空间向量与平行、垂直关系26585
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令 x＝1，则 y＝1，z＝2， ∴平面 PAO 的一个法向量为 n1＝(1，1，2)． 若平面 D1BQ∥平面 PAO，那么 n1 也是平面 D1BQ 的一个法向量． ∴n1·B→Q＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1， 这时 n1·B→D1＝－2－2＋4＝0， 故当 Q 为 CC1 的中点时，平面 D1BQ∥平面 PAO.
设平面 C1DE 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··DD→→EC1＝＝00⇒12y2x＋2＋z2y＝2＝0 0，∴xz22＝＝－－y22y2，
名师微博 利用法向量与平面内两不共线向量垂直求法 向量是本题关键.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
取y2＝1，则得x2＝－2，z2＝－1， ∴平面C1DE的一个法向量为n2＝(－2，1，－ 1)．… (7分) ∴n1·n2＝1＋0－1＝0，∴n1⊥n2， ∴平面A1B1F⊥平面C1DE.(8分)
因为F→C1·n1＝－2＋2＝0，所以F→C1⊥n1. 又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE. (2)∵C→1B1＝(2，0，0)， 设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量． 由 n2⊥F→C1，n2⊥C→1B1，得
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
nn22··CF→→1CB11＝＝22yx2＋ 2＝z02＝0，得xz22＝＝－0 2y2.
－1)．(3 分) (1)证明：设平面 A1B1F 的一个法向量为 n1＝(x1， y1，z1)，
则nn11··AA→→11FB1＝＝00⇒y－1＝x10＋，y1－12z1＝0.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
所 以 平 面 A1B1F 的 一 个 法 向 量 为 n1 ＝
－21，0，1.(5 分)
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
【解】 设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)． ∵A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)， ∴A→B＝(－2，1，3)，B→C＝(1，－1，0)．
则有nn··AB→→BC＝＝00，，即－ x－2xy＝＋0y＋. 3z＝0，
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
设平面 AEC1 的一个法向量为 n2＝(x，y，z)，
则nn22· ·AA→→CE1＝＝00⇒－－22xx＋＋212zy＝＋0z＝. 0，
令 z＝4，得 x＝1，y＝－1. ∴n2＝(1，－1，4)． ∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， ∴n1⊥n2.∴平面 AEC1⊥平面 AA1C1C.
第三章 空间向量与立体几何
3．2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行、垂直关系
栏目 导引
学习导航 学习目标
第三章 空间向量与立体几何
重点难点 重点：利用空间向量证明线线、 线面、面面垂直与平行． 难点：把线、面问题转化为向量问题．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
新知初探思维启动
1.法向量 如图所示,直线l⊥α,取直线l的_方__向__向___量__a_， 则向量a叫做平面α的_法__向__量____，给定一点A 和一个向量a，则过点A，以a为法向量的平面 是完全确定的．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
想一想 直线的方向向量和平面的法向量是惟一的 吗？ 提示：不惟一．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
2.空间中平行关系、垂直关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α,β 的法向量分别为u，v，则 线线平行 l∥m⇔a∥b⇔a＝kb； 线面平行 l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0； 面面平行 α∥β ⇔u∥v⇔u＝kv； 线线垂直 l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0； 线面垂直 l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku； 面面垂直 α⊥β ⇔u⊥v⇔u·v＝0.
