凸轮廓线设计MATLAB程序

凸轮轮廓及其综合

1. 凸轮机构从动件的位移

凸轮是把一种运动转化为另一种运动的装置。凸轮的廓线和从动件一起实现运动形式的转换。凸轮通常是为定轴转动，凸轮旋转运动可被转化成摆动、直线运动或是两者的结合。凸轮机构设计的内容之一是凸轮廓线的设计。

定义一个凸轮基圆r b 作为最小的圆周半径。从动件的运动方程如下：

L(?)=r b +s(?)

设凸轮的推程运动角和回程运动角均为β，从动件的运动规律均为正弦加速度运动规律，则有：

s(?)＝h(

β

?-

π

21sin(2π?/β)) ０≤?≤β

s(?)＝h －h(

β

β?--

π

21sin(2π(?-β/β)) β≤?≤2β

s(?)＝0 2β≤?≤2π

上式是从动件的位移，h 是从动件的最大位移，并且0≤β≤π。

如果假设凸轮的旋转速度ω＝d ?／dt 是个常量，则速度υ、加速度a 和瞬时加速度j （加速度对时间求异）分别如下：

速度：

υ(?)＝

β

ωh （1-cos(2π?/β)） 0≤?≤β

υ(?)＝－

β

ωh （1-cos(2π(?-β)/β) β≤?≤2β

υ(?)＝0 2β≤?≤2π

加速度：

a(?)＝

2

22β

πωh

sin(2π?/β)） 0≤?≤β

a(?)＝-

2

22β

πωh

sin(2π(?-β)/β) β≤?≤2β

a(?)＝0 2β≤?≤2π

瞬时加速度：

j(?)＝

3

3

2

4β

ωπh

cos(2π?/β)） 0≤?≤β

j(?)＝-

3

3

24β

ωπh

cos(2π(?-β)/β) β≤?≤2β

j(?)＝0 2β≤?≤2π

定义无量纲位移S=s/h 、无量纲速度V=υ/ωh 、无量纲加速度A=a/h ω3

和无量纲瞬时加速度J=j/h ω3

。若β＝60°，则如下程序可以对以上各个量进行计算。

beta=60*pi/180;

phi=linspace(0,beta,40); phi2=[beta+phi]; ph=[phi phi2]*180/pi; arg=2*pi*phi/beta;

arg2=2*pi*(phi2-beta)/beta;

s=[phi/beta-sin(arg)/2/pi 1-(arg2-sin(arg2))/2/pi]; v=[(1-cos(arg))/beta-(1-cos(arg2))/beta]; a=[2*pi/beta^2*sin(arg)2*pi/beta^2*sin(arg2)];

j=[4*pi^2/beta^3*cos(arg)4*pi^2/beta^3*cos(arg2)]:subplot(2,2,1) plot(ph,s,ˊK ˊ)

xlabel(ˊCam angle(degrees)ˊ) ylabel(ˊDisplacement(S)ˊ) g=axis; g(2)=120; axis(g) subplot(2,2,2)

plot(ph,v,ˊk ˊ,[0 120],[0 0],ˊk--ˊ) xlabel(ˊCam angle(degrees)ˊ) ylabel(ˊVelocity(V)ˊ) g=axis; g(2)=120; axis(g) subplot(2,2,3)

plot(ph,a,ˊk ˊ,[0 120],[0 0],ˊk--ˊ) xlabel(ˊCam angle(degrees)ˊ)

ylabel(ˊAcceleration(A)ˊ)

g=axis;

g(2)=120;

axis(g)

subplot(2,2,4)

plot(ph,j,ˊkˊ,[0 120],[0 0],ˊk--ˊ)

xlabel(ˊCam angle(degrees)ˊ)

ylabel(ˊJerk(J)ˊ)

g=axis;

g(2)=120;

axis(g)

2 平底盘形从动作

参考下图得到如下关系：在（x,y）坐标系中，凸轮轮廓的坐标为Ｒx和Ｒy,刀具的坐标

为Ｃx和Ｃy：

Ｒx＝Ｒcos( θ+?) Ｒy＝Ｒsin( θ+?)

