， 他 最 近 还 解 决了一 簇椭圆 曲线上 的 Sato － Tate猜测。这是关于椭圆曲线对素数同余解 的 数 目 分 布 问 题 ， 它 的 分 怖 与 物 理 学 家 E. Wigner在量子力学所用到的分怖极为相似， Tayler的理论将数论带进一个新的方向。
3
数学的大统一将会比物理的大统一来得基 本，也将由统一场论孕育而出。 弦论的发展已经成功地将 微分几何 代数几何 群表示理论 数论 拓扑学 相当重要的部分统一起来。数学已经由此得 到丰富的果实。
6
大自然提供了极为重要的数学模型，物理学和工程 学上很多模型都是从物理直觉或从试验观察出来的。 但是数学家却可以从自己的想象，在观察的基础上 创造新的架构。
成功的数学架构往往是几代数学家共 同努力得出的成果，也往往是数学中 几个不同分支合并出来的火花。例如， Andrew Wiles的工作就是由椭圆曲线 理论和Automorphic form理论，表示论 和交换代数理论的合并得出来的结果。
7
数学的对象和工具
几何、数字（尤其是整数）和函数的架构可 以说是数学里最直观的对象，因此在数学的 大统一过程中会起着最要紧的作用。数学分 析和代数则是研究这几门学问的主要工具， 也是基本数学和应用数学的主要桥梁。
17
在二十一世纪我们可以预见 数论函数的理论会有长足的发 展，也希望他们的理论会跟几 何、物理学逐渐凝结在一起。 弦理论上的一个重要的代数流 形叫做Calabi－Yau空间，它可 以说是椭圆曲线的自然推展。我们已经逐渐见 到弦学上的对偶理论在深刻地影响着CalabiYau空间的了解，所以也可以想象他们会在算 术上有特殊的贡献。
19
几何和拓朴
在十九世纪中叶，复变函数开始奠基。因此 刺激了各门数学学科的发展︰ 数论函数（如黎曼zeta函数）得到严格的处 理，解析数论这门学科因此而生。
多叶函数的出现则引起了黎曼曲面的定义。
20
到了二十世纪，Poincare证明了黎曼曲 面上存在唯一的曲率等于-1的黎曼度 量。率先引入几何和群论的方法来研究 曲面，并得出自守形函数和双曲几何的 密切关系。 由于对多体力学问题相空间的构造问题， Poincare 对 高维空间产生浓厚的兴趣
12
L函数是个复函数。它有很多重要的解析性 质。从Artin，Weil，一直到Langlands都想了 解 它 。 在 六 十 年 代 时 ， Swinnerton － Dyer － Birch对L函数在零点的消减次数和椭圆曲线 的整数解做出一个极为深刻的猜想，影响了 五十年来的算术理论。这个猜想在多复变方 程组时还没有很好的推展。（Beilinson的猜 想就是其中一种尝试。）
老子︰“人法地，地 法天，天法道，道法 自然”
孙子兵法︰“故兵无常势，水无常形。能因敌变 化而取胜者，谓之神。”“激水之疾，至于漂石 者，势也。”
10
数论
找寻数学方程的整数解是算术中一个重要的 问题。对一次方程组，中国数学家对同余的 方法有很重要的贡献，因此数学史上有着名 的中国余数定理。
在现代计算机和密码理论亦用到这个同余的 方法。
社会现象
数学 工程现象
物理现象
1
数学和工程科学是社会科学的基础 理论物理是工程科学的基础 数学是理论物理的基础
2
物理学上的统一场论
人类科技愈进步愈能发现新现象 种种繁复现象使人极度迷惘 (例如︰湍流问题、黑洞问题) 但是主宰所有现象变化的只是几个少数的基 本定律。 Standard model (标准模型) 统一了三个基本场︰电磁场、弱力、强力 但是重力场和这三个场还未统一
11
对任何一个素数p，我们可以找寻方程在p同余 的意义下的整数解（同时也考虑pn的同余 解）。这种解的个数可以由计算机算出。假 如我们将这些数据全部放在一起，就可以构 成所谓L函数，这是数论中最重要的函数。
它是一个很美妙的函数，既有乘积又有无穷级 数的的表示，它的数论意义极为重要， 因此它 有很多特殊的性质。
18
这二十年来数论学家发现很多算术函数的分 布状况与大型矩阵领域上的谱积分有相似的 地方。而后者在统计物理中却经常出现。四 年前Vafa和他的合作者们从弦学的理念中将 这些古典的矩阵积分推展到更一般的情形， 并发现这些积分与Calabi－Yau流形里的全纯 形式积分有关。我们有理由相信弦理论会提 供数论和几何结合的桥梁。
二十世纪的数论学家透过代数几何的方法已 经将整数方程与几何结合，群表示理论则提 供数论和几何学结合最重要的工具。在数论 里的Galois群和在几何学里的规范群，都与 群表示有关。五十年来，我们看到数论和几 何的研究从可交换群发展到非交换群的表示 理论。产生了Langlands理论和Yang－Mills理 论。他们都在现代数学上占有重要地位置。
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在Langlands理论的想法中，一般算 术流形上的L函数可由所谓Shimura 流形的L函数生成。在椭圆曲线的特 殊情形下推出所谓Shimura－ Tanniyama－Weil猜测。而这个猜 测由Andrew Wiles十年前证明，他 透过Frey，Serre和Ribet的贡献将困扰了数学界近三 百多年的Fermat猜测完全解决。就是说以下方程:
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数学的发展
数学的发展由一个变量到多个变量，由一维 到高维空间，由可换群到非交换群，由低次 方程到高次方程，由线性方程到非线性方程， 都是不可逆转的趋势。凡此种种，都随自然 而生，始得华茂。有些数学家逆时发展一些 数学结构，难以得到丰盛的果实。
9ห้องสมุดไป่ตู้
中国古代哲学家就主张一切事物的发展都须顺应自 然。
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Swinnerton － Dyer － Birch 猜 想 可 以 用 来 解 决 一些难题。一个数学上最古老的问题就可由 它来解决:
找出所有正整数n，使得它是一个有理直角 三角形（三个边的长度都是有理数）的面积。 例如6=4×3/2，而{3, 4, 5}是直角三角形的边 的长度。
这个问题由Tunnel在八十年代解决，但他需 要假定Swinnerton-Dyer-Birch猜想的真实性。
xnyn zn
在n≧3时的整数解必定在{0,-1,1}的集合中。
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Taylor是Wiles的学生，除了对上述Shimura－ Tanniyama－Weil猜测工作有重要的贡献外， 他 最 近 还 解 决了一 簇椭圆 曲线上 的 Sato － Tate猜测。这是关于椭圆曲线对素数同余解 的 数 目 分 布 问 题 ， 它 的 分 怖 与 物 理 学 家 E. Wigner在量子力学所用到的分怖极为相似， Tayler的理论将数论带进一个新的方向。
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数学的大统一将会比物理的大统一来得基 本，也将由统一场论孕育而出。 弦论的发展已经成功地将 微分几何 代数几何 群表示理论 数论 拓扑学 相当重要的部分统一起来。数学已经由此得 到丰富的果实。
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大自然提供了极为重要的数学模型，物理学和工程 学上很多模型都是从物理直觉或从试验观察出来的。 但是数学家却可以从自己的想象，在观察的基础上 创造新的架构。
成功的数学架构往往是几代数学家共 同努力得出的成果，也往往是数学中 几个不同分支合并出来的火花。例如， Andrew Wiles的工作就是由椭圆曲线 理论和Automorphic form理论，表示论 和交换代数理论的合并得出来的结果。
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数学的对象和工具
几何、数字（尤其是整数）和函数的架构可 以说是数学里最直观的对象，因此在数学的 大统一过程中会起着最要紧的作用。数学分 析和代数则是研究这几门学问的主要工具， 也是基本数学和应用数学的主要桥梁。
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在二十一世纪我们可以预见 数论函数的理论会有长足的发 展，也希望他们的理论会跟几 何、物理学逐渐凝结在一起。 弦理论上的一个重要的代数流 形叫做Calabi－Yau空间，它可 以说是椭圆曲线的自然推展。我们已经逐渐见 到弦学上的对偶理论在深刻地影响着CalabiYau空间的了解，所以也可以想象他们会在算 术上有特殊的贡献。
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几何和拓朴
在十九世纪中叶，复变函数开始奠基。因此 刺激了各门数学学科的发展︰ 数论函数（如黎曼zeta函数）得到严格的处 理，解析数论这门学科因此而生。
多叶函数的出现则引起了黎曼曲面的定义。
20
到了二十世纪，Poincare证明了黎曼曲 面上存在唯一的曲率等于-1的黎曼度 量。率先引入几何和群论的方法来研究 曲面，并得出自守形函数和双曲几何的 密切关系。 由于对多体力学问题相空间的构造问题， Poincare 对 高维空间产生浓厚的兴趣
12
L函数是个复函数。它有很多重要的解析性 质。从Artin，Weil，一直到Langlands都想了 解 它 。 在 六 十 年 代 时 ， Swinnerton － Dyer － Birch对L函数在零点的消减次数和椭圆曲线 的整数解做出一个极为深刻的猜想，影响了 五十年来的算术理论。这个猜想在多复变方 程组时还没有很好的推展。（Beilinson的猜 想就是其中一种尝试。）
老子︰“人法地，地 法天，天法道，道法 自然”
孙子兵法︰“故兵无常势，水无常形。能因敌变 化而取胜者，谓之神。”“激水之疾，至于漂石 者，势也。”
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数论
找寻数学方程的整数解是算术中一个重要的 问题。对一次方程组，中国数学家对同余的 方法有很重要的贡献，因此数学史上有着名 的中国余数定理。
在现代计算机和密码理论亦用到这个同余的 方法。
社会现象
数学 工程现象
物理现象
1
数学和工程科学是社会科学的基础 理论物理是工程科学的基础 数学是理论物理的基础
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物理学上的统一场论
人类科技愈进步愈能发现新现象 种种繁复现象使人极度迷惘 (例如︰湍流问题、黑洞问题) 但是主宰所有现象变化的只是几个少数的基 本定律。 Standard model (标准模型) 统一了三个基本场︰电磁场、弱力、强力 但是重力场和这三个场还未统一
11
对任何一个素数p，我们可以找寻方程在p同余 的意义下的整数解（同时也考虑pn的同余 解）。这种解的个数可以由计算机算出。假 如我们将这些数据全部放在一起，就可以构 成所谓L函数，这是数论中最重要的函数。
它是一个很美妙的函数，既有乘积又有无穷级 数的的表示，它的数论意义极为重要， 因此它 有很多特殊的性质。
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这二十年来数论学家发现很多算术函数的分 布状况与大型矩阵领域上的谱积分有相似的 地方。而后者在统计物理中却经常出现。四 年前Vafa和他的合作者们从弦学的理念中将 这些古典的矩阵积分推展到更一般的情形， 并发现这些积分与Calabi－Yau流形里的全纯 形式积分有关。我们有理由相信弦理论会提 供数论和几何结合的桥梁。