高等数学上总复习

1
f ( x)dx
0
0
f ( x) x2 Ax 2B
积分
2
f ( x)dx
2 ( x2 Ax 2B)dx
0
0
1
f ( x)dx
1( x2 Ax 2B)dx
0
0
30
即
A
B
8 3 1 3
2A 4B A 2B 2
A 4,B 1 33
f (x) x2 4x 1 33
1 e x
sin x ) x
lim ( 2 e x
x00
4
1 e x
sin x
x
)
1
I 1 7
7. 已知f (1) 0, f (1) 2
求I lim f (sin2 x cos x)
x0
x tan x
I
lim
x0
f (1 sin2 x cos x 1) sin2 x cos x 1
2
et
1
f (t)
(
t
et
et
2
1)dt
et
(t
1)
et
t
C
f
(sin x)
2
e sin
x
(sin
x
1)
2
e sin
x
sin
x
C
2
23
2、I
1
a2
sin
2
x
b2
cos2
dx, x
a,b 0
I
sec2 x a2 tan 2 x b2 dx
d tan x a2 tan2 x b2
9
x 0为f ( x)的第一类跳跃间断点;
lim x2
f
(x)
limsin
x2
x2
不 存 在, 4
x 2为f ( x)的第二类间断点;
lim x1
f
(x)
lim
x1
x(1 x)
cos x
2
x 1为f ( x)的第一类可2 去间断点;
lim x(2k 1)
f
(x)
lim
x(2k 1)
e x dx dx
e2x 1
e2x 1
de x
de x
(e x )2 1
1 (ex )2
ln(e x e2x 1) arcsinex C
27
6、 1 dx
x8 (1 x2 )
x1 t
t8 1 t 2 dt
(t
6
t
4
t
2
1
1 1 t
2
)dt
1 1 11
1
7 x7 5x5 3x3 x arctan x C
t{ f [tx1 (1 t)x2 ] f ( x1)}
16
(1 t) f (2 )t( x2 x1) tf (1)(1 t)( x2 x1) x1 1 tx1 (1 t)x2 tx1 (1 t)x2 2 x2
t(1 t)( x2 x1)[ f (2 ) f (1)]
f
(1) sin2
x cos x 1 x tan x
f (1)(1 1 ) 1 2
8
8、（f x）
x(1 x)
cos x
2
,
x
0
sin
x2
4
,
x
0
求f ( x)的间断点及类型。
解 ：f ( x)的可能间断点为
x 0, x 2, x 2k 1(k 1),
0 f (0 0) 2 , f (0 0) 2
《高等数学》（上）总复习
基本要求
1、认真看书和笔记掌握基本内容；
2、 认 真 看 《 高 等 数 学 》辅 导 系 统 、 做 十 年 考题掌握基本题型；
3、加强运算能力；
4、通过总复习掌握综合及典型题型。
1
函数、极限、连续及一元函数微分学
一、基本题型:
1、基本函数问题；
2、极限的求法；
3、连续性及间断点的讨论； 4、 无 穷 小 的 比 较 及 等 价无 穷 小 ；
x
1 1) n1
(x
1 1)n1
]
13
12、设f ( x)在点x0的某领域内连续，
且 lim f ( x) f ( x0 ) 2 (n为正整数) xx0 ( x x0 )n
问f ( x)在x x0处是否取得极值?
解 : lim f ( x) f ( x0 ) 2 0
xx0 ( x x0 存在x0某领域使
1 t2
)
1
t 2t
2
t4 1 8t 3
12
11、y
4x2 1， x2 1
求y(n)
y
4x2 1 x2 1
4x2 43 x2 1
4
3 2
(
1 x 1
1) x 1
(
1 )(n) x 1
(1)n n! ( x 1)n1
,
(
1 )(n) x 1
(1)n n! ( x 1)n1
y(n)
3 2
(1)n
n! [ (
20
一元函数的积分及应用
一、基本题型
1、原函数与不定积分概念；
2、不定积分的两类换元法；
3、不定积分的分部积分；
4、有理函数、三角有理函数及简单的 无理函数的积分
5、定积分性质
6、变限积分求导
21
7、定积分的计算；
8、对称区间上的积分及2 sinn xdx 0
9、积分等式和不等式的证明；
10、广义积分。
证明: 当x1 x2时,等号成立;
当x1 x2时,不妨设x1 x2 ,
只要证明tf ( x1) (1 t) f ( x2 ) f [tx1 (1 t)x2 ] 0
tf ( x1) (1 t) f ( x2 ) f [tx1 (1 t)x2 ]
(1 t){ f ( x2 ) f [tx1 (1 t)x2 ]}
3
二、典型例题
1、求y 16 x2 lnsin x的定义域 解 : 由16 x2 0,
sin x 0
得[4, ) (0, )
4
3.lim tann ( 2)
n
4n
1 tan 2
lim(
n )n
n 1 tan 2
n
lim[(1
2 tan 2 n
1tan 2 n
2tan 2 n
•1
t(1 t)( x2 x1) f ( )(2 1) 0 1 2
17
15.设f ( x)为[0,)上单调减少的连续函数,证明
x ( x2 3t 2 ) f (t)dt 0. 0
证明: 令F ( x) x ( x2 3t 2 ) f (t)dt 0 f (0) 0 只要证明F( x)单调增加,
2tan 2 1tan 2 1
) n] n n
n
1 tan 2
e4
n
ln tan( 2)
e 法2：lim
n ln tan( 2 )
4n
lim
n
n
4n 1
n
5
ln cos x arctan x
4.lim
4 x2
x0 ln(1 2x) ln cos x
x
lim 4 x2 ln(1 cosx 1) x0 2x ln(1 cos x 1)
5、闭区间上连续函数的性质及应用； 6、导数、微分的定义及几何意义； 7、左右极限、左右连续及左右导数的应用； 8、极限、连续可导及可微的关系；
2
9、求导法则、基本公式、复合函数、隐函数、 参数方程求导；
10、高阶导数及公式
11、中值定理及泰勒公式及其应用；
12、函数的单调性、极值、最值应用、凹向及拐点； 13、不等式的证明； 14、方程根的讨论。
x ln(1 t2 ) 10.