(1，1，0)，
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
设平面 A1BD 的法向量 n＝(x，y，z)， 则 n·D→A1＝0 且 n·D→B＝0， 得xx＋ ＋zy＝＝00，， 取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1. ∴n＝(1，－1，－1)．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
∴M→N·n＝21，0，12·(1，－1，－1)＝0，
变式训练 3. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC ，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，求 证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
证明：由题意得AB，BC，B1B两两垂直， 以B为原点,分别以BA，BC，BB1所在直线 为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0， 2，0)，C1(0，2，1)，
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
解：以 A 点为原点建立空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，D21，0，0，C(1，1，0)，S(0，
0，1)，
则D→C＝21，1，0， D→S＝－12，0，1. 易知向量A→D＝21，0，0是平面 SAB 的一个法
向量.设 n＝(x，y，z)为平面 SDC 的一个法向量，
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量， 则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
即nn11··DA→ →EA＝＝22yx11＋＝z01＝0，得
x1＝0
，令
z1＝－2y1
z1＝2，则
y1＝－1，
所以 n1＝(0，－1，2)．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
证明：法一：如图，以 D 为 原点，DA、DC、DD1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则
可求得 M0，1，12、N21，1，1、D(0，0，
0)、A1(1，0，1)、B(1，1，0)，
于是M→N＝12，0，12，D→A1＝(1，0，1)，D→B＝
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
(2)设 AP＝y，则 P(1，y，0)，C→1P＝(1，y－1，
－1)．
设平面 A1DE 的一个法向量为 n3＝(x3，y3，z3)，
则
n3·A→1D＝0 n3·D→E＝0
，
即
－x3－z3＝0 12x3＋y3＝0
，
∴
z3＝－x3 y3＝－21x3.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
做一做 根据下列各条件，判断相应的直线与直线、 平面与平面的位置关系： (1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3， －1)，b＝(8，2，2)； (2)平面α，β的法向量分别是u＝(1，3，0),v＝ (－3，－9，0)．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
解得xx＝ ＝3y.z， 令 z＝1，则 x＝y＝3. 故平面 ABC 的一个平面法向量为 n＝(3，3， 1)．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
【名师点评】 求平面法向量的方法与步骤： (1)求平面的法向量时，要选取两相交向量，如 A→C、A→B. (2)设平面的法向量为 n＝(x，y，z)．
解：(1)a·b＝1×8＋(－3)×2＋(－1)×2＝0， ∴直线 l1，l2 垂直．
(2)∵u＝－13v，∴u∥v，即平面 α，β平行．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
典题例证技法归纳
题型探究 求平面的法向量
例1 已知△ABC的三个顶点的坐标分别 为A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)，试 求出平面ABC的一个法向量．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
备选例题
1.如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD 的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的 点，问：当点Q在什么位置时，平面 D1BQ∥平面PAO?
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱 长为2,则O(1，1，0)，A(2，0，0),P(0，0， 1),B(2，2，0)，D1(0，0，2).再设Q(0，2,c),
∴M→N⊥n. 又 MN 不在平面 A1BD 内， ∴MN∥平面 A1BD.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
法
二
：∵M→N＝
C→1N－
C→1M＝12
C→1B1－
1→ 2C1C
＝12
(D→1A1－D→1D)＝12D→A1，∴M→N∥D→A1，
又 MN 不在平面 A1BD 内，
∴MN∥平面 A1BD.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
∴O→A＝(1，－1，0)， O→P＝(－1，－1，1)， B→Q＝(－2，0，c)， B→D1＝(－2，－2，2)． 设平面 PAO 的法向量为 n1＝(x，y，z)，
则nn11··OO→→AP＝＝00，，⇒x－－x－y＝y＋0，z＝0.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
利用空间向量证明垂直关系
例3 (本题满分12分)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1，E、F分别是BC、CC1的 中(1点)求．证：平面A1B1F⊥平面C1DE； (2)在AB上确定一点P，使C1P⊥平面A1DE.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
【思路点拨】 (1)证明面面垂直即证它们的 法向量垂直；(2)证C1P⊥平面A1DE，只要证 C1P的方向向量和平面A1DE的法向量平行．
n·A→C＝0 (3)联立方程组n·A→B＝0并解答．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而 是比例关系，设定某个坐标为常数(常数不能 为0)便可得到平面的法向量．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
变式训练 1.如图所示，在四棱锥 S－ABCD 中，底面是直 角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面 ABCD，且 SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，建立适当的空间直 角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向 量．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
【证明】 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz， 则有 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2， 2，2)， 所以F→C1＝(0，2，1)， D→A＝(2，0，0)，A→E＝(0，2，1)．
令 x3＝2，∴zy33＝＝－－21，∴n3＝(2，－1，－2)．(10 分)
若 C1P⊥平面 A1DE，∴C→1P∥n3，∴C→1P＝λn3，
∴(1，y－1，－1)＝λ(2，－1，－2)，
∴λ＝12，y＝12，
∴点 P 为 AB 中点时，C1P⊥平面 A1DE.(12 分)
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
E0，0，12 ，则A→A1 ＝(0，0，1)，A→C＝(－2， 2，0)，A→C1＝(－2，2，1)，A→E＝－2，0，12.
设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1＝(x，y， z)，
则nn11· ·AA→→AC1＝＝00⇒z－＝20x，＋2y＝0.
令 x＝1，得 y＝1，∴n1＝(1，1，0)．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
【解】 如图，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为 1， 则 A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，
E21，1，0，C1(0，1，1)，D(0，0，0)， F0，1，12.(1 分)
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第三章 空间向量与立体几何
∴A→1B1＝(0，1，0)，A→1F＝－1，1，－21，D→E＝ 21，1，0，D→C1＝(0，1，1)，A→1D＝(－1，0，
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
n·D→C＝12x＋y＝0
则
，
n·D→S＝－12x＋z＝0
y＝－12x
即
.
z＝12x
取 x＝2，则 y＝－1，z＝1， ∴平面 SDC 的一个法向量为(2，－1，1)．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
利用空间向量证明平行关系
例2 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长 为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.
令 z2＝2，得 y2＝－1， 所以 n2＝(0，－1，2)，因为 n1＝n2， 所以平面 ADE∥平面 B1C1F.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
变式训练 2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证： MN∥平面A1BD.
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第三章 空间向量与立体几何
设平面 C1DE 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··DD→→EC1＝＝00⇒12y2x＋2＋z2y＝2＝0 0，∴xz22＝＝－－y22y2，
名师微博 利用法向量与平面内两不共线向量垂直求法 向量是本题关键.
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第三章 空间向量与立体几何
取y2＝1，则得x2＝－2，z2＝－1， ∴平面C1DE的一个法向量为n2＝(－2，1，－ 1)．… (7分) ∴n1·n2＝1＋0－1＝0，∴n1⊥n2， ∴平面A1B1F⊥平面C1DE.(8分)
因为F→C1·n1＝－2＋2＝0，所以F→C1⊥n1. 又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE. (2)∵C→1B1＝(2，0，0)， 设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量． 由 n2⊥F→C1，n2⊥C→1B1，得
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第三章 空间向量与立体几何
nn22··CF→→1CB11＝＝22yx2＋ 2＝z02＝0，得xz22＝＝－0 2y2.
－1)．(3 分) (1)证明：设平面 A1B1F 的一个法向量为 n1＝(x1， y1，z1)，
则nn11··AA→→11FB1＝＝00⇒y－1＝x10＋，y1－12z1＝0.
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第三章 空间向量与立体几何
所 以 平 面 A1B1F 的 一 个 法 向 量 为 n1 ＝
－21，0，1.(5 分)
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第三章 空间向量与立体几何
【解】 设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)． ∵A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)， ∴A→B＝(－2，1，3)，B→C＝(1，－1，0)．
则有nn··AB→→BC＝＝00，，即－ x－2xy＝＋0y＋. 3z＝0，
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
设平面 AEC1 的一个法向量为 n2＝(x，y，z)，
则nn22· ·AA→→CE1＝＝00⇒－－22xx＋＋212zy＝＋0z＝. 0，
令 z＝4，得 x＝1，y＝－1. ∴n2＝(1，－1，4)． ∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， ∴n1⊥n2.∴平面 AEC1⊥平面 AA1C1C.