C x＝Ccos( γ+?) C y＝Ccos( γ+?)

其中，

R=

θcos L θ=arctan ???

?

???d dL L 1

c=

γγcos c

L + γ=arctan ???

?

?

?+c L d dL γ?/

r c 是刀具的半径，且dL/d ?＝Ｖ（?）/ω。

为了画出凸轮的轮廓曲线，创建函数CarmProfile ，用来计算Ｌ（?）和dL/d ?，创建函数ContourFlat,用来计算R x ,R y ,C x ,C y 。

function[L,dLdphi]= CarmProfile(phi,rb,h,beta) arg=2*pi*phi/beta ；

L=rb+h*(phi/beta-sin(arg)/2/pi)； dLdphi=(h/beta)*(1-cos(arg))； L=[L fliplr(L)]；

dLdphi= [dLdphi- dLdphi]；

函数ContourFlat 是

function[Rx,Ry,Cx,Cy]=ContourFlat(phi,rb,h,beta,rc) [L,dLdphi]=Camprofile(phi,rb,h,beta)； theta=atan2(dLdphi,L)； R=L./cos(theta)； ph=[phi beta+phi]； Ry=R.*sin(theta+ph)； Rx=R.*cos(theta+ph)； gama=atan(dLdphi./(L+rc))； C=(L+rc)/cos(gama)； Cy=C.*sin(gama+ph)； Cx=C.*cos(gama+ph)；

若令β＝60°，r b =3.0和h=0.5，则程序清单是：

beta=60*pi/180；rb=3；h=0.5；rc=0.5；n=23； phi=linspace(0,beta,n)；

ph=[phi beta+phi]；

[Rx,Ry,Cx,Cy]=ContourFlat(phi,rb,h,beta,rc)；

ang=linspace(2*beta,2*pi,40)；

plot(Rx,Ry,ˊkˊ,rb*cos(ang),rb*sin(ang),ˊkˊ,0,0,

ˊk+ˊ,Cx(1:5:2*n),Cy(1:5:2*n),ˊk+ˊ)

axis equal

phd=linspace(0,2*pi,50)；

[x,phx]=meshgrid(Cx(1:5:2*n),phd)；

y=meshgrid(Cy(1:5:2*n),phd)；

hold on

plot(x+rc.*cos(phx),y+rc.*sin(phx),ˊk--ˊ)

title(ˊCam contour for cycloidal motion of flat-face followerˊ)

3.偏置滚子从动件

由图可得到如下关系。凸轮轮廓在（x,y）的坐标是R x和R y，刀具的坐标是Ｃx和C y；

Ｒx=Rcos( ψ+?+γ) Ｒy=Rcos( ψ+?+γ)

C x=Ccos( ψ+?+δ) C y=Ccos( ψ+?+δ )

其中，

R 2=(F-r f cos α)2+r f 2cos 2

α ψ=arctan(m/L)

C 2=c x 2+c y 2

α=arctan ???

? ??-?

?d mdL F d LdL //2

c x =F+(r c -r f )cos α γ= arctan ?

??

?

??-ααsin cos f f r r F c y =(r c -r f )sin α δ=arctan(c y /c x ) F 2

=m 2

+L

2

凸轮的基圆半径是：

L(0)=r b =)0()0(2

2=+=??y x R R

从?=2β+Δ开始，其中，

Δ=arctan ???

?

??==)0()0(??x y R R

为了显示这些结果，首先创建函数ContourRoller 来计算Ｒx ,Ｒy ,C x ,C y ： function[Rx,Ry,Cx,Cy]=ContourRoller(phi,rb,h,beta,rc,m,rf)

[L,dLdphi]=CamProfile(phi,rb,h,beta)； F2=m^2+L.^2； F=sqrt(f2)； psi=atan2(m,L)；

alpha=atan2(L.*dLdphi,F2-m*dLdphi)； gamma=atan2(rf*sin(alpha),F-rf*cos(alpha))； ph=[phi beta+phi]；

