矩形薄板的几种解法

于是微分方程（d)的特解可以取为
4 a 2 q0 1 cos m 25q0 a 5 1 cos m fm y Dm m Dm . 4
带入式（e） ，并注意薄板的挠度 w 应当是 y 的偶函数，因而有 Cm=0，Dm=0，
my my my w Am cosh Bm sinh a a a m 1 得
这一常微分方程的解答可以写成
Ym Am cosh Cm
m y m y m y Bm sinh a a a m y m y m y sinh Dm cosh fm y a a a
其中 f m ( y) 是任意一个特解，可以按照式（d）右边积分以后的结果来选择；
my π a
cosh
my π a
+ fm (y)]sin
mx π a
(e)
作为例题 ， 设 图 13 — 8 中 的 矩 形 薄 板 是 四 边 简 支 的 ， 受 有 均 布 荷 载 这时，微分方程（d）的右边成为
2q 0 aD

a
0
sin
2q0 mx 1 cos m dx a Dm

0
a
b
0
q0 sin
于是由式（d）得到
Amn 4q0 1 cos m
1 cos n
2
Dmn
6
m2 n2 2 2 a b
或
Amn 16q0
Dmn
6
m2 n2 2 2 a b
2
。 m 1, 3, 5,; n 1, 3, 5,

1 2 am tanh am 2a y 1 cosh m am 2y 2ya m mx π 5 m 2 cosh a b 2 sin ha b sin h b ) sin a m 1, 3 , 5 .. m m


wmax
4q 0 a 4 q a4 (0.314 o.004) 0.00406 0 5 D D
5 D 5
4q0 a 4
或者
cos ha m Am 2 Bm am sinh Bm 0 , （m=2,4,6.。 。 ） cos ha m Am am sinh Bm 0
mb 其中 a m 2a 。求得 Am 及 Bm，得出
Am
22 am tanham q0 a 4 2q0 a 4 Bm 5 5 5 Dm cosh am ， Dm5 cosh am ； （m=1,3,5.。 。 ）
或者得出
Am 0，Bm 0 （2,4,6.。 。 ）
将求出的系数带入式（f） ，得挠度 w 的最后表达式
wmax
w 4 q0 a 4 5D
4q 0 a 4 5 D
m 1, 3, 5...


1
m
m 1 2
5
2 a m tanh a m 1 2 cosh a m
4
代入式（a） ，即得挠度的表达式
4F 4 abD

m 1 n 1


sin
m sin a 2 m n2 2 2 a b
n b sin m x sin n y 2 a b
，
值得指出：当 x 及 y 分别等于 及 时，各个内力的级数表达式都不收敛（这 是可以预见的， 因为在集中荷载作用处， 应力是无限大的， 从而内力也是无限大） ， 但挠度的级数表达式（e）仍然收敛于有限打的确定值。 显然， 如果在式 （e） 中命 x 和 y 等于常量而把 和 当做变量， 并取 F 1 ， 则该式的将成为（ x, y ）点的挠度的影响函数，它表明单位横向荷载在薄板上移动 时，该点的挠度变化率。同样。在由式（e）对 x 及 y 求导而得到的内力表达式 中，命 x 和 y 等于常量并取 F 1 ，则各该表达式将成为在（ x, y ）点的各该内 力的影响函数。
4
a
。 （13-25）
与式（b）对比，即得
Amn =
0

0
m x n y sin dxdy a b 2 2 2 m n 4 abD 2 2 b a
b
q sin
当薄板受均布荷载时， q 成为常量 q0 ，式（d）积分式成为
m x n y sin dxdy a b a b m x n y =q 0 q0 sin dx sin dy 0 0 a b q0 ab 1 cos m 1 cos n 2 mn
2q 0 a 4 1 cos m sin mx 5 5 Dm a 。 （f）
应用边界条件
wyb 2 0 ， y 2w 0 2 y b 2
由式（f)得出决定 Am 及 Bm 的联立方程
cosham Am amsinham Bm cosham Am 2 Bm 0, m 1,3,5... am sinh am Bm 0,
本节中所述的解法，它的优点是：不论荷载如何，级数的运算都比较简 单。它的缺点是只适用于四边简支的矩形薄板，而且简支边不能受力矩荷载， 也不能有沉陷引起的挠度。它的另一个缺点是级数解答收敛很慢，在计算内 力时，有时要计算很多项，才能达到工程上所需的精度。
二：莱维解法
对于有两个对边被简支的矩形薄板，可以直接应用下面所述的莱维解法。 设图 13-18 所示的矩形薄板具有两个简支边 x 0 及 x a ，其余两边

0
a
b
0
q sin
m x n y ab sin dxdy Cmn a b 4
解出 Cmn ，代入式（c）,得到 q 的展式
q ab a b m x n y m x n y sin sin 0 0 q sin a sin b dxdy 4 m 1 n 1 a b
Am 、 Bm 、 Cm 、 Dm 是任意常数，决定于 y b / 2 两边的边界条件。将上式代入
式（a） ，即得挠度 w 的表达式
my my my my w Am cosh Bm sinh Cm sinh a a a a m 1
Dm q=q o 。
， （a）
其中 m 和 n 都是任意正整数。显然，上列的边界条件都能满足。将式（a）代入 弹性曲面微分方程D∇4 w = q，得到
4 D
m2 n2 m x n y 2 sin sin q。（b） 2 b a b m 1 n 1 a
n 2
为了求出系数 Amn ，须将式（b）右边的 q 展为与左边同样的重三角级数即
a
从 0 到 b ，注意

b
o
sin
n y j y sin dy b b
0
， ，
(������ ≠ ( ������ =
j
)
b /2
j)
就得到

0
a
b
0
q sin
i x j y ab sin dxdy Cij a b 4
因为 i 和 j 式任意 正整 数， 可以 分别 换为 m 和 n ，所以上式 可以 换写 为
0 ， ������/2 ，
(������ ≠ ������) ( ������ = ������)
就得到

a
0
q sin
i y a n y dx Cin sin a 2 n 1 b
。
再将此式的左右两边都乘以 sin j x ， 其中的 j 也是任意正整数， 然后对 y 积分，
当薄板在任意一点（ ， ）受集中荷载 F 时，可以用微分面积 dxdy 上的均布 荷载 F
dxdy
来代替分布荷载 q 。于是，式（d）中的 q 除了在（ ， ）处的微分面积上 以外其余各处都等于零。因此，式（d）成为
等于
F dxdy
4 F m n sin sin dxdy 2 a b m2 n 2 dxdy abD 2 2 b a 4F m n sin sin 。 2 a b m2 n2 4 abD 2 2 b a Amn
代入式（a） ，即得挠度的表达式

16q0 6D
m 1,3,5, n 1,3,5,




q0 sin
n x m y sin a b 2 m2 n2 mn 2 2 a b
2w 2w M x D ` x 2 y 2 , 2w 2w y 2 x 2 , 求得内力。 由此可以用公式 M y D 2 w M xy M yz D1 , xy FSx D 2 w, FSx D 2 w, x x
（g） 并可以从而求得内力的表达式。
a 最大挠度的、发生在薄板的中心。将 x 2 及
，即得 y 0 代入公式（g）
这个表达式中的级数收敛很快，例如，对于正方形薄板， b a ，a m 2 ， 得出 在级数中仅取两项，就得到很精确的解答。但是，在其他各点的挠度表达式 中，级数收敛就没有这样快。在内力的表达式中，级数收敛得还要慢一些。 应用上面所述的莱维解法，可以求得四边简支的矩形薄板在受各种横向荷载时 的解答，以及它在某一边界上受分布弯矩或发生沉陷时的解答。
q 4 D Cmn sin
m 1 n 1 n
m x n y 。 （c） sin a b
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现在来求出式（c）中的系数 Cmn 。将式（c）左右两边都乘以 sin 为任意正整数，然后对 x 积分，从 0 到 a ，注意
i x ，其中的 i a

a
0
sin
m x i y sin dx a a
y b / 2 式任意边，承受任意横向荷载 q 。莱维把挠度 的表达式取为如下的单三
角级数：
Ym sin
m 1
m x a
b/2
a
x
O
其中 Ym 是的任意函数， 而 m 为任意正整数。 极易看出， 级数（a）能满足 x 0 及 x a 两边的边界条件。因此， 只需选择函数 Ym ，使式（a）能满足弹性曲面的微分方 程，即：
现在须将式（c）右边的 q / D 展为 sin m x 的级数。按照傅里叶级数展开式的法
a
则，得
q 2 D a

m 1


a
0
q m x m x sin dx sin D a a
2 4
。
与式（c）对比，可见 d
2 （d） Ym 2 a m x m d Ym m 2 q sin dx Ym 2 dy 4 aD 0 a a dy a 4
b
A
B
y
y 0
。 2 0 2 y y 0
0
，
2 0 2 y y b
y b
0
纳维把挠度 的表达式取为如下的重三角级数：
Amn sin
m 1 n 1 n
m x n y sin a b
4 q / D （b）图 13-8 并在 y
b/2
b / 2 的两边上满足边界条件。
。 （c）
将式（a）代入（b） ，得


d 4Ym
4 m 1 dy
2 4 2 m x q m d Ym m 2 sin 2 a D a dy a
弹力小结
矩形薄板的几种解法
矩形薄板的几种解法
一：纳维解法
四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为
x 0
0 , 2
0 2 x x 0
。
O
a
x
x a
0 ， 2
。 0 2 x x a