最优风险资产组合

7-9
两个资产构成的资产组合: 风险
• 组合方差的另一种表达方式:
2 P wD wDCov(rD , rD ) wE wE Cov(rE , rE ) 2wD wE Cov(rD , rE )
因为一个变量和自身的协方差就是这个变量的方差，即

2 D
Cov （ rD ,rD )
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7-4
图7.1 组合风险关于股票数量的函数
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7-5
图 7.2 组合分散化
当投资组合中的股票数量达到 一定程度时，投资组合的风险 就几乎不再下降。
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• 第一年投资于风险组合， 第二年投资于无风险组 合。 • 结论：投资较小比例在 风险资产组合并持有较 长时间，会优于所谓的 短期投资（即将较大的 比例投资于短期风险资 产，而后剩余期限将资 金投资于无风险资产）。
1. 风险资产与无风险资产之间的资本配置 2. 各类资产间的配置 3. 每类资产内部的证券选择
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7-3
分散化与组合风险
• 市场风险 – 系统性风险或不可分散风险 – 风险不会随着持有证券的种类的增加而下降。
• 公司特有风险 – 可分散风险或非系统风险 – 随着持有证券种类的增加，投资组合的风险会 逐步降低。其原因是基于公司层面的风险的相 互独立的。
2
1 2 n 1 Cov n n 2
n
1 ;
因此，随着证券组合资 产种类的增加，即 n 时，

2
p
0。
2
假设所有证券的标准差 都为，相关系数都为 ，协方差为 ，则：

2
p

1
n

2

2 n 1 . n 2
当n ,系统性风险为
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7-25
图7.9 最优组合的成分
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7-26
整个投资组合构建的步骤
• 1.确定所有证券的特征（期望收益、方差、 协方差）； • 2.建立风险资产组合； • 3.在风险资产和无风险资产之间进行资金配 置 • （1）计算投资风险资产组合P的比例； • （2）计算整个组合中各资产的比例。
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7-30
图 7.11 风险资产有效边界和 最优资本配置线
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7-31
马克维茨资产组合选择模型
• 投资经理向客户提供最优的风险资产组合P， 每个人都投资于P，而不考虑他们的风险厌 恶程度。
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7-18
图 7.5 组合期望收益关于标准差的函数
最大化分散化的好处
说明分散化没有任 何意义
分散化是有意义的
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7-19
相关效应
• 资产相关性越小，分散化就更有效，组合风 险也就越低。 • 随着相关系数接近于-1，降低风险的可能性 也在增大。
7-6
协方差和相关性
• 投资组合的风险取决于投资各组合中资 产收益率的相关性。 • 协方差和相关系数提供了衡量两种资产 收益变化的方式。
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7-7
两个资产构成的资产组合: 收益
rp rP
Portfolio Return 资产组合的收益率
7-8
两个资产构成的资产组合: 风险
2 2 2 2 2 p wD D wE E 2wD wECovrD , rE
2 D = 基金D的方差

