高中数学【人教A版必修】1第一章函数的单调性公开课课件

高中数学【人教A版必修】1第一章函 数的单 调性公 开课课 件【精 品】
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课堂小结
1.函数的单调性定义 2.定义域是的“局部”性质 3.证明函数的单调性的基本步骤是： （1）取值 （2）作差 （3）变形 （4）定号 （5）结论 4.数学思想
x 1x 2, x 1x 20
f(x 1)f(x2)0 即 f(x1)f(x2) 则函 f(x ) 数 2 x 1 在(区 , 间 ) 是增函数 .
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证明： 设 x 1,x 2 是区 (, 间 )内任
两个,实 且 x1 数 x2. 取值
f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( 2 x 1 1 ) ( 2 x 2 1 ) 2 ( x 1 x 2 )
x 1x 2, x 1x 20
f(x 1)f(x2)0 即 f(x1)f(x2)
则函 f(x ) 数 2 x 1 在(区 , 间 ) 是增函数 .
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证明： 设 x 1,x 2 是区 (, 间 )内任
两个,实 且 x1 数 x2. 取值
单调增区间为[－1.5,3)、[5,6)．
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y f x 1
x
x 0 （1）函数的定义域是（－∞，0)∪（0，+∞） （2）函数在（－∞，0）和（0，+∞）都是减函数.
欢迎指导
问题1 下图是某市某天24小时内气温随时间变化 的曲线，观察图形，能得到什么信息。
问题2 观察下图中的函数图象，你能说说他们反 映了相应函数的哪些变化规律？
(1)随x的增大，y的值有什么变化？
(2)能否看出函数的最大值、最小值？ (3)函数的图象是否有某种对称性？
y
y
y
1
-1
1x
-1
1
-1
数形结合、特殊到一般、类比等思想
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证明： 设 x 1,x 2 是区 (, 间 )内任
两个,实 且 x1 数 x2. 取值
f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( 2 x 1 1 ) ( 2 x 2 1 ) 2 ( x 1 x 2 )
x 1x 2, x 1x 20
两个,实 且 x1 数 x2. 取值
f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( 2 x 1 1 ) ( 2 x 2 1 ) 2 ( x 1 x 2 )
x 1x 2, x 1x 20
f(x 1)f(x2)0定号
作差 变形
即 f(x1)f(x2)
则函 f(x ) 数 2 x 1 在(区 , 间 )
是增函数 . 下结论
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证明： 设 x 1,x 2 是区 (, 间 )内任
两个,实 且 x1 数 x2.(条件)
f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( 2 x 1 1 ) ( 2 x 2 1 ) 2 ( x 1 x 2 )
3
__上_升___
2
1
x
(2)在区间 (－__∞_，__＋_∞)随着x的增大，-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)的值随着 _增_大____
-1
-2
-3
（2）f(x)=x2
y
(1)在区间 (_－_∞_，__0_) 随着x的增大，
f(x)的值随着 减__小____
5
4
(2)在区间 (0_，__＋_∞_)_ 随着x的增大，
1x
-1
1
-1
1
x
-1
函数的单调性
y y f(x) 3
2
-2
1
x -5 -4 -3
-1 O 1 2 3 4 5 -1
-2
问题3 画出写了函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x)=x
（2）f(x)=x2
问题3 画出写了函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x)=x
（2）f(x)=x2
y
(1)从左至右图象上升还是下降？
例2 证明 f(x)函 2x 数 1 在区 (， 间 ) 上是.增函数
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证明：设 x1,x2是区 (, 间 )内任
两个,实 且 x1 数 x2.
f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( 2 x 1 1 ) ( 2 x 2 1 ) 2 ( x 1 x 2 )
则函 f(x ) 数 2 x 1 在(区 , 间 )
是增函数 . (结论)
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探究实践（课本第30页）
画出反比例函数 f x 1 的图象。
x
（1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你结论. [解析] 函数的单调减区间为[－4，－1.5)、[3,5)、[6,7],
练习3 判断下列说法是否正确，说明理由:
(1)某地0点温度高于1点半的温度，1点半的温度高于5点的温
度，则该地0点到5点温度一直在下降.
(2)对于函数y=f(x)在其定义域内有无穷多个值 a1,a2,a3,
满足 f(a1)f(a2)f(a3) ,则函数y=f(x)在其定义内是增函数
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y y f(x) 3
2
-2
1
x -5 -4 -3
-1 O 1 2 3 4 5 -1
-2
练习2. 如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象， 指出它的单调区间．
[解析] 函数的单调减区间为[－4，－1.5)、[3,5)、[6,7], 单调增区间为[－1.5,3)、[5,6)．
对函数单调性的理解
x 1x 2, x 1x 20
f(x 1)f(x2)0
即 f(x1)f(x2)(论证结果)
则函 f(x ) 数 2 x 1 在(区 , 间 ) 是增函数 .
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第一、在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性，即 必须是f(x1)<f(x2)（或f(x1)>f(x2)），而不能是f(x1) f(x2)（或 f(x1) f(x2)）； 第二、函数的单调性是对定义域内的某个区间而言，是局 部概念； 第三、学习函数的单调性，要注意定义中的添加和结论是 双向使用的； 第四、注意单调区间的合并。
y
函数f(x)=x2在区间(0，+∞)上
5
4
图象随着x的增大而上升，在
3 2
区间(0，+∞)上y随着x的增大
1
x 而增大
-3 -2 -1 0 1 2 3
问题4 函数f(x)=x2的图象在y轴右侧随着x 的增 大时上升的，如何用数学语言来描述这种 “上升”呢？
y
函数f(x)=x2在区间(0，+∞)上
f(x 1)f(x2)0定号
作差 变形
即 f(x1)f(x2)
则函 f(x ) 数 2 x 1 在(区 , 间 )
是增函数 .
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证明： 设 x 1,x 2 是区 (, 间 )内任
3
f(x)的值随着 _增_大____
2
1
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
问题
从上面的观察分析，能得出什么结论？
从上面的观察分析可以看出，不同的函数， 其图象的变化趋势不同，同一个函数在不同区 间上变化趋势也不同，函数的图象的这种变化 规律就是函数性质的反映，这就是我们所要研
究的函数的一个重要性质——函数的单调性.
2
1
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
问题5 如何用数学符号语言来描述f(x)=x2在区间 (0，+∞)y随着x的增大而增大？
函数f(x)=x2的定义域为R：
y
在区间(0，+∞)上任意两个自
f(x2)54
变量的值x1, x2, 当x1<x2时, 都有f(x1)<f(x2), 那么就说函
3
f(x1)2 1 x1
初步认识函数的单调性
函数f(x)=x2的定义域为R
y
图象y轴的左侧随着x的增大而
5
4
下降，我们就说f(x)=x2在区间
3 2
(-∞，0]上为减函数；
1
x 图象y轴的右侧随着x的增大而
-3 -2 -1 0 1 2 3 上升，我们就说f(x)=x2在区间
在区间(0，+∞)上为增函数.
问题4 函数f(x)=x2的图象在y轴右侧随着x 的增 大时上升的，如何用数学语言来描述这种 “上升”呢？
练习1. 根据下列函数图象，指出其单调区间。
减区间为(－∞，-2)
y
增区间为[-2，+∞)
y
减区间为
(－∞，0) 和（0，+∞)
0
x=-2 (1) y
x
增区间为(－∞，+∞)
x 0
(2) y增减区区间间为为(－[－∞1，，-11))和[1，+∞)
x 0
-1 0 1 x
(3)
(4)
例1 下图是定义在区间[-5, 5]上的函数y=f(x)的图 象, 根据图象说出y=f(x)的单调区间, 以及在每一区 间上, y=f(x)是增函数还是减函数.
x2 x
数f(x)=x2在区间(0，+∞)上是 -3 -2 -1 0 1 2 3
增函数
问题6 对于一般函数y=f(x)的定义域为I,在区间
D上，我们应当如何给增函数下定义？
函数单调性定义
1．增函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,
x2, 当x1<x2时, 都有f(x1)<f(x2), 那么就说函数f(x)在区间D上是增
5
4
图象随着x的增大而上升，在
3 2
区间(0，+∞)上y随着x的增大
Βιβλιοθήκη Baidu
1
x 而增大
-3 -2 -1 0 1 2 3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
问题5 如何用数学符号语言来描述f(x)=x2在区间 (0，+∞)y随着x的增大而增大？
y
5
4
3
f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( 2 x 1 1 ) ( 2 x 2 1 ) 2 ( x 1 x 2 )
x 1x 2, x 1x 20
f(x 1)f(x2)0
作差 变形
即 f(x1)f(x2) 则函 f(x ) 数 2 x 1 在(区 , 间 )
是增函数 .
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函数.
y
y=f(x) f(x1)
O x1
f(x2) x
x2
问题7 类比增函数的定义，对于一般函数y=f(x)，
我们应当如何给增函数下定义？
2．减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1, x2, 当x1<x2时, 都有f(x1)>f(x2), 那么就说函数f(x)在区间D上是减 函数.
证明： 设 x 1,x 2 是区 (, 间 )内任
两个,实 且 x1 数 x2.(条件)
x 1x 2, x 1x 20
f ( x 1 ) ff ( (x x 2 1 ) ) ( 2 fx (1 x 2 1 )) ( 0 2 x 2 1 ) 2 ( x 1 x 2 )
即 f(x1)f(x2) (论证结果)
函数单调性定义
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说
函数y=f(x)在这一区间具有 (严格的）单调性 ，区间D叫做
y=f(x)的 单调区间 .
y
y=f(x)
f(x1)
f(x2) x
O x1 x2
y y=f(x)
f(x1)
f(x2)
x
O x1 x2
在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图 象是下降的.