y t arctan t
求 d3y dx3
dy dx
dt dt
/
dx dt
(1
1
1 t
2
)
/
1
2t t
2
t 2
,
d 2 y d ( t ) / dx 1 t 2 dx2 dt 2 dt 4t
d3y dx3
d dt
(1 4t
t )/ 4
dx dt
1 (1 4
1 lim cosx 1 2 4 x0 cos x 1 4 2
6
1
2 e x sin x
5. I lim( x0
4
) x
1 ex
1
4
3
1
lim (
x00
2
e
x 4
sin x ) lim ( 2e
x
x00
x e
4
x
sin x ) x
1 e x
e x 1
1
1
lim (
x00
2
e
x 4
1 arctan(a tan x) C
ab
b
24
3、
7 cos 5 cos
x x
3sin 2 sin
xdx x
(5cos
x
2sin x) 5cos x
(2cos x 2sin x
5
sin
x)dx
x
d
(5cos x 2sin x) 5cos x 2sin x
x ln(5cos x 2sin x) C
25
4、
2x 3 dx
x2 2x
2x 2 1dx x2 2x
d(x2 2x)
dx
x2 2x
x2 2x
2 x2 2x
d( x 1)
2
1 ( x 1)
2 x2 2x arcsin(x 1) C
26
5、
ex 1
ex
dx 1
e x 1 dx e2x 1
)
n
f
( x) f ( x0 ( x x0 )n
)
0
(1)当n为奇数, f ( x)在x0点不取得极值;
(2)当n为偶数, f ( x)在x0点取得极小值;
14
13、设a e, b 0,证明(a b)a aab .
证明: 只要证明a ln(a b) (a b)ln a
作f ( x) a ln(a x) (a x)ln a ( x 0)
F( x) [ x2
x
f (t)dt 3
x t 2 f (t )dt]
0
0
2x x f (t)dt x2 f ( x) 3x2 f ( x) 0
2 x x f (t )dt 2 x2 f ( x) 能否再求导? 0
2x[ f ( )x xf ( x)]
0 x 18
2x2[ f ( ) f ( x)] 0
作F( x) f ( x) x
则F( x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导
F(0) 0, F( 1 ) 1 , F(1) 1
由
零
点
定
理, 至
少2存
在21
(
1 2
,1)使F
(1
)
0
对F ( x)在[0,1]上用罗尔定理
存在 (0,1) (0,1), 使F( ) 0
即f ( ) 1
若f ( x) x 0, f ( x) x
若f ( x) x 0,
存在x0 (,), 使f ( x0 ) x0 0,
则F ( f ( x0 )) F ( x0 ) 0, F ( f ( x0 )) F ( x0 ) F 2 ( x0 ) 0
在f ( x0 )与x0之间，使F ( ) 0,即f ( ) 1.1
28
7、
xex 3 dx
(1 ex )2
xd(
2 ) 1 ex
2x
dx
2
1 ex
1 ex
2x 2ln 1 e x 1 C
1wk.baidu.comex
1 ex 1
29
9. 设f ( x) x2 x
2
f ( x)dx 2
1
f ( x)dx
0
0
求f ( x)
解 :记A
2
f ( x)dx,
B
F( x)单调增加
即F( x) 0
x ( x2 3t 2 ) f (t) dt 0. 0
19
16、设f ( x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导 且f (0) f (1) 0, f (1) 1 试证明至少存在 (0,12)使f ( ) 1
证 明:
f ( ) 1 [ f ( x) x] 0 x
31
12.
2 0
sin x cos xdx 5 sin2x
2 0
sin x cos x 4 (cos x sin x)2 dx
2 0
d (sin x cos x) 4 (cos x sin x)2 dx
1 arctan cos x sin x 2 arctan 1
2
2
0
2
32
13. 设f ( x)、g( x)在[a,b]上连续,证明至少存在
一点 (a, b), 使
b
f ( ) g(x)dx g( )a f (x)dx
证明: 只要证明
b
f ( ) g( x)dx g( )a f ( x)dx 0
即(
x
f (t)dt
b
g(t )dt )
0
a
x
x
令F ( x)
11、定积分在几何上的应用 12、定积分在物理上的应用
22
二、不定积分典型例题
1、设 f ( x )dx x(e x 1) C, 求f (sin x)
解 ： f ( x )dx x(e x 1) C,
f ( x ) [x(e x 1)]
e x 1 x e x
令
x t,
f
(t )
t
et
x(1 x)
cos x
不存在(k 1)
2
x (2k 1)为f ( x)的第二类间断点(k 1);
10
9、设f (x)在(, )上连续，且f ( f (x)) x,
证明存在,使f ( ) .
证明：作F ( x) f ( x) x,
F( f (x)) f ( f (x)) f (x) x f (x) F(x)
f ( x) a(1 ln a) x ln a 0 ax
f (b) f (0) 0
f ( x)单减
a ln(a b) (a b)lna
即 (a b)a aab .
15
14、在(a, b)内f ( x) 0,证明对任意x1、x2 (a, b)及 任意实数0 t 1,有
f [tx1 (1 t)x2 ] tf ( x1) (1 t) f ( x2 )