联立方程模型的参数估计方法概述

§9.7 间接最小二乘法(ILS法)
间接最小二乘法的基本思想是，将恰好识别的结构 模型化为约简型，而约简型中的每个方程仅包含前 定变量，因而可以用普通最小二乘法估计约简型中 的参数，然后再由约简型的参数估计值推算出结构
间接最小二乘法的基本思想的实施，实际上是在满
1.被估计的结构方程必须是恰好识别，因为只有恰好 识别才能由约简型参数推导出唯一的一组结构参数。 2.每个约简型方程的随机扰动项都应满足最小二乘
§9.6 联立方程模型的参数估计方法概述 联立方程模型的特点决定了它不能直接用OLS法求 其参数的无偏和一致估计量。这就要求人们进一步 研究适合联立方程模型参数估计的方法。迄今为止， 联立方程模型的估计方法可分为单方程估计法和系 统估计法两类。
1. (1)普通最小二乘法(OLS法) (2)间接最小二乘法(Indirect Least Squares,简称ILS) (3)工具变量法(Instrumental Variables,简称IV法)
(9.7.6)
利用表9.7.1（见精编本221页）中的数据对约简型中
方程进行最小二乘估计，结果如下：
Pˆt 6.1932 0.0310Y t R2 0.8508
(9.7.7)
Qˆ t 557.6049 1.0776Y t R2 0.9494
根据公式(9. 7.5)得
ˆ1
ˆ 21 1.0776 ˆ 11 0.0310
(4)二阶段最小二乘法(Two Stage Least Squares, 简称2SLS) (5)有限信息极大似然法(Limited Information, Maximum Likelihood，简称LI/ML法) 2. (1)三阶段最小二乘法(Three Stage Least Squares 简称3SLS法) (2)完全信息极大似然法(Full Informaxion, Maximum Likelihood,简称FI/ML法)
其中
10
0 0 1 1
11
2 1
1
v1t
u2t
1
u1t
1
20
1
0 1
0 1
1
21
2 1 1 1
v2t
1u2t 1
1 u1t 1
应用OLS
(9.7.3) (9.7.4)
(9.7.5)
ˆ 11
P t Yt
Y
2 t
ˆ 10 P ˆ 11Y
ˆ 21
Q t Yt
Y
2 t
ˆ 20 Q ˆ 21Y
K*＝1，G*＝0，K* + G*＝1
G -1＝2-1＝1
阶条件K* + G* = 1 ＝ G - 1
显然 Δ＝α2，R(Δ)＝1
秩条件 R(Δ)＝1＝G -1
,
整个模型不可识别。这里只体现间接最小二乘法实 施步骤，所以，只对供给方程(9.7.2)
Pt 10 11Y t v1t Qt 20 21Y t v2t
34.7613
ˆ 0 ˆ 20 ˆ1ˆ 10 557 .6049 34.7613 6.1932
772 .8886
所以，供给方程 Qˆ t = -772.8886 + 34.7613Pt
（9.7.8）
间接最小二乘估计量是有偏，但却是一致估计量。我
先证明间接最小二乘估计量是有偏的。
ˆ1
ˆ ˆ
由于Y与v1和v2不相关，当样本容量n→∞时，
P
lim
v
2t
Y
t
/
Y
2 t
0
P
lim
v1t
Y
t
/
Y
2 t
0
所以
P lim
ˆ1
21 11
1
一致性得证。
21 11
(9.7.9)
将(9.7.6)代入(9. 7.9)便有
ˆ1
Q t Pt
Yt Yt
(9.7.10)
再将模型(9.7.3)和(9.7.4)中心化，便有
P t 11Yt v1t Q t 21Yt v2t
再把(9.7.11)代入(9.7.10)便有
(9.7.11)
ˆ1
21
Y
2 t
v2t
Y
t
11
Y
2 t
源自文库
v1t
Y
t
21
v2t
Y
t
/
Y
2 t
11
v1t
Y
t
/
Y
2 t
(9.7.12)
E(ˆ1)
21 11
1
有偏性得证。
(9.7.13)
再证明间接最小二乘估计量是一致估计量。 对(9.7.12)取概率极限
P lim
ˆ1
21 11
P lim P lim
v2t
Y
t
/
Y
2 t
v1t
Y
t
/
Y
2 t
3. 在满足以上三个条件的基础上，便可实施间接最小
二、例：供求模型
Qt 0 1 Pt 2Y t u1t Qt 0 1 Pt u2t
(9.7.1) (9.7.2)
其中Q为供求量，P为价格，Y为收入，Q、P为内生
变量，Y 需求方程（9.7.1）包含了模型中所有变量，所以是
供给方程（9.7.2