第三章 空间向量与立体几何
3．2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行、垂直关系
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第三章 空间向量与立体几何
重点难点 重点：利用空间向量证明线线、 线面、面面垂直与平行． 难点：把线、面问题转化为向量问题．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
新知初探思维启动
1.法向量 如图所示,直线l⊥α,取直线l的_方__向__向___量__a_， 则向量a叫做平面α的_法__向__量____，给定一点A 和一个向量a，则过点A，以a为法向量的平面 是完全确定的．
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第三章 空间向量与立体几何
想一想 直线的方向向量和平面的法向量是惟一的 吗？ 提示：不惟一．
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第三章 空间向量与立体几何
2.空间中平行关系、垂直关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α,β 的法向量分别为u，v，则 线线平行 l∥m⇔a∥b⇔a＝kb； 线面平行 l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0； 面面平行 α∥β ⇔u∥v⇔u＝kv； 线线垂直 l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0； 线面垂直 l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku； 面面垂直 α⊥β ⇔u⊥v⇔u·v＝0.
(1，1，0)，
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第三章 空间向量与立体几何
设平面 A1BD 的法向量 n＝(x，y，z)， 则 n·D→A1＝0 且 n·D→B＝0， 得xx＋ ＋zy＝＝00，， 取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1. ∴n＝(1，－1，－1)．
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第三章 空间向量与立体几何
∴M→N·n＝21，0，12·(1，－1，－1)＝0，
变式训练 3. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC ，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，求 证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
证明：由题意得AB，BC，B1B两两垂直， 以B为原点,分别以BA，BC，BB1所在直线 为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0， 2，0)，C1(0，2，1)，
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
解：以 A 点为原点建立空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，D21，0，0，C(1，1，0)，S(0，
0，1)，
则D→C＝21，1，0， D→S＝－12，0，1. 易知向量A→D＝21，0，0是平面 SAB 的一个法
向量.设 n＝(x，y，z)为平面 SDC 的一个法向量，
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量， 则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
即nn11··DA→ →EA＝＝22yx11＋＝z01＝0，得
x1＝0
，令
z1＝－2y1
z1＝2，则
y1＝－1，
所以 n1＝(0，－1，2)．
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第三章 空间向量与立体几何
证明：法一：如图，以 D 为 原点，DA、DC、DD1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则
可求得 M0，1，12、N21，1，1、D(0，0，
0)、A1(1，0，1)、B(1，1，0)，
于是M→N＝12，0，12，D→A1＝(1，0，1)，D→B＝
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第三章 空间向量与立体几何
(2)设 AP＝y，则 P(1，y，0)，C→1P＝(1，y－1，
－1)．
设平面 A1DE 的一个法向量为 n3＝(x3，y3，z3)，
则
n3·A→1D＝0 n3·D→E＝0
，
即
－x3－z3＝0 12x3＋y3＝0
，
∴
z3＝－x3 y3＝－21x3.
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
做一做 根据下列各条件，判断相应的直线与直线、 平面与平面的位置关系： (1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3， －1)，b＝(8，2，2)； (2)平面α，β的法向量分别是u＝(1，3，0),v＝ (－3，－9，0)．
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第三章 空间向量与立体几何
解得xx＝ ＝3y.z， 令 z＝1，则 x＝y＝3. 故平面 ABC 的一个平面法向量为 n＝(3，3， 1)．
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第三章 空间向量与立体几何
【名师点评】 求平面法向量的方法与步骤： (1)求平面的法向量时，要选取两相交向量，如 A→C、A→B. (2)设平面的法向量为 n＝(x，y，z)．
解：(1)a·b＝1×8＋(－3)×2＋(－1)×2＝0， ∴直线 l1，l2 垂直．
(2)∵u＝－13v，∴u∥v，即平面 α，β平行．
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第三章 空间向量与立体几何
典题例证技法归纳
题型探究 求平面的法向量
例1 已知△ABC的三个顶点的坐标分别 为A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)，试 求出平面ABC的一个法向量．
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第三章 空间向量与立体几何
备选例题
1.如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD 的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的 点，问：当点Q在什么位置时，平面 D1BQ∥平面PAO?
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第三章 空间向量与立体几何
解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱 长为2,则O(1，1，0)，A(2，0，0),P(0，0， 1),B(2，2，0)，D1(0，0，2).再设Q(0，2,c),
∴M→N⊥n. 又 MN 不在平面 A1BD 内， ∴MN∥平面 A1BD.
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第三章 空间向量与立体几何
法
二
：∵M→N＝
C→1N－
C→1M＝12
C→1B1－
1→ 2C1C
＝12
(D→1A1－D→1D)＝12D→A1，∴M→N∥D→A1，
又 MN 不在平面 A1BD 内，
∴MN∥平面 A1BD.
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
∴O→A＝(1，－1，0)， O→P＝(－1，－1，1)， B→Q＝(－2，0，c)， B→D1＝(－2，－2，2)． 设平面 PAO 的法向量为 n1＝(x，y，z)，
则nn11··OO→→AP＝＝00，，⇒x－－x－y＝y＋0，z＝0.
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第三章 空间向量与立体几何
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第三章 空间向量与立体几何
利用空间向量证明垂直关系
例3 (本题满分12分)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1，E、F分别是BC、CC1的 中(1点)求．证：平面A1B1F⊥平面C1DE； (2)在AB上确定一点P，使C1P⊥平面A1DE.
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第三章 空间向量与立体几何
【思路点拨】 (1)证明面面垂直即证它们的 法向量垂直；(2)证C1P⊥平面A1DE，只要证 C1P的方向向量和平面A1DE的法向量平行．
n·A→C＝0 (3)联立方程组n·A→B＝0并解答．
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第三章 空间向量与立体几何
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而 是比例关系，设定某个坐标为常数(常数不能 为0)便可得到平面的法向量．
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第三章 空间向量与立体几何
变式训练 1.如图所示，在四棱锥 S－ABCD 中，底面是直 角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面 ABCD，且 SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，建立适当的空间直 角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向 量．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
【证明】 如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz， 则有 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2， 2，2)， 所以F→C1＝(0，2，1)， D→A＝(2，0，0)，A→E＝(0，2，1)．
令 x3＝2，∴zy33＝＝－－21，∴n3＝(2，－1，－2)．(10 分)
若 C1P⊥平面 A1DE，∴C→1P∥n3，∴C→1P＝λn3，
∴(1，y－1，－1)＝λ(2，－1，－2)，
∴λ＝12，y＝12，
∴点 P 为 AB 中点时，C1P⊥平面 A1DE.(12 分)
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第三章 空间向量与立体几何
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
E0，0，12 ，则A→A1 ＝(0，0，1)，A→C＝(－2， 2，0)，A→C1＝(－2，2，1)，A→E＝－2，0，12.
设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1＝(x，y， z)，
则nn11· ·AA→→AC1＝＝00⇒z－＝20x，＋2y＝0.
令 x＝1，得 y＝1，∴n1＝(1，1，0)．
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第三章 空间向量与立体几何
【解】 如图，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为 1， 则 A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，
E21，1，0，C1(0，1，1)，D(0，0，0)， F0，1，12.(1 分)
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第三章 空间向量与立体几何
∴A→1B1＝(0，1，0)，A→1F＝－1，1，－21，D→E＝ 21，1，0，D→C1＝(0，1，1)，A→1D＝(－1，0，
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第三章 空间向量与立体几何
n·D→C＝12x＋y＝0
则
，
n·D→S＝－12x＋z＝0
y＝－12x
即
.
z＝12x
取 x＝2，则 y＝－1，z＝1， ∴平面 SDC 的一个法向量为(2，－1，1)．
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第三章 空间向量与立体几何
利用空间向量证明平行关系
例2 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长 为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.
令 z2＝2，得 y2＝－1， 所以 n2＝(0，－1，2)，因为 n1＝n2， 所以平面 ADE∥平面 B1C1F.
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第三章 空间向量与立体几何
变式训练 2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证： MN∥平面A1BD.
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第三章 空间向量与立体几何