2 E
= 基金E的方差
CovrD , rE = 基金D和基金E收益率的协方差
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7-12
相关系数
• 当 ρDE = 1, 投资组合的方差不受相关性影响，投 资组合的方差不会降低。
P wE E wD D
当 ρDE = -1, 投资组合的标准差可降至最低水平。此 时，可以求解出完全对冲的风险资产头寸，这可 实现让投资组合标准差降为0.
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7-21
图 7.6 债券和股权基金的投资可行集和两条资本配置线
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7-22
夏普比率
• 使资本组合P的资本配置线的斜率最大化。 • 斜率的目标方程是:
SP
E (rP ) rf
• 保险原理: 风险增长速度低于不相关保单数量的增 长速度。
– 夏普比率升高
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7-39
风险共享
• 风险共享：随着风险资产增加到资产组合中, 一部 分资产需要被卖掉以保持风险资产总规模固定的 投资比例。
• 风险共享和风险集合构成了保险行业的关键核心。 • 投资于多种风险资产，但是风险资产总规模比例 保持不变，这才是真正的分散化。也就是说，保 持风险资产的总规模不变，而将风险资产配置的 资金分散到众多独立的风险资产的配置上才是降 低风险的办法。
7-36
表 7.4 相关性和无相关性的证券等权重 构造组合的风险减少
31.62%
2
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7-37
最优组合和非正态收益
• 上述组合最优化技术是建立在收益分布服从正态 假设之下的。 • 在肥尾分布下，在险价值和预期损失值会特别高， 我们应该适当减少风险资产组合的配置。
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7-33
图 7.13 有效集组合与资本配置线
INVESTMEN的威力
• 回忆:
2 P i 1 n
w w Cov(r , r )
j 1 i j i j
n
• 如果我们定义平均方差和平均协方差为:
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7-40
长期投资
长期投资决策 短期投资决策
• 投资于一项两年期的风 险组合
– 长期投资决策的风险更 大 – 卖出一部分两年期的风 险组合来降低风险 – “时间分散化” 并不 是真正的分散化 – 要控制好风险，应该降 低长期风险资产投资的 比例。
– 大多数风险厌恶者更多的投资于无风险资产。
– 少数的风险厌恶者在P上投资的更多。
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7-32
资本配置和分离特性
• 分离特性阐明投资组合决策问题可以分为 两个独立的步骤。 – 决定最优风险组合，这是完全技术性的 工作。 – 整个投资组合在无风险短期国库券和风 险组合之间的配置，取决于个人偏好。
7-16
图7.4 组合标准差关于投资比例的函数
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7-17
最小方差组合
• 最小方差组合由具有最 小标准差的风险资产组 成，这一组合的风险最 低。 • 当相关系数小于 +1时， 资产组合的标准差可 能小于任何单个组合 资产。 • 当相关系数是 -1时， 最小方差组合的标准 差是0.
2 2 2 2 2 p w1212 w2 2 w3 3 2w1w21,2 2w1w31,3 2w2 w3 2,3
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7-15
图7.3 组合期望收益关于投资比例的函数
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P
• 这个斜率就是夏普比率。
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7-23
图 7.7 债券和股权基金的投资可行集、最优资本配 置线和最优风险资产组合
注意：在P点， 夏普比率可达到 最大值
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7-24
图 7.8 决定最优组合
7-10
协方差
Cov(rD,rE) = DEDE D,E = 收益率的相关系数 D = 基金D收益率的标准差
E = 基金E收益率的标准差
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7-11
相关系数: 可能的值
1,2值的范围
+ 1.0 > > -1.0 如果 = 1.0, 资产间完全正相关 如果 = - 1.0, 资产间完全负相关
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7-27
马科维茨资产组合选择模型
• 证券选择 – 第一步是决定风险收益机会，也就是寻 找风险资产投资组合的有效边界。 – 所有最小方差边界上最小方差组合上方 的点提供最优的风险和收益。
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– 如果 = +1.0，不会分散任何风险。. – 如果 = 0， σP 可能低于任何一个资产的标准差。 – 如果 = -1.0， 可以出现完全对冲的情况。
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7-20
两个风险资产和一个无风险资产的最优组合
• 投资问题的核心是： • 如何决定股票、债券和短期国库券之间的 分摊比例，目标是实现资本配置线的斜率 达到最大值。
1 n 2 i n i 1
2 n 1 Cov n(n 1) j 1 j i
Cov(r , r )
i 1 i j
n
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7-35
分散化的威力
• 我们可以得出组合的方差:

当
2 P
Cov 0,那么 p
• 我们可以比较最优风险组合和其他组合的在险价 值与预期损失，如果某个组合的值比最优低的话， 我们可能倾向于这一组合。
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7-38
风险集合和保险原理
• 风险集合: 互不相关的风险项目聚合在一起来降低 风险。 – 通过增加额外的不相关资产来增加风险投资的 规模。
wr
D
P代表资产组合
D
wE r E
wD Bond Weight 债券的权重 rD Bond Return 债券的收益率 wE Equity Weight 股票的权重 rE Equity Return 股票的收益率
E (rp ) wD E (rD ) wE E (rE )
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7-28
图7.10 风险资产的最小方差边界
整条蓝 色曲线 都代表 了给定 期望收 益情况 下的最 小方差
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7-29
马克维茨资产组合选择模型
• 第二步：构建资本配置线。 • 现在，我们寻找报酬-波动性比率最高的 资本配置线，即寻找p点。 • 第三步：计算风险资产的最优投资比例， 即寻找C点。
wE
D E
D
1 wD
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7-13
表 7.2 从协方差矩阵计算的 资产组合的方差
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7-14
三种资产的组合
E (rp ) w1E (r1 ) w2 E (r2 ) w3 E (r3 )
第七章
最优风险资产组合
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7-2
投资决策
• 决策过程可以划分为自上而下的3步: