轴对称及最短路径问题

最短路径问题

（一）利用轴对称解决最短路径问题

问题作法图形原理

类型一

B

A 连接AB，与l

的交点即为点P

PA+PB的最小

值为AB的值，

两点之间，线段

最短

类型二 B

A

l 作点A关于l的

对称点A’,连接

A’B,与l的交点

即为点P

B

A

P

A’

AP+PB的最小

值为A’B的值，

两点之间，线段

最短

类型三L2

P

L1

在直线l1，l2上分别找点

M,N，使△PMN周长最

小分别作点P关于

两直线l1，l2的

对称点P’,P’’,连

接P’P’’,与两直

线的交点为M,N

L2

P’’

M P

N L1

P’

PM+PN+MN的

最小值为P’P’’

的值，两点之间，

线段最短

类型四L1

P

Q

L2

在直线L1,L2上分别找点

M,N，使四边形PMNQ

的周长最小做点P,Q分别关

于直线L1,L2的

对称点P’,Q’,连

接P’Q’,与两直

线的交点M,N

L1

M P

Q

N L2

PM+MN+PN的

最小值为P’Q’的

值，两点之间线

段最短

（二）用平移解决造桥选址问题

例1，如图，a//b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，当点N 在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ a

M

N

由于MN的长度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？

详解：将AM沿与a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A’，则

AA’=MN,AM+NB=A’N+NB.这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A’N+NB

最小？

如图，在连接A’,B两点的线中，线段A’B最短。因此，线段A’B最短。因此，线段A’B 与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的。

L2

A M

A’ B

N

例2，在P、Q两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从P村到Q村，要经过两座桥MN、EF。现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于桥的大桥，问：如何设计这两座桥MN,EF的位置，使由P村到Q村的路程最短？

P

L1

L2

Q 1

L2

解析：河的宽度（桥的宽度）固定，利用“平移交换”解决问题。

答案：如图所示，P

F C

L1

L2

E

M

D

N 4

Q L 3

(1)过点P作PA垂直于L1,垂足为A，过点Q作QB垂直于L3，垂足为B；

(2)分别在PA和QB上截取PC=QD=河的长度；

(3)连接CD，分别交L2和L4于点E和M；

(4)过点E和点M分别作L1和L3的垂线段，垂足分别为F和N；

(5)连接PF和QN，则路线P→F→E→M→N→Q就是满足题意的从P到Q的最短路线（三）求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计

在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。

例:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？

（四）点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程

将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．可求出最短路程

例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）

A．7 B． C． D．5

（五）、在长方体（正方体）中，求最短路程

1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程

2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程

3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了

然后进行比较大小，即可得到最短路程.

例：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm

例：如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）A．4.8 B． C．5 D．

例：有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．

例：如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）

例：如图，AB为⊙O直径，AB=2，OC为半径，OC⊥AB,D为AC三等分点，点P为OC上的动点，求AP+PD的最小值。

（七）、在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程

将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案

例：如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是（结果保留根式）

（八）、题中出现一个动点。

当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值.

例：如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。

（九）、题中出现两个动点。

当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。

例：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求 m/n 。

(十)、题中出现三个动点时。

在求解时应注意两点：(1)作定点关于动点所在直线的对称点,(2)同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题.

例：如图，在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点,求PE+PF最小值例：如图，∠AOB=45，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求△PQR周长的最小值。