R=sqrt((F-rf*cos(alpha)).^2+(rf*sin(alpha)).^2)； Ry=R.*sin(psi+gamma+ph)； Rx=R.*cos(psi+gamma+ph)； cx=F+(rc-rf)*cos(alpha)； cy=(rc-rf)*sin(alpha)； delta=atan2(cy,cx)； c=sqrt(cx.^2+cy.^2)； Cy=C.*sin(psi+delta+ph)；

Cx=C.*cos(psi+delta+ph)；

若令β=60°，r b =3.0,h=0.5,r c =0.5,r f =0.375,m=0.375,则程序清单是：

beta=60*pi/180；rb=3；h=0.5；rc=0.5；rf=0.375；m=.375；n=23； phi=linspace(0,beta,n)； ph=[phi beta+phi]；

[Rx,Ry,Rx,Ry]=ContourRoller(o,rb,h,beta,rc,m,rf)； rb=sqrt(Rx(1)^2+Ry(1)^2)； delta=atan2(Ry(1),Rx(1))；

[Rx,Ry,Cx,Cy]=ContourRoller(phi,rb,h,beta,rc,m,rf)； ang=linspace(2*beta+delta,2*pi+delta,40)；

plot(Rx,Ry,ˊk ˊ,Rx(1)*cos(ang)),Rx(1)*sin(ang),ˊk ˊ,0,0,ˊ

k+,Cx(1:5:2*n), …Ｃy(1:5:2*n),ˊk+ˊ) axis equal

phd=linspace(0,2*pi,50)；

[x,phx]=meshgrid(Cx(1:5:2*n),phd)； y=meshgrid(Cy(1:5:2*n),phd)； hold on

plot(x+rc.*cos(phx),y+rc.*sin(phx),ˊk--ˊ)

title(ˊCam contour for cycloidal motion of an offset roller follower ˊ)

4.凸轮的曲率半径

凸轮轮廓的曲率半径如下给出：

ρ=

2

/)()()/)((2))((]

)/)(())([(2

2

2

2/322

?

????????d L d L d dL L d dL L -++

凸轮轮廓应该是这样的：从动件的曲率半径总是大于凸轮轮廓的最小曲率半径，有意义的是最小曲率半径。使用第1节中对无量纲位移、速度、加速度和瞬时加速度的定义，曲率半径可表示如下：

ρ/h=

A

S h r V

S h r V S h r b b b )/(2)/(])/[(22

2

/322

+-++++

为了确定最小的曲率半径（无量纲的），利用曲率半径与β的对称关系创建函数

CamCurvature。在０≤ ≤β区间是有效的。

function RadiusCurve=CamCurvature(phi,beta,rbh)

arg=2*pi*phi/beta；

S=phi/beta-sin(arg)/2/pi；

V=(1-cos(arg)) /beta；

A=2*pi/beta^2*sin(arg)；

RadiusCurve=((rbh+S)^2+V^2)^1.5/((rbh+S)^2+2*V^2-(rbh+S)*A)；

那么对于r b/h和β的任意值，程序清单是：

rbh=input(ˊEnter ratio rb/h:ˊ)；

beta=input(ˊEnter angle beta(degrees):ˊ)*pi/180)；

options=optimset(ˊdisplayˊ,ˊoffˊ)；

phimin=fminbnd(ˊCamCurvatureˊ,0,beta,options,beta,rbh)；

rmin=CamCurvature(phimin,beta,rbh)；

disp([ˊWhen beta=ˊnum2str(beta*180/pi)ˊdegrees and rb/h=ˊ…

num2str(rbh)ˊthe mininmun radius of curvature for aˊ]) disp([ˊcycloidal cam profile is=ˊnum2str(rmin)ˊh,which occurs atˊ…

num2str(phimin*180/pi)ˊdegrees.ˊ])

程序执行后，在MATLAB命令窗口中显示如下信息：

Enter ratio rb/h:4

Enter angle beta(degrees):80

When beta=80 degrees and rb/h=4 the minimum radius of curvature for a

cycloidal cam profile is=2.9777h,which occurs at 58.8421degrees.

参考文献：

[美]Edward B. Magrab 等著，高会生，李新叶，胡智奇等译. MATLAB原理与工程应用. 北京：电子工业出版社